Мысал: Екі қойылымның көбейтіндісі.

Анықтама.Егер n-реттті алмастыруды бірінің астына бірін жазсақ, n-ретті қойылым шығады.

=

47. Анықтауыштың негізгі қасиеттері. (дәлелдеумен)

1)Егер анықтауышта екі жолдың(бағанның) орындарын ауыстырсақ онда анықтауыштың таңбасы қарама-қарсыға ауысады.

Дәлелдеу. =

2)Егер матрицаны аударсақ онда оның анықтауышы өзгермейді:| |=|A|

3)Егер анықтауыштың бір жолының(бағанының) ортақ көбейткіші бар болса,онда оны анықтауыштың таңбасының сыртына шығаруға болады.

Дәлелдеу.

=a +a +…a =a|A|

4)Егер матрицаның қандай да бір жолына(бағанына) басқа жолды (бағанды) санға көбейтіп алып қоссақ, онда анықтауыш өзгермейді

5)Егер анықтауыштың екі жолы(бағаны ) бірдей болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.

6)Блокты үшбұрышты матрицалардың анықтауышы диагональдік блоктарының анықтауыштарының көбейтіндісіне тең болады.

7)Егер А матрицасының жолдары немесе бағандары сызықтық тәуелді болса, онда анықтауыш 0-ге тең.

Сызықтық кеңістіктің анықтамасы. Мысалдар. Сызықтық кеңістіктердің базисы және өлшемі. Сызықтық кеңістіктердің өлшемі туралы теорема.

(P, +, *) P өрісі берілген (X, , ) веторлар жиыны берілсін , , <= қосу; санға көбейту векторлардын.<X,P> жұбы сызықтық кеністік деп аталады , егер төмендегі аксиомалар орындалса:

1. x,y X x y= y x

2. x,y,z X (x y) z = x (y z )

3. x X X x y= y x=

4. x X y X x y= y x=

5. x X 1 x=x

6. P x X ( ) x= ( )

7. P x X ( ) x= x x

P x,y X ( x y)= x yМысалы: 1. (M_n*k ( ),t,*) – сызықтық кеңістік; 2. (М_1*n ⁿ)- сызықтық кеңістік. <X,P> сызықтық кеністік а1,a2,a3,…,ak XL(а₁,a₂,a ₃,…,a_k)={ + +… / α1,α2,αk P}­-бұл сызықтық қабықша(a1…ak), {b1…bn} векторлар жуйесинің сызықтық эквиваленті деп аталады. Келесі шарттар орындалса: 1. i a_i L{b1…bn} 2. j a_j L(a1…an)a1,a2…ak сызықтық векторлар базисі деп аталады егер келесі 2 шарт орындалса:1.{a1…ak} сызықтық тәуелсіз 2. b X b L (ai…ak) сызықты өрнектейді<X,P> c.k. өлшемі деп к санын атаймыз егер кез-келген элемент сызықтық тауелсіз бола тура осы жүйеге Х жиынына(максимал сызықтық тәуелсіз ішкі жүйенін векторларынын саны ) кез келген веторды біріктірсек сызықтық тәуелді жүйе шықса dim x=k.Теорема.(сызықтық кеңістік өлшемі туралы) dim x=n болсын ,онда келесі шарттар эквивалентті: 1)X кеңістігінің веторлар жиынының базисі табылады.

2) X жиынының кез-келген 2 базисінін элементтері саны тең болады.

54.Сызықтық қабықшалар. Ішкі кеңістіктердің қосындысының өлшемі туралы теорема. сызықтық кеңістігінде кез келген a₁,a₂,..,a_k векторларының жүйесі берілсін.Осы векторлардан құрылған барлық сызықтық өрнектерден тұратын L(a₁,a₂,..,a_k)⇌{⍺₁a₁+⍺₂a₂+…+⍺_ka_k⃓⍺₁,⍺₂…,⍺_k⋴P} жиынын a₁a_2,..,a_k векторларының сызықтық қабықшасы,ал а₁,a_2,..,a_k векторлардын L(a_1,a_2,...,a_k)сызықтық қабықшасының жасаушылары д.а.Ішкі кеңістіктерінің L=L₁+L₂+…+L_k қосындысы Ɵ вектор үшін a=a+Ɵ жіктелуінің жалғыз болған жағыдайында және тек сол жағдайында ғана тура қосынды б/ы. Дәләлдеу. Қ.Қандайда бір А⋴L векторы үшін a=a+Ɵ жіктеуі бар болсын:a=a₁+a₂+…+a_k және a=a’₁+a’₂+…+a’_k. Бір жіктеуден екіншісін шегеріп,нөлдік вектор үшін Ɵ=(a₁-a’₁)+(a₂-a’₂)+..+(a_k-a’_k) жіктеуін аламыз.Ɵ вектор үшінa=a+Ɵ жіктеуі жалғыз және Ɵ=Ɵ+Ɵ+..+Ɵ болғандықтан, (a₁-a’₁)=(a₂-a’₂)=..=(a_k-a’_k)= Ɵ демек a₁= a’_1, a₂=a’_2,…, a_k=a’_k болады.