Задачи для самостоятельного решения. 1. Даны две смежные вершины А(-3;-1) и В(2;2) параллелограмма ABCD и точка Q(3;0) пересечения его диагоналей

1. Даны две смежные вершины А(-3;-1) и В(2;2) параллелограмма ABCD и точка Q(3;0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма. (Ответ: )

2. Найти проекцию точки Р(-6;4) на прямую

(Ответ: (-2; -1))

3. Найти точку М₁, симметричную точке М₂(8;-9) относительно прямой, проходящей через точки А(3;-4) и В(-1;-2). (Ответ: М₁(10;-5))

4. Луч света направлен по прямой Дойдя до прямой луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч. (Ответ: )

5. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4;-1), а также уравнения высоты и медианы , проведенных из одной вершины. (Ответ: )

6. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2;-7), а также уравнения высоты и медианы , проведенных из различных вершин. (Ответ: )

7. Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой (Ответ: 9 кв. ед.)

8. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(12;6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 150. (Ответ: )

9. Через точку М(3;2) провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между осями координат, делился в данной точке пополам. (Ответ: )

10. Даны уравнения двух сторон прямоугольника и одна из его вершин А(-2;1). Вычислить площадь этого прямоугольника. (Ответ: 6 кв.ед.)

11. Доказать, что прямая пересекает отрезок, ограниченный точками А(-5;1) и В(3;7)

12. Вычислить расстояние d между параллельными прямыми: 2)

(Ответ: 1) d=2,5; 2) d=0,5)

13. Точка А(5;-1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата. (Ответ: 2 квадрата: 3х+4у-11=0, 4х-3у-23=0, 3х+4у-27=0; 3х+4у-11=0, 4х-3у-23=0, 3х+4у+5=0)

14. Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми: 1) x-3y+5=0, 3х-у-2=0; 2) x-2y-3=0, 2x+4y+7=0; 3) 3x+4y-1=0, 5x+12y-2=0. (Ответ: 1) 4х-4у+3=0, 2х+2у-7=0; 2) 4х+1=0, 8у+13=0; 3) 14х-8у-3=0, 64х+112у-23=0)

15. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми

х+2у-11=0 и 3х-6у-5=0, в котором лежит точка М(1;-3). (Ответ: 3х-19=0)

16. Составить уравнение биссектрисы острого угла, образованного двумя прямыми 3х+4х-5=0, 5х-12у+3=0. (Ответ: 7х+56у-40=0)

17. Через точку пересечения прямых 2х-5у-1=0 и х+4у-7=0 провести прямую, делящую отрезок между точками А(4;-3) и В(-1;2) в отношении (Ответ: 2х-у-5=0)

18. Найти уравнения прямых, принадлежащих пучку и перпендикулярных к каждой из основных прямых пучка. (Ответ: 14х-7у+32=0; 7х+21у-75=0)

Плоскость в пространстве

Уравнение (1) определяет плоскость, проходящую через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и имеющую нормаль .

Уравнение (1) представим в виде:

(2) где .

Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀;y₀;z₀) параллельно векторам и :

. (3)

Уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(x₁;y₁;z₁) и M₂(x₂;y₂;z₂) параллельно вектору :

(4)

Уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(x₁;y₁;z₁), M₂(x₂;y₂;z₂) и M₃(x₃;y₃;z₃):

(5)

Уравнение плоскости «в отрезках»:

(6) где ― отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях (считая от начала координат).

Нормальным уравнением плоскости называется уравнение вида:

(7)

где - направляющие косинусы нормали плоскости, р – расстояние от начала координат до плоскости.

Общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду (7) умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой:

(8)

знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена D.

Отклонение точки от плоскости дается формулой:

(9)

или (10)

Расстояние от точки M^* до плоскости: , или

(11)

Угол между двумя плоскостями A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 определяется по формуле:

,

или , (12)

где .

Условие параллельности двух плоскостей:

(13)

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

(14)

Рассмотрим задачи.

Задача. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(2;-1;1) перпендикулярно к двум плоскостям 2x-z+1=0, y=0.

Решение. Т.к. искомая плоскость (обозначим ее через ) проходит перпендикулярно двум данным плоскостям и , то нормали этих плоскостей и параллельны плоскости . Выпишем координаты и :

Составим уравнение плоскости , используя (3):

Задача. Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости 6x+3y+2z-10=0 равно –3.

Решение. Пусть – точка искомого множества точек; по условию задачи:

Получим: – уравнение плоскости, параллельной данной.