Общая математическая модель формирования оптимальных решений

В математических моделях принятия решений в качестве нового знания выступает оптимальное решение, которое в наилучшем смысле соответствует достижению поставленной цели (целей).

Введем в рассмотрение n-мерный вектор X = (x₁, x₂, … , x_n), определяющий количественные характеристики формируемого решения.

Обозначим через a, b, c вектора соответствующих размерностей, описывающие количественные характеристики неконтролируемых факторов.

Для оценки эффективности различных вариантов решений будем использовать специальным образом сформированную функцию:

W = f(c, X),

которая называется критерием оптимальности решений или целевой функцией задачи ПР.

Тогда выбор оптимального решения Х_опт будем осуществлять, исходя из требования .

Множество Х должно быть допустимым с точки зрения учета условий принятия решений (ограничений).

Пусть ЛПР обладает для достижения цели вектором ресурсов b. Представим в виде вектор-функции j(а, Х) фактический расход ресурсов при использовании вектора решений Х и вектора некоторых факторов а.

Тогда j(а, Х) £ b есть ограничение.

Во многих задачах ПР учитывается условие Х ³0.

Таким образом, общая математическая модель формирования оптимальных решений может быть представлена в следующем виде:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Постановка задачи в этом случае выглядит следующим образом:

Найти значение вектора Х, доставляющего максимум (минимум) критерию оптимальности решений (4.1) и удовлетворяющего при этом условиям (4.2) и (4.3).

Математическая модель ПР (4.1) – (4.3) является однокритериальной моделью.

Если ЛПР должен учитывать m целей, то, формализуя их в виде критериев оптимальности, получим:

(4.4)

где c₁ , c₂ , …, c_m – вектора неконтролируемых факторов.

Математическая модель (4.4), (4.2), (4.3) является многокритериальной моделью.

В реальных задачах ПР ограничения вида (4.2) могут включать в себя как неравенства вида «£», «³», «=», так и их различные сочетания.

4.3. Построение и решение оптимизационной
задачи принятия решения
(Задача о баке)

Пусть требуется выбрать геометрические размеры цилиндрического бака объемом V из условия минимального расхода материала на его изготовление.

Для построения математической модели введем в рассмотрение вектор проектных решений Х = (r, h), где 2r, h – диаметр и высота бака (Рис. 4.3).

Если предположить, что бак изготавливается сваркой из трех деталей, то расход материала при произвольном векторе решений Х будет равен площади поверхности бака:

. (4.5)

Согласно условиям задачи выражение (4.5) является целевой функцией (критерий оптимальности проектных решений).

Условие того, что бак должен иметь объем заданного значения V, представим в виде:

pr²h = V. (4.6)

На компоненты вектора решений X необходимо наложить дополнительные условия:

R > 0, h > 0. (4.7)

Выражения (4.5) – (4.7) описывают нелинейную однокритериальную модель формирования оптимальных решений, при n = 2, m = 1.

Пусть бак должен иметь минимальную трудоемкость его изготовления. Если считать трудоемкости изготовления крышки, дна и боковой стенки достаточно малыми величинами, то затраты времени на изготовление бака будут пропорциональны длине свариваемых швов:

, (4.8)

где с – затраты времени на сварку единицы длины.

Выражения (4.5), (4.8), (4.6), (4.7) описывают двухкритериальную нелинейную модель формирования оптимальных решений.

При построении математической модели в этой задаче принятия решений были использованы известные геометрические закономерности.

Аналитическое решение задачи ПР возможно, если соответствующая математическая модель включает в себя ограничения типа равенств, то есть имеет вид:

Такие задачи решаются обычно классическими методами условной оптимизации, которые предусматривают построение функции Лагранжа вида

(4.9)

где l₁, l₂, … , l_m – неопределенные множители Лагранжа.

Точки экстремума этой функции определяются из решения системы уравнений вида

(4.10)

Решая эту систему, получим решение вида

(4.11)

Используем этот метод для решения однокритериальной задачи (4.8), (4.6) (без учета (4.5), (4.7)).

Функция Лагранжа имеет вид:

.

Система уравнений (4.17) относительно переменных r, h, l:

Имеем систему алгебраических уравнений, решая которую, получим значения неизвестных r, h (l находить необязательно):

; .

Таким образом, оптимальные размеры бака, найденные с помощью аналитического метода условной оптимизации, не зависят от затрат времени с на сварку единицы длины, но зависят от требуемого объема бака V. Требование (4.8) при этих значениях r и h выполняется, то есть трудоемкость будет минимальной.

Недостатками этого метода являются:

1) Не учитываются в явном виде условия неотрицательности (4.7).

2) Система уравнений (4.10) позволяет получить решение в форме (4.11) только для простых функций (4.5), (4.6).

Контрольные вопросы к лекции 11

1. Что включает в себя простейшая схема принятия решений?

2. Что такое цель?

3. Что такое критерий оптимальности?

4. Что такое однокритериальная ЗПР?

5. Что такое многокритериальная ЗПР?

6. Возможно ли получение единственного оптимального решения в многокритериальных задачах?

7. Напишите общий вид математической модели формирования оптимальных решений.

8. Сформулируйте задачу принятия решений.

9. Запишите критерий минимального расхода материала для задачи о баке.

10. Запишите критерий минимальной трудоемкости для задачи о баке.

11. Запишите общий вид функции Лагранжа.

12. Перечислите недостатки аналитического метода условной оптимизации.

Лекция 12

4.4. Многокритериальные задачи принятия решений

Во многих задачах принятия решений имеется несколько целей, которые хочет достичь ЛПР. Такие задачи сводятся к многокритериальным задачам вида:

где Х (х₁, х₂,…х_n) – вектор решений.

Наибольшее распространение на практике решения таких задач получил подход, связанный с работами итальянского математика-экономиста Викторио Парето. Он обеспечивает ЛПР возможность гибкого принятия решений. При оптимизации по Парето строится множество «неулучшаемых» решений, изменение каждого из которых ухудшает значение целевых функций f₁(X), f₂(X),…, f_k(X).

Рассмотрим наиболее распространенную на практике двухкритериальную задачу оптимизации вида:

(4.12)

(4.13)

Условия (4.13) определяют множество допустимых решений и образуют на плоскости х₁Ох₂ некоторую область, каждой точке С которой соответствует точка С* в пространстве значений критериев W₁OW₂ (Рис. 4.4). Ее координаты вычисляются по формулам (4.12) при х₁ = х₁^С; х₂ = х₂^С:

.

Рассмотрим в множестве значений критериев четыре точки A*, B*, D* и С*
(см. рис. 4.4). Точка А* является оптимальной для критерия W₂ = f(x₁,x₂), так как в этой точке критерий W₂ имеет максимальное значение. Аналогично точка В* является оптимальной для критерия W₁ = f(x₁, x₂). Точка С* является «заведомо плохой» точкой, она не является оптимальной ни для одного критерия, так как в области значений критериев можно найти «более лучшую» точку D* такую, что Для точек A*, B*, D* более «лучших» точек в пространстве значений критериев не существует. Такие точки составляют множество решений, оптимальных по Парето в пространстве значений критериев. В нашем случае это точки кривой A*D*B*. Для выделения «лучших» (неулучшаемых) точек используется понятие конуса K_i с вершиной в точке ( )
(Рис. 4.5). Уравнения этого конуса имеют вид:

Правило выделения «лучших» точек:

Если в конусе K_i лежит хотя бы одна точка ( ), то она является более предпочтительной, чем точка ( ) (см. рис. 4.5).

Тогда все точки множества значений критериев, для которых соответствующие конусы являются пустыми, являются парето-оптимальными решениями в пространстве значений критериев.

Для нашего примера конусы, построенные во всех точках кривой A*D*B*
(см. рис. 4.4), являются пустыми. Строя обратное отображение этих точек в пространство решений Х, можно получить множество искомых решений (кривая АВ на рис 4.4), оптимальных по Парето. Такое множество называется множеством компромиссов, множеством эффективных точек или множеством Парето. Построив множество компромиссов, ЛПР выбирает в нем из неформальных соображений некоторую точку, которая является наилучшим компромиссом, по мнению ЛПР.

4.5. Построение решений, оптимальных по Парето
(Двухкритериальная задача о баке)

Вернемся к рассмотренной в п. 4.5 задаче о баке, описанную формулами (4.5) – (4.8), и попробуем найти паретооптимальное ее решение. Для этого введем параметры
a₁ > 0 и a₂ > 0, удовлетворяющие условию a₁ + a₂ = 1, и построим линейную свертку критериев (4.5) и (4.8):

. (4.14)

Положим a₁ = 1, тогда a₂ обращается в ноль, свертка (4.14) принимает вид
F(X) = S(X) и задача превращается в однокритериальную. Решив эту задачу, найдем оптимальную точку X_S для обеспечения минимального расхода материала. Теперь положим
a₁ = 0, тогда a₂ = 1, свертка (4.14) примет вид F(X) = T(X). Решив эту однокритериальную задачу, найдем оптимальную точку X_T, обеспечивающую минимальную трудоемкость изготовления бака. Если провести аналогию с рис. 7.4, то X_S соответствует точке А, X_T соответствует точке В. Чтобы определить промежуточные точки (остальные компромиссные решения), введем обозначение a = a₁. Тогда a₂ = 1 – a. Формула (4.14) примет вид . Или:

.

Функция Лагранжа запишется в виде

.

Распишем функцию Лагранжа подробнее:

.

Чтобы найти минимум функции Лагранжа, нужно взять от нее производные по искомым переменным r, h, l и приравнять их к нулю.

(4.15)

Получили систему трех алгебраических уравнений, решив которую найдем зависимость r, h, l от a. Задавая a от 0 до 1, получим множество решений, оптимальных по Парето. Поскольку аналитически решить систему (4.15) довольно сложно, можно воспользоваться любым численным методом, задавая предварительно значения a с любым приемлемым шагом.

Для примера эта задача была решена с шагом 0,1 в пакете MathCad. На рис. 4.6 показано полученное множество паретооптимальных решений.

Рис. 4.6

ЛПР выбрал из этого множества точку при a = 0,4, при котором S = 2601; T = 802;
r = 10,44; h = 29,2. Эта точка устроила его потому, что при дальнейшем увеличении a
S уменьшается уже незначительно и Т имеет наименьшее значение из всех последующих.

Контрольные вопросы к лекции 12

1. Какие решения называются паретооптимальными?

2. Сформулируйте правило выделения лучших точек.

3. Что такое множество компромиссных решений?

4. Как получить множество компромиссных решений?

5. Запишите функцию Лагранжа для двухкритериальной задачи о баке.

6. Как найти минимум функции Лагранжа?

Рубежный контроль 2