Основные элементарные функции и их графики

Основные характеристики функции

1. Определение 1.3. Функция , определенная на множестве D, называется четной, если выполняются условия и ; нечетной, если выполняются условия и .

График четной функции симметричен относительно оси Oy, а нечетной – относительно начала координат.

Например, – четные функции, – не-четные функции, – функции общего вида, т.е. ни четные и ни нечетные.

2. Пусть функция определена на множестве D и пусть .

Определение 1.4. Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство:

, то функция называется возрастающей на множестве ;

, то функция называется неубывающей на множестве ;

, то функция называется убывающей на множестве ;

, то функция называется невозрастающей на множестве .

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

3. Определение 1.5. Функция , определенная на множестве D, называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .

Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми и . Например, функция ограничена на всей числовой прямой, так как для любого x.

4. Определение 1.6. Функция , определенная на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число T, что при каждом значение и .

Число T называется периодом функции. Если T – период функции, то ее периодами будут также числа , где . Так, например, для функции периодами будут числа , при этом наименьшим положительным периодом будет . Вообще, обычно наименьшее положительной число T, удовлетворяющее неравенству , берут за основной период.

Обратная функция

Пусть задана функция с областью определения D и множеством значений E.

Определение 1.7. Если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения E и множеством значений D. Такая функция называется обратной к функции и записывается в следующем виде: .

Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно x (если это возможно).

Например, для функции обратной функцией является функция ; для функции , обратной функцией является ; для функции , заданной на отрезке , обратной не существует, т.к. одному значению y соответствует два значения x: если , то .

Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и E. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция и обратная ей изображаются одной и той же кривой, т.е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т.е. аргумент) обозначить через x, а зависимую переменную через y, то функция обратная функции запишется в виде .

Графики взаимно обратных функций и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, уравнение которой имеет вид: .

Сложная функция

Определение 1.8. Пусть функция определена на множестве D, а функция на множестве , причем для соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от x (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функций)

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция есть суперпозиция двух функций и . Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Основные элементарные функции и их графики

Основными элементарными функциями называются функции, которые имеет следующий вид, и на рисунках представлены их графики.

1. Линейная функция

Функция вида y=ax+b, где a, bÎR называется линейной функцией.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек, например, A(0; b) и , если a¹0.

Коэффициент k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y=kx+b.

2. Квадратичная функция

Функция вида , где a, b, cÎR, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола.

a>0 – ветви параболы направлены вверх; a<0 – ветви параболы направлены вниз.

Точка (x_в; y_в) – вершина параболы, .

Прямая x=x_в – ось симметрии.

x₁, x₂ – корни квадратного уравнения .

3. Обратная пропорциональность

Функция вида , где k≠0, x≠0 называется обратной пропорциональностью.

Графиком данной функции является гипербола.

4. Степенные функции

1). Степенная:

2). Степенная:

5. Показательные функции

Функция, заданная формулой y=a^x, где a>0, a¹1, называется показательной функцией с основанием a.

6. Логарифмические функции

Функция, заданная формулой называется логарифмической функцией с основанием a.

7. Тригонометрические функции

Тригонометрическими функциями называются функции вида !.

8. Обратные тригонометрические функции

Обратными тригонометрическими функциями называются функции вида !.

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называются элементарными функциями. Например, следующие функции являются элементарными:

Примерами неэлементарных функций могут служить функции:

.

2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

2.1. Предел функции в точке

Пусть функция определена на некотором числовом множестве X и точка является предельной точкой этого множества, т.е. в любой e-окрестности точки содержатся точки множества X, отличных от . Точка может принадлежать множеству X или не принадлежать ему, следовательно, функция либо определена в точке , либо не определена.

Определение 2.1. (на «языке e-d», или по Коши).

Число A называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного e найдется такое положительное число d, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

С помощью логических символов это определение можно записать следующим образом:

.

Геометрический смысл предела функции: , если для любой e-окрестности точки A найдется такая d-окрестность точки , что для всех из этой d-окрестности соответствующие значения функции лежат в e-окрестности точки A. Иными словами, точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2e, ограниченной прямыми . Очевидно, что величина d зависит от выбора e, поэтому пишут .

Еще раз подчеркнем, что при решении вопроса о существовании предела функции f в точке сама точка из рассмотрения исключается, а функция f считается определенной в некоторой достаточно малой окрестности точки . В этом смысле свойство функции иметь предел в точке является локальным свойством функции.

Пример 2.1. Доказать, что

.

Решение. Возьмем произвольное , найдем такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

.

Обозначив , видим, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , где , выполняется неравенство . Следовательно, .

,

2.2. Предел функции при

Сформулируем понятие предела функции при , т.е. когда x неограниченно возрастает по модулю.

Определение 2.2. Число A называется пределом функции при , если для любого положительного e существует такое положительное число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

С помощью логических символов это определение можно записать следующим образом:

.

Если , то пишут ; если , то пишут .

Геометрический смысл этого определения таков: для , что при или соответствующие значения функции попадают в e-окрестность точки A, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2e, ограниченной прямыми .