Матричные игры с седловой точкой
Задача 3.1.1. Автомобильный концерн “Кайзер”, выпускающий мощный автомобиль “Родео” с большим расходом топлива, столкнулся с определенными трудностями, вызванными давлением на рынке конкурирующего концерна “Топаз”. Эксперты выделили следующие основные стратегии на рынке:
А1 – продолжать выпуск “Родео”;
А2 – перейти к выпуску малолитражного автомобиля;
А3 – внедрить среднелитражный автомобиль нового поколения;
Конкурирующий концерн “Топаз” располагает 3 возможными стратегиями:
В1 – внедрить на рынок свой новый автомобиль-малютку;
В2 – разработать автомобиль среднего класса;
В3 – продолжить выпуск старого автомобиля с мощным мотором и большим расходом топлива.
Варианты возможных матриц выигрыша концерна “Кайзер” даны ниже. (При этом предполагается, что выигрыш одного конкурента равен проигрышу другого).
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
| В1 | В2 | В3 | В1 | В2 | В3 | В1 | В2 | В3 | В1 | В2 | В3 | |||||||
| А1 | -2 | А1 | -1 | А1 | -2 | А1 | ||||||||||||
| А2 | А2 | А2 | А2 | -1 | ||||||||||||||
| А3 | А3 | А3 | А3 |
Найдите оптимальные стратегии для обоих конкурентов и цену игры. Укажите, если она есть, седловую точку.
Графическое решение матричной игры
Задача 3.2.1. Охранник магазина следит за кассой, которая находится в торговом зале, или за сейфом, расположенным в служебном помещении. Предполагаемый преступник может воспользоваться одним из 2-х планов действия:
1-ый план: проникнув под видом покупателя в торговый зал, неожиданно напасть на кассира и, взяв деньги из кассы, попытаться скрыться на автомобиле;
2-ой план: через потайную дверь проникнуть в служебное помещение и, вскрыв сейф и забрав выручку, скрыться через ту же потайную дверь.
Пусть в кассе находится сумма S1 тыс. руб., в сейфе S2 тыс.руб. Данные приведены в таблице 3.2.1.
Таблица 3.2.1
| № варианта | |||
| S1 | |||
| S2 |
Составьте матрицу выигрышей грабителя.
1. Найдите верхнюю и нижнюю цену игры.
2. Найдите оптимальные смешанные стратегии игроков графическим методом.
Задача 3.2.2. Фирма ”Попса” планирует выпустить запись концерта популярного певца Незванова в двух видах: на диске (D) и на видеокассете (V). Объем продаж и прибыль зависят от спроса, который может быть в одном из нескольких состояний Si, связанных различными стратегиями основного конкурента фирмы.
Вероятности этих состояний не прогнозируемы.
Возможное значение прибыли фирмы при сочетании ее стратегии со спросом приведены ниже.
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
| S1 | S2 | S3 | S1 | S2 | S3 | S1 | S2 | S3 | S4 | S1 | S2 | S3 | S4 | ||||
| D | D | D | D | ||||||||||||||
| V | V | V | V |
1. Определите графически оптимальную смешанную стратегию фирмы.
2. Найдите наихудшую для нее смешанную стратегию конкурента.
Решение игры симплекс-методом
Задача 3.3.1. Завод планирует выпуск двух видов телевизоров А1 и А2, прибыль от продажи которых зависит от возможных состояний спроса S1, S2, S3. Матрицы выигрышей (прибыли) завода в зависимости от вида телевизора Аi и спроса Sj даны ниже по вариантам.
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
| S1 | S2 | S3 | S1 | S2 | S3 | S1 | S2 | S3 | S1 | S2 | S3 | ||||
| A1 | А1 | A1 | A1 | ||||||||||||
| A2 | A2 | A2 | A2 |
1. Решите игру графически.
2. Решите игру симплекс-методом.
Игры с природой
Задача 3.4.1. АО “Злаки” имеет 3 стратегии закупки крупной партии зерна: на внутреннем рынке России (А1), в Казахстане (А2), в Канаде (А3). Эксперты фирмы определили, что возможны 4 складывающиеся на рынке зерна рыночные конъюнктуры. В1, В2, В3 и В4, отвечающие сочетаниям факторов: курсов валют, курса рубля, урожаев зерновых, индексов деловой активности крупнейших мировых бирж и т.д.
Возможная прибыль АО при той или иной конъюнктуре приведены в таблицах.
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
| В1 | В2 | В3 | В4 | В1 | В2 | В3 | В4 | В1 | В2 | В3 | В4 | В1 | В2 | В3 | В4 | ||||
| А1 | А1 | А1 | А1 | ||||||||||||||||
| А2 | А2 | А2 | А2 | ||||||||||||||||
| А3 | А3 | А3 | А3 |
Определите оптимальную стратегию закупки зерна.
1) по критерию Вальда,
2) по критерию Севиджа,
3) По критерию Гурвица с показателем пессимизма
4) по критерию максимального среднего выигрыша, если экспертные оценки вероятностей конъюнктуры рынка составляют р1, р2, р3, р4
| № варианта | р1 | р2 | р3 | р4 |
| 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,3 | |
| 1/8 | 1/4 | 3/8 | 1/4 |
Кооперативные игры
Для кооперативной игры, заданной характеристической функцией V(S) на множестве игроков {A, B, C}, найти с-ядро:
A)
| Коалиция S | A | B | C | AB | BC | CA | ABC |
| V(S) |
Б)
| Коалиция S | A | B | C | AB | BC | CA | ABC |
| V(S) |
Литература: [4, 10, 15, 17]
Учебно-методическая литература [8]