Основные элементарные функции. Их графики

1.1.1Обозначения и термины:

1) , где - символ операций (формулы), выполняемых над х для получения соответствующего значения у (Аналитическое задание функции);

2) - область определения функции (совокупность значений х, для которой у определена и существует);

3) - область значений функции (совокупность значений у на );

4) Функция: чётная, если ; нечётная, если ; общего вида, если Отметим, что если несимметрична относительно х=0, то функция – общего вида;

5) Функция периодическая, если существует такое , что . Т – период функции, наименьшее положительное значение Т – основной период.

Пример 1.1. Найти область определения функций:

а) б) .

Решение. а) Выражение имеет смысл при , где определён для х-2>0, т.е. , где . Числа +3; -3 не входят в область определения данной функции, так как обращают знаменатель в нуль, поэтому , где . Областью определения заданной функции является пересечение множеств и (см. рис. 1.1)

Рис. 1. 1.

.

б) Действия, указанные формулой , выполнимы для таких значений х, при которых подкоренное выражение неотрицательно, т.е. . Решая это неравенство методом интервалов, определяем (см. рис. 1.2).

рис. 1.2

Пример 1.2. Найти область изменения функций:

а) (локон Аньези); б) .

Решение.

а) Очевидно, что и . Легко видеть, что определится как .

б) Известно, что , следовательно, и определится как . (при стремлении к –1 знаменатель положителен и стремится к 0).

Пример 1.3. Определите чётны или нечётны функции:

а) ; б)

Решение.

а) , т.е. и, в соответствии с определением, функции чётная.

б) , т.е. и . Функция общего вида.

Пример 1.4. Определить периодичность функций (и найти основной период, если он есть): а) ; б) .

Решение.

а) В соответствии с определением ищем такое, что: . Раскрыв скобки, получим , откуда . - константа и равенство выполняется для любых х только при . Функция непериодическая.

б) Ищем из условия . Логарифмируя, получим . Известно, что - функция периодическая с наименьшим периодом . Следовательно, периодична и наша функция и .

1.1.2 Функция

Как известно из школьного курса математики графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат и составляющая с положительным направлением оси Ох угол , где . Число «k» называют угловым коэффициентом прямой.

1. Область определения функции - вся числовая прямая: .

2. Область значений – вся числовая прямая .

3. Функция - нечётная, непериодическая.

4. 0 (0;0) – точка пересечения прямой с осями координат.

5. Если , функция возрастает на всей области определения, если -убывает на всей области определения.

При функция постоянна – у=0 (график – ось Ох).

Графики прямых при различных «k» изображены на рис. 1.3

Рис. 1.3.

1.1.3 Функция

Функция вида , называется обратной пропорциональностью, её график – гиперболой.

1. Функция определена для любого отличного от нуля действительного числа: . Открытые лучи - интервалы непрерывности функции.

2. Область значений ; .

Из пунктов 1 и 2 следует, что гипербола никогда не пересекает оси координат.

3. При функция убывает на любом интервале непрерывности, располагаясь в 1 и 3 четвертях (рис. 1.4(а)). При функция возрастает на любом интервале непрерывности, располагаясь во 2 и 4 четвертях (рис. 1.4(в)).

4. Ось Ох – горизонтальная асимптота; ось Оу – вертикальная асимптота графика функции .

5. Функция - нечётная: , поэтому гипербола состоит из двух непрерывных ветвей, симметричных относительно начала координат.

Графики обратной пропорциональности при различных коэффициентах «k» изображены на рис. 1.4 (а,в).

Рис.1.4

1.1.4 Функция

1. Область определения функции . На всей числовой прямой функция непрерывна.

2. Область значений функции: .

3. Функция - чётная: . Ось Оу является осью симметрии графика функции. Функция непериодическая.

4. 0 (0;0) – точка пересечения графика функции с осями координат.

5. Если , то при функция убывает, а при - возрастает. При функция достигает своего минимума.

Если , то при функция возрастает, а при - убывает. При функция достигает максимума. График функции называется параболой.

В точке 0(0;0) функция достигает экстремума, эта точка называется вершиной параболы.

Из п.п.2 и 5 следует, что при ветви параболы направлены вверх, а при - вниз.

На рис. 1.5 изображены параболы при различных «а».

Рис. 1.5