Основы молекулярной физики и термодинамики 4 страница

dQ=C_VdT.

Число молей найдем из уравнения газового состояния (Менделеева–Клапейрона)

n=m/m=p₁V/RT₁.

Так как газ нагревается при постоянном объеме, то С=С_V, где С_V=iR/2.

Подставив значения n и С_V в формулу для элементарного количества тепла, получим:

Отсюда, интегрируя и учитывая при этом, что все величины i, p₁, T₁, V постоянные, найдем полное количество теплоты, поглощенное газом при нагревании от T₁ до T₂, которое численно и будет равно изменению его внутренней энергии:

Q=DU=ip₁V(T₂–T₁)/(2T₁).

Проверив размерность, подставив в полученную формулу значения входящих величин в системе СИ, произведем вычисления:

DU=5×9,8×10⁵×2×10^–3(300-280)/(2×280)=35×10³ Дж=35 кДж.

Ответ: ΔU=35 кДж.

46. Баллон емкостью V=20 л с кислородом при давлении p=100 ат и температуре t₁=7^oС нагревается до t₂=27^oС. Какое количество теплоты при этом поглощает газ?

Решение. Поскольку коэффициенты теплового расширения для твердых тел значительно меньше (приблизительно в сто раз), чем для газов, в условиях данной задачи можно пренебречь расширением баллона и считать процесс нагревания газа изохорным.

При изохорических процессах, подводимое к системе количество тепла идет на изменение ее внутренней энергии.

Применим к рассматриваемому газу первое начало термодинамики:

dQ=dU+dA.

Поскольку при изохорном процессе газ не совершает работы, то dA=0, а

dQ=dU.

Для внутренней энергии идеального газа справедливо соотношение

U=imRT/2m=ipV/2.

Отсюда для изменения внутренней энергии имеем

DU=ip₁V(p₂/p₁-1)/2

Заменяя по закону Шарля для изохорного процесса отношение давлений p₂/p₁ отношением абсолютных температур T₂/T₁, получим:

Q=ip₁V(T₂/T₁-1)=ip₁VT₁(T₂-T₁)/2.

Все величины, кроме i, даны в условии задачи. Поскольку кислород является двухатомным газом, то число степеней свободы i=5.

Выразим входящие в формулу величины в единицах СИ: p=9,8×10⁶ Па, V=2,00×10^{-2 м3}, T₁=280 К, T₂₌300 К.

Подставив эти значения и выполнив вычисление, получим

Q=5×9,8×10⁶×2,00×10^-2(300/280-1)/2=3,5×10³ Дж.

Ответ: Q=3,5×10³ Дж=35 кДж.

47. Какую работу надо совершить, чтобы, медленно сжимая при помощи поршня газ в цилиндре с хорошо проводящими тепло стенками, увеличить его давление в два раза? Начальное давление газа равно атмосферному p₁=760 мм рт.ст., начальный объем V₁=5,0 л. Во время сжатия давление и температура окружающего воздуха остаются постоянными. Весом поршня и трением пренебречь. Сколько тепла выделяется при сжатии газа?

Решение. Вначале выясним, каким процессом является сжатие газа в условиях задачи? Медленное протекание процесса и большая теплопроводность стенок цилиндра позволяют считать температуру газа равной температуре окружающей среды в течение всего процесса. Так как температура, согласно условию, остается неизменной, то сжатие газа следует считать изотермическим процессом.

Работа газа при изотермическом процессе определяется формулой:

.

Преобразуем ее применительно к данной задаче, используя уравнение газового состояния и закон Бойля–Мариотта:

.

Поскольку p₁<p₂, то A_г<0. Как и следовало ожидать, работа, совершенная газом при его сжатии, отрицательна. В этом случае положительной будет работа A_вн, совершенная внешними силами, сжимающими при помощи поршня газ в цилиндре:

.

Однако это выражение еще не является ответом, так как A_вн есть сумма двух работ: работы A силы, приложенной к поршню (например, силы руки), и работы A_атм силы атмосферного давления, т.е.

A_вн=A+A_атм.

По условию задачи искомой величиной является работа A. Величину же A_атм можно найти по формуле работы газа при изобарном процессе

A_атм=p₁(V₁-V₂),

поскольку атмосферное давление p₁ остается постоянным. При этом индексы у объемов проставлены так, чтобы работа A_атм, вычисленная по формуле, была положительной. Преобразуем эту формулу, учитывая, что газ в цилиндре сжимается изотермически:

A_атм=p₁V₁(1-V₂/V₁)=p₁V₁(1-p₁/p₂).

Искомая работа

A=A_вн-A_атм=p₁V₁(lnp₂/p₁-1+p₁/p₂).

Для определения количества теплоты, выделенного при сжатии газа, воспользуемся первым началом термодинамики. Поскольку при изотермическом процессе ( T=const ) изменение внутренней энергии равно нулю:

DU=m C_VDT/m=0

из уравнения Q=DU+A получаем, что количество теплоты, сообщенное газу, равно

Q=A_г=p₁V₁×lnp₁/p₂=-p₁V₁×lnp₁/p₂.

Величина Q оказалась отрицательной, что обусловлено выделением теплоты газом при его сжатии.

Выразим данные величины в единицах СИ:

V₁=5,0×10^{-3 м3}, p₁=1,01×10⁵ Па, p₂/p₁=2. Подставив эти значения в формулы и выполнив вычисление, получим:

;

Q=-1,01×10⁵×5,0×10^-3×ln2=-3,5×10² Дж=-0,35 кДж.

Ответ: A=0,10 кДж; Q=-0,35 кДж.

48. В цилиндре с плохо проводящими тепло стенками, закрытом сверху легко скользящим поршнем, площадь которого равна 20 см² и массой m_п=2,00 кг, находится воздух, который занимает объем V₁=1,00 л. На поршне лежит гиря массой m_г=8,00 кг. Если быстро убрать гирю, воздух расширится и поднимет поршень (рис. 3.10).

Определить работу расширения воздуха за время, в течение которого скорость поднимающегося поршня достигнет максимального значения v_max. Атмосферное давление p_o принять равным 1,00 ат.

Решение. Прежде всего, выясним характер процесса расширения воздуха в цилиндре. Учитывая, что, по условию, воздух расширяется быстро, а стенки цилиндра обладают плохой теплопроводностью, можно пренебречь теплообменом между воздухом и окружающей средой, т.е. считать процесс расширения воздуха адиабатическим.

Из условия задачи легко определить начальное давление p воздуха в цилиндре. На поршень в начальном состоянии действуют силы: сила тяжести поршня m_пg, вес гири, равный m_гg, сила атмосферного давления, равная p_oS, и сила давления воздуха, равная p₁S. Первые три силы направлены вниз, последняя сила – вверх. Из условия равновесия поршня имеем

p₁S=m_пg+m_гg+p_oS.

Откуда

p₁=(m_п+m_г)g/S+p₀=1,47×10⁵ Па.

Условие задачи позволяет также определить давление p₂ воздуха в цилиндре в тот момент, когда скорость поднимающегося поршня достигнет максимума. Поскольку воздух расширяется адиабатически, из уравнения Пуассона pV=const следует, что его давление, а значит, и сила давления на поршень будут уменьшаться. После того как сняли с поршня гирю, сила давления воздуха на поршень снизу была сначала больше, чем сумма сил mg+pS, действующих на него сверху, но спустя некоторый промежуток времени, в течение которого поршень двигался ускоренно, силы, приложенные к поршню, окажутся снова в равновесии.

Именно в этот момент скорость поршня достигнет значения v_max, так как при дальнейшем увеличении объема воздуха в цилиндре его давление станет меньше суммы давлений сил m_пg+p₀S. Теперь равнодействующая сил, приложенных к поршню, окажется направленной вниз и скорость поршня будет убывать. Таким образом, из условия равновесия сил, соответствующего максимуму скорости поршня:

p₂S=m_пg+p₀S,

находим

p₂=m_пg/S+p₀=1,08×10⁵ Па.

Теперь, зная начальное p₁ и конечное p₂ давления воздуха в адиабатическом процессе, а также начальный объем V₁, легко найти работу расширения газа:

.

Неизвестное отношение объемов выразим через отношение давлений

.

Таким образом, имеем

.

Поскольку воздух является смесью двухатомных газов – азота и кислорода, определим показатель адиабаты, отношение его теплоемкостей, как для двухатомного газа i=5:

g=C_p/C_V=(i+2)/i=(5+2)/5=1,4.

Подставив числовые значения величин в единицах СИ, получим

Дж.

Ответ: A=30 Дж.

49. В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0,02 кг при температуре T₁=300 К. Водород сначала расширялся адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в пять раз (рис. 3.11). Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах.

Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением

или ,

где g – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме;

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

Работа газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

A=mC_V(T₁-T₂)/m,

где C_V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Работа A₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде:

A₂=mRT₂ln(V₃/V₂)/m, или A₂=mRT₂ln(1/n₂)/m,

где

Выразив все величины в единицах СИ, подставив их в соответствующие формулы, произведем вычисления, учитывая, что для водорода как для двухатомного газа g=1,4, i=5 и m=2×10^-3 кг/моль, получим:

T₂=157 К;
A₁=29,8 кДж;
A=-21 кДж.

Знак минус показывает, что при сжатии работа совершается над газом внешними силами.

Ответ: T₂=157 К; A₁=29,8 кДж; A=-21 кДж.

50. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика T₁=500 К (рис. 3.12). Определить термический КПД h цикла и температуру T₂ теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу A=350 Дж.

Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой

h=A/Q₁=(Т₁-Т₂)/Т₁,

где Q – теплота полученная от теплоотдатчика;

A – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины;

T₁ – температура теплоотдатчика;

T₂ – температура теплоприемника.

Зная КПД цикла, по формуле T₂=T₁×(1-h) можно определить температуру теплоприемника.

В условии задачи все величины представлены в единицах СИ, подставив их в соответствующие формулы, произведя вычисления, получим:

h=350/1000=0,35;
T₂=500×(1-0,35)=325 К.

Ответ: h=0,35; T₂=325 К.

51. Идеальный трехатомный газ совершает цикл, состоящий из изохоры (1–2), изобары (2–3), изохоры (3–4) и изобары (4–1). Определить КПД цикла, если V₁=1,00 л, V₂=2,00 л, p₁=1,0 атм, p₂=2,0 атм. Считая величины V₁, V₂, p₁, p₂ переменными, принимающими любые положительные значения, найти предельный (наибольший) КПД данного цикла (рис. 3.13).

Решение. Рассмотрим процессы цикла по порядку.

1. Первый процесс. Объем V₁ газа сохраняется, при этом давление его увеличивается от p₁ до p₂. Так как при изохорном процессе давление газа пропорционально его абсолютной температуре, видим, что температура газа здесь повышается. Следовательно, газ при этом получает (от нагревателя) количество тепла Q₁₂.

2. Второй процесс. Давление p₂ газа сохраняется, объем же увеличивается от V₁ до V₂, при этом газ совершает работу, равную

A₂₃=p₂(V₂-V₁).

Так как при изобарном процессе объем газа пропорционален абсолютной температуре, видим, что температура газа и в этом процессе повышалась. Следовательно, и здесь газ получил количество теплоты Q₂₃.

3. Третий процесс. Процесс идет изохорно (V₂=const), давление газа уменьшается от p₂ до p₁, что означает понижение температуры. Следовательно, газ при этом отдает (холодильнику) количество теплоты Q₃₄.

4. Четвертый процесс. При постоянном давлении p₁ газ сжимается от объема V₂ до объема V₁ и совершает при этом отрицательную работу

А₄₁=p₁(V₁–V₂)=-p₁(V₂-V₁).

Уменьшение объема при изобарном процессе связано с понижением температуры газа. Следовательно, здесь, как и в предыдущем случае, газ отдает (холодильнику) некоторое количество тепла Q₄₁.

Теперь можно приступить к вычислению КПД цикла по формуле:

h=A/Q₁=(Q₁-Q₂)/Q₁=(T₁-T₂)/T₁.

где A – работа, совершенная рабочим веществом в течение цикла;

Q₁ – количество теплоты, полученное за это время рабочим веществом;

Q₂ – количество теплоты, отданное при этом холодильнику;

T₁ и T₂ – наивысшая и наинизшая температуры рабочего вещества.

Работа газа совершается во втором и четвертом процессах и равна

A=A₂₃+A₄₁=(p₂-p₁)(V₂-V₁).

Количество теплоты Q, сообщенное газу при его нагревании, найдем на основании первого начала термодинамики. Учитывая, что газ получает теплоту в первом и втором процессах:

Q=DU+A.

Изменение внутренней энергии DU при переходе газа из состояния 1 в состояние 3 вычислим как разность значений U₃ и U₁:

DU=U₃-U₁=imR(T₃-T₁)/2m

На основании уравнения газового состояния, можно записать:

DU=i(p₂V₂-p₁V₁)/2.

Подставив вместо DU и A₂₃ их значения в формулу для определения Q₁, получим

Q₁=i(p₂V₂-p₁V₁)/2+p₂(V₂-V₁).

Наконец найдем КПД цикла

Подставив числовые значения величин p₁, p₂, V₁, V₂, из условия задачи и учитывая, что газ трехатомный и, следовательно, i=6, получим:

.

Чтобы определить наибольший КПД цикла, выразим количество теплоты, сообщенное газу, через молярные теплоемкости C_p и C_V

Q=Q₁+Q₂=nC_V(T₂-T₁)+nC_p(T₃-T₂).

С помощью уравнения Менделеева–Клапейрона, записав его для каждого из трех состояний 1, 2, 3 преобразуем вышенаписанную формулу для Q₁:

Q₁=((p₂–p₁)V₁C_V/R)+((V₂-V₂)p₂C_p/R).

Подставив значения A и Q₁ в формулу для КПД, получим

Чтобы упростить исследование, разделим числитель и знаменатель на произведение p₂V₂ и введем обозначения a=p₁/p₂, b=V₁/V₂:

Заметим, что согласно условию каждая из величин a и b может принимать любые значения в интервале от 0 до 1.

При произвольном фиксированном значении b выражение приобретает вид:

,

где K₁, K₂, K₃ – постоянные положительные величины.

Из полученного выражения видно, что h(a) – убывающая функция. Следовательно, она принимает наибольшее значение при a=0.

При любом фиксированном значении a имеем

где К₄, К₅, К₆ – постоянные положительные величины.

Из последнего выражения видно, что (b) – убывающая функция. Значит, ее наибольшему значению соответствует b=0.

Сопоставляя полученные результаты, приходим к выводу, что, положив в формуле для КПД a=0, b=0, найдем предельное значение h_пред:

h_пред=R/C_p=2/(i+2)=2/(6+2)=0,25.

Ответ: η=0,09; h_пред=0,25.

52. Цикл Карно, совершаемый смесью жидкости и пара, происходит в том же температурном интервале, что и цикл, рассмотренный в задаче 50. Определить КПД цикла Карно.

Решение. КПД цикла Карно, состоящего из двух изотерм и двух адиабат, не зависит от того, какое рабочее вещество совершает этот цикл, и равен

h_К=(Т₁-Т)/Т₁.

Таким образом, задача сводится к определению наивысшей и наинизшей температур газа в условиях задачи 50.

Было уже выяснено, что газ нагревался при совершении первого и второго процессов и охлаждался при совершении третьего и четвертого процессов. Следовательно, наивысшей температурой газ обладал после второго процесса, наинизшей – вначале первого или в конце четвертого. Сохраняя обозначения предыдущей задачи, можно записать на основании уравнения газового состояния:

T₁=T₃=p₂V₂/nR, T₂=T₁=p₁V₁/nR.

Подставив эти значения T₁ и T₂ в формулу для определения КПД цикла Карно, получим

h_К=(p₂V₂–p₁V₁)/p₂V₂.

Ответ: η=(p₂V₂-p₁V₁)/p₂V₂.

53. Тепловая машина работает по циклу Карно, КПД которого h=0,25. Каков будет холодильный коэффициент h' машины, если она будет совершать тот же цикл в обратном направлении? Холодильным коэффициентом называется отношение количества теплоты, отнятого от охлаждаемого тела, к работе двигателя, приводящего в движение машину.

Решение. КПД любого цикла, в том числе и цикла Карно, можно определить по формуле

h=A/Q₁=(Q₁-Q₂)/Q₁.

Особенностью цикла Карно является его обратимость: процесс может протекать как в прямом, так и в обратном направлении. При обратном цикле Карно рабочее вещество будет, расширяясь по изотерме T₂=const, отбирать от холодильника количество теплоты Q₂ и, сжимаясь по изотерме T₁=const, отдавать нагревателю количество теплоты Q₁. При этом работа, совершенная рабочим веществом за один цикл, будет отрицательной (положительная работа расширения меньше по модулю отрицательной работы сжатия). В этом случае положительной будет работа A двигателя, приводящего в действие машину.

Согласно определению холодильного коэффициента, запишем

h'=Q₂/A.

Чтобы его определить, исключим из формулы КПД цикла Карно величину Q₁=A+Q₂:

h=A/(A+Q₂).

Выполнив преобразования, получим:

1/h=(A+Q₂)/A=1+Q₂/A=1+h'

или

h'=1/h-1.

Подставив численные значения, будем иметь

h'=1/0,25-1=3, или h'=300%.

Ответ: h'=3, или h'=300%.

54. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества n=1 моль, находится под давлением p₁=250 кПа и занимает объем V₁=10 л. Сначала газ изохорно нагревают до температуры T₂=400 К. Далее, изотермически расширяя, доводят его до первоначального давления (рис. 3.14). После этого путем изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определить термический КПД цикла.

Решение. Для наглядности решения задачи можно построить график цикла, который будет состоять из изохоры, изотермы и изобары, с характерными точками начала и конца соответствующих процессов: 1, 2, 3. термический коэффициент полезного действия любого цикла определяется выражением

h=(Q₁-Q₂)/Q₁=1-Q₂/Q₁,

где Q₁ – количество теплоты, полученное газом за цикл от нагревателя;

Q₂ – количество теплоты, отданное газом за цикл охладителю (холодильнику);

(Q₁-Q₂)=A – работа, совершаемая газом за цикл.

Рабочее вещество (газ) получает тепло Q₁ от нагревателя, в рассматриваемом случае, при переходе из состояния 1 в состояние 2 (изохорно) Q₁₂ и при переходе из состояния 2 в состояние 3 (изотермически) Q₂₃. Таким образом:

Q₁=Q₁₂+Q₂₃.

Количество теплоты, полученное газом при переходе из состояния 1 в состояние 2 (при изохорическом процессе):

Q₁₂=C_Vn(T₂-T₁),

где C_V – молярная теплоемкость при постоянном объеме;

n – количество вещества;

T₁ – температура газа в начальном состоянии (1);

T₂ – температура газа в конечном состоянии (2).

Температуру T₁ начального состояния газа найдем, воспользовавшись уравнением Менделеева–Клапейрона:

T₁=p₁V₁/(nR).

Количество теплоты, полученное газом при переходе из состояния 2 в состояние 3 (при изотермическом процессе), равно

Q₁₂=nRT₂×ln(V₂/V₁),

где V₂ – объем газа при температуре T₂ и давлении p₁ в состоянии 3.

Количество теплоты, отданное газом при переходе из состояния 3 в состояние 1 (при изобарическом процессе)

Q₂=Q₃₁=nC_p(T₂-T₁),

где C_p – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении.

Подставим найденные значения Q₁ и Q₂ в формулу для термического коэффициента полезного действия, будем иметь

В полученном выражении заменим отношение объемов, согласно закону Гей-Люссака, отношением температур V₂/V₁=T₂/T₁.

Выразив C_V и C_p через число степеней свободы молекул газа C_V=iR/2 и Cp=(i+2)R/2, после сокращения на n и R/2, получим:

Подставив значения i, T₁, T₂ и R и произведя вычисление, найдем

.

Ответ: h=0,041=4,1%.

55. Нагреватель тепловой машины, работающий по обратимому циклу Карно, имеет температуру t₁=200 ^oС. Определить температуру T₂ охладителя, если при получении от нагревателя количества теплоты Q₁=1 Дж машина совершает работу A=0,4 Дж. Потери на трение и теплоотдачу не учитывать.

Решение. Температуру охладителя найдем, воспользовавшись выражением для термического КПД машины, работающей по циклу Карно:

h=(T₁-T₂)/T_1.

Отсюда

T₂=T₁(1-h).

Термический КПД тепловой машины выражает отношение количества теплоты, которое превращено в механическую работу A, к количеству теплоты Q₁, которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя):

h=A/Q₁.

Подставив это выражение, найдем

T₂=T₁(1-A/Q₁).

Учтя, что Т₁=473 К, после вычисления будем иметь

T₂=473(1-0,4/1)=284 К.

Ответ: T₂=284 К.

56. Найти изменение энтропии при нагревании воды массой m=100 г от температуры t₁=0 ^oС до температуры t₂=100 ^oC и последующем превращении воды в пар той же температуры.

Решение. Полное изменение энтропии в данном случае равно сумме изменения энтропии при нагревании воды и изменения энтропии системы при ее превращении в пар

DS=DS'+DS''.

Найдем изменение энтропии при нагревании воды. Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой

При бесконечно малом изменении температуры dT нагреваемого тела затрачивается количество теплоты

dQ=mc×dT,

где m – масса тела;

c – его удельная теплоемкость.

Подставив выражение dQ для изменения энтропии при нагревании воды, будем иметь

После интегрирования получим

DS=mc×ln(T₂/T₁).

Изменение энтропии во время превращения воды в пар при постоянной температуре

где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.

Подставив выражение количества теплоты Q=lm, где l – удельная теплота парообразования, получим

DS''=lm/T.

Таким образом, искомое полное изменения энтропии будет равно

DS=mc×ln(T₂/T₁)+lm/T.

Подставив численные значения величин в единицах системы СИ, произведем вычисление

DS=100×10^-3×4,19×10³×ln(373/273)+2,26×10⁶×100×10^-3/373=736 Дж/К.

Ответ: DS=736 Дж/К.

57. Определить изменение энтропии при изотермическом расширении кислорода массой m=10 г от объема V₁=25 л до объема V₂=100 л.

Решение. Так как процесс изотермический, то в общем выражении для изменения

Проинтегрировав это выражение, получим

DS=Q/T.

Количество теплоты Q, полученное газом, найдем из первого начала термодинамики:

Q=DU+A.

Для изотермического процесса DU=0, следовательно Q=A, a работа для этого процесса определяется по формуле

A=(m/m)RT×lnV₂/V₁.