Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 2 страница

Решение . Преобразуем данное уравнение к полярным координатам :

т.е .

Осью симметрии петли является луч j = p/4 , поэтому

(кв.ед).

1.9 Площадь поверхности

Пусть поверхность задана с помощью явного уравнения z =f(x,y), где функция f(x,y) 1) определена в некоторой области D(простой) и 2) имеет в этой области непрерывные частные производные f¹_x(x,y) и f¹_y (x,y) .

При этих предположениях поверхность z = f(x,y) будет иметь в каждой своей точки касательную плоскость.

Найдём площадь поверхности . Для этого поступим следующим образом .

Разобьём область D сетью кривых на частичные простые области D_i (i = 1,2, . . . ,n) , площади которых обозначим через Ds_i .

В пределах каждой частичной области D_i возьмём производную по точке (x_i , h_i) и восстановим в ней перпендикуляр к плоскости хОу до пересечения в некоторой точке М_i (x_i , h_i , V_i) с поверхностью.

Проведём в полученной точке М_i (x_i , h_i , V_i) касательную плоскость к поверхности .

Построив на каждой частичной области D_i , как на основании , цилиндрические столбики , мы вырежем как на самой поверхности , так и на проведённой касательной плоскости элементарные участки , которые обозначим соответственно через G_i и T_i ( i = 1,2, . . . , n).

Интуитивные соображения предсказывают , что при малом диаметре частичной области D_i ( а значит и малом диаметре частей G_i на поверхности ) участки Т_i на касательной плоскости имитируют участки G_i самой поверхности . Потому естественно сумму площадей участков Т_i принять за приближённую меру площади поверхности . А если эта сумма имеет предел ( при стремление к нулю диаметров всех областей D_i ) , не зависящий от способа разбиения области D на частичные и выбора точек (x_i , h_i ) в D_i , то естественно этот предел принять за площадь поверхности .

Пусть касательная плоскость в т. М_i (x_i , h_i , V_i) образует с плоскостью хОу угол g_i .

Уравнение касательной в т. М_i (x_i , h_i , V_i)

и т.д.

Направляющий вектор нормали к этой плоскости

Как известно из аналитической геометрии

Но между площадями DS_i и Ds_i (DS_i - площадь области Т_i ; Ds_i – площадь области D_i ) существует соотношение :

– из геометрии элемента .

Отсюда , или

Поэтому .

Эта сумма есть интегральная сумма для непрерывной в D функции , т.к. по условию частные производные непрерывны .

И поэтому эта сумма имеет предел ( при d(D_i)®0 ), который равен соответствующему двойному интегралу от F(x,y).

Таким образом , площадь поверхности

. (1.23)

Пример 1.9.1 Вычислить площадь части поверхности параболоида 2z = x² + y² , вырезанной цилиндром х² + у² = 1.

. Перейдём к полярной системе координат

(кв.ед.)

Пример 1.9.2 Вычислить площадь части поверхности полусферы х² + у² + z² = 4 (z ³ 0) , вырезанной цилиндром х² + у² = 1 ( рис. 1.28).

Решение . Уравнение поверхности d имеет вид , область D есть круг , ограниченный окружностью х² + у² = 1. Находим , .

Вычислим площадь поверхности

.

Двойной интеграл вычислим в полярных координатах . Уравнение окружности х² + у² = 1.

r = 1 , причём 0 £ q £ 2p.

Следовательно ,

1.10 Масса плоской фигуры

Рассмотрим некоторую материальную плоскую фигуру D.

Поставим перед собой задачу вычисления массы такой финуры .

1. Если эта фигура однородна , т.е. масса распределена равномерно по этой фигуре , а d - её плотность ,то вычисления её массы m производится непосредственно :

,

где S - площадь фигуры .

2.Предположим теперь , что данная фигура не является однородной .

Пусть поверхностная плотность фигуры

,

То есть является функцией координат точки ,

где d(х,у) предполагается непрерывной .

Поверхностная плотность – масса , приходящаяся на еденицу площади.

Вычисление массы такой фигуры производится с помощью двойного интеграла .

Разобьём фигуру D на части D_i ( i = 1,2, . . . ,n) ( сетью кривых ) , без общих внутренних точек и имеющими площади DS_i .

Выберем в пределах каждой площадки D_i произвольным образом точку ( x_i , h_i ).

Будем считать из наглядных соображений , что при малой площади DS_i значение плотности d_i = d( x_i , h_i ) в точке ( x_i , h_i ) будет мало отличаться от значения плотности в других точках той же части D_i , и мы можем приближённо принять за массу части D_i произведение

,

а сумму таких произведений для всех частей D_i

– за приближённое выражение массы всей пластинки.

При этом ( из интуитивных соображений) ясно , что чем n больше , а размеры каждой части D_i меньше , тем естественнее видеть в m_n приближённое значение массы пластинки .

Логично ожидать поэтому , что предел этой суммы m_n , найденной при условии , что “размеры “ площадок D_i сделаются как угодно малыми , и будет выражать искомую массу пластинки . Мы приходим , таким образом , к следующему определению .

Массой пластинки D называется предел , к которому стремится сумма m_n , когда d(D_i)®0 :

,

так как имеем здесь предел интегральной суммы , составленной для непрерывной в D функции d(х,у) , то предел этой суммы существует и равен двойному интегралу от функции d(х,у) по области D , то есть

. (1.24)

Пример 1.10.1

Найти массу кольца , ограниченного двумя концентрическими окружностями радиусов R и r ( R > r ) , если плотность кольца в каждой т. обратно пропорциональна расстоянию этой точки до центра окружности и равна 1 г/см³ на окружности внутреннего круга .

Решение .

Здесь , к = ?

при заданном условии

1 = к / r Þ k = r .

Тогда

.

1.11 Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры

Как известно , центр тяжести системы n материальных точек с массами m₁ , m₂ , . . . , m_n определяется по формулам :

; (1.25)

;

Используя формулы (1.25) , определим 1) статические моменты и 2)координаты центра тяжести плоской фигуры .

Рассмотрим плоскую фигуру D (представляющую собой простую область).

Пусть в каждой точке (х,у) этой фигуры задана поверхностная плотность d(х,у) ( будем считать её непрерывной в D функцией).

Разобьём область D на простые частичные области D_i с площадями DS_i ( i = 1,2,. . . ,n). Взяв в пределах каждой частичной области по точке (x_i , h_i ) , составим дроби :

;

(т.е. считаем , что масса частичной области D_i сосредоточена в т. (x_i , h_i ) ; т.е. фигуру рассматриваем как систему материальных точек ).

Естественно за центр тяжести С фигуры D считать точку , координаты которой Х_с ,У_с являются пределами составленных дробей при условии , что d(D_i)®0.

Т.к. члены этих дробей суть интегральной суммы на D соответственно для непрерывных функций d(х,у) , х d(х,у) и у d(х,у) , то , переходя в записанных выше равенствах к пределу при d(D_i)®0 , получим искомые формулы координат центра тяжести :

; (1.26)

;

Замечание .

В случае однородной фигуры (d = const) эти формулы примут вид :

; , (1.27)

где S – площадь фигуры D .

Числители дробей обычно именуются статическими моментами М_х и М_у фигуры D.

Статическим моментом материальной точки относительно оси называется произведение массы этой точки на её расстояние до данной оси :

у

. (х,у) М_х = my ;

х M_y = mx .

Пример1.11.1

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки , ограниченной параболой у = х² и прямой у = 2.

Следовательно ,

С( 0 ; 1,2).

Пример 1.11.2 Найти координаты центра тяжести пластинки , ограниченной пораболой у = х² и прямой у = 1 , если плотность распределения массы в каждой точке равна ординате этой точки .

Решение . Найдём сначала массу пластинки . Так как g(х,у) = у , то имеем

.

Статистические моменты пластинки относительно координатных осей :

.

Координаты центра тяжести .

Итак , координаты центра тяжести пластинки (0 ; 5/7).

1.12 Момент инерции

Определение .

Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси называется произведение массы этой т. на квадрат её расстояния до оси .

Пусть дана плоская материальная фигура D , плотность распределения массы которой d = d(х,у) , т.е. является функцией координат .

Найдём моменты инерции этой фигуры относительно осей Ох и Оу.

Разобьём область D на n произвольных частей D_i с площадями DS_i (i = 1,2,. . . ,n).

В пределах каждой частичной области D_i возьмём по точке (x_i , h_i ) .

Найдём моменты инерции площадки D_i относительно координатных осей : заменим каждую площадку материальной точкой (x_i , h_i ) .

Масса области D_i » d(x_i , h_i )DS_i .

Тогда моменты инерции D_i относительно осей координат будут :

относительно Ох : ;

относительно Оу : .

Момент инерции всей области D » сумме моментов инерции малых площадок D_i :

.

Переходя к пределу , получим :

; . (1.28)

(Если фигура однородна , то полагают d = 1)

Аналогично получаем момент инерции относительно начала координат :

.

Пример 1.12.1

Доказать , что момент инерции кругового кольца относительно центра в 2 раза больше момента инерции относительно любой оси, проходящей через центр кольца ( лежащего в его плоскости ).

Решение .

Обозначим радиусы окружности через r и R .

Рис 1.35

1) .

2) .

3) в 2 раза .

Пример 1.12.2 Вычислить момент инерции однородного квадрата со стороной , равной 2 , относительно одной из его вершин .

Решение . Совместим начало координат с одной из вершин квадрата , а координатные оси ОХ и ОУ направим по двум его сторонам , исходящим из этой вершины . Тогда искомый момент инерции (g(х,у) = g = const )

.

1.13 Тестовые задания для самостоятельной работы

1. Задание: Вычислить двойной интеграл от функции z = ycosxy по области D: y = ; x=1; y = π; x=2

Ответы: 1) -1; 2) 0; 3) -2; 4) ½

2. Задание: Вычислить двойной интеграл от функции z = xy², по области D_z : х = 0;

y = х; y = 2-х².

Ответы:1) ; 2) 1; 3) 3 ; 4)5 .

3. Задание: Вычислить двойной интеграл: ∫∫ dxdy. D: 0 х 1; 0 y 1

Ответы:1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. Задание: Вычислить двойной интеграл: , если область D ограничена прямыми x=0, x=1, y=0, y=3/2

Ответы: 1) ; 2) ; 3) 2 ; 4) 2 .

5. Задание: Вычислить двойной интеграл: , если область D – квадрат 0 x ; 0 y

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

6. Задание: Вычислить двойной интеграл: , если область D ограничена прямыми x=2, x=3, y=x, y=2x: Ответы:1) 2 ; 2) -1 ; 3) 25 ; 4) 12 .

7. Задание: Вычислить , если область D – прямоугольник 0 х 4; 1 y е

Ответы: 1) 2; 2) 0; 3) 8; 4) -8.

8. Задание: Вычислить

Ответы: 1) 10.8; 2) - ; 3) 3.9; 4) 0.9.

9. Задание: Вычислить двукратный интеграл

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

10. Задание: Вычислить двойной интеграл от функции f(x,y) = 1 + x + y по области D, ограниченной линиями: y = - x; x = √y; y = 2; z = 0.

Ответы:1) 0; 2) 3√2+5; 3) 2√2+ ; 4) √2+ .

11. Вычислить ; область Д ограничена окружностями , .

Ответы:1) 2) 3) 4) 0

12. Вычислить ; область Д ограничена окружностью и прямыми ,

Ответ: 1)0 2) 3) 4)

13. Вычислить ; область Д ограничена линиями , , где

Ответ: 1) . 2) 3) 4) 0

14. Вычислить ; область Д ограничена окружностью

Ответ:1) 0 2) .3) 4)

Ответы к тесту:

Номер задания

Номер ответа

2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Аналогично тому , как было введено выше в двумерной области понятие двойного интеграла , в трёхмерном пространстве можно ввести понятие тройного интеграла .

Ограничимся кратким рассмотрением некоторых вопросов теории тройных интегралов . Поскольку многие предложения , установленные для двойного интеграла , вместе с их доказательствами могут быть перенесены на тройные интегралы , то при изложении последних ограничимся кратким рассмотрением их теории .

Например , теорема существования тройного интеграла формулируется аналогично теореме существования двойного интеграла , поэтому мы её рассматривать не будем .

Далее , свойства тройного интеграла рассмотрим без доказательства ( ввиду полной аналогии между определениями двойного и тройного интегралов доказательство свойств проводится аналогично ).

2.1 Задача о массе неоднородного тела , приводящая к понятию тройного интеграла

Рассмотрим задачу о вычислении массы некоторого тела , занимающего пространственную область V.

Пусть плотность распределения массы в данном материальном теле является непрерывной функцией координат точек тела :

d = d (x,y,z)

(т.к. тело неоднородно , то его плотность в различных точках тела различна).

Для определения массы тела поступают так же , как и при вычислении массы плоской фигуры .

Разобьём тело произвольным образом на n частей , объёмы которых обозначены через Dn_i ( i = 1,2,. . . ,n) .

В каждой части выберем произвольную точку (x_i , h_i , V_i ).

Если все части достаточно малы , то в силу непрерывности функции d(x,y,z) масса i-той части приближённо равна величине d(x_i , h_i , V_i ) Dn_i ; масса всего тела