Раздел 2. геометрическая и волновая оптика.

РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА.

Задача №1

За время t = 8 с при равномерно возраставшей силе тока в проводнике сопротивлением R = 8 Ом выделилось количество теплоты Q = 500 Дж. Определить заряд q, проходящий в проводнике, если сила тока в начальный момент времени равна нулю.

Решение.

Закон изменения тока: I = I(t) = kt,

где k – коэффициент пропорциональности.

Количество теплоты, выделившееся за время dt определим на основании закона Джоуля - Ленца, взятого в дифференциальной форме:

dQ = I2(t)R(t)dt.

Количество теплоты, выделившейся за все время:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (1)

По определению сила тока: раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru , dq = I dt.

Заряд, прошедший по проводнику за время t:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (2)

Из (1): раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ; раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru .

Из (2):

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru Кл.

Ответ: q = 19,36 Кл.

Задача №2

Тороидальная катушка содержит N = 400 витков. Чему равна энергия магнитного поля, если при силе тока I = 2 А. Магнитный поток через сечение катушки Ф0 = 10-3 Вб.

Решение.

Запасенная энергия магнитного поля равна произведению плотности энергии wm на объем тороида V. wm = BH/2; Объем V = 2πR π(R - r)2, где R – радиус средней силовой линии тороида, r – внутренний радиус тора (радиус самой короткой силовой линии). Магнитный поток в торе Ф = В S = В π(R - r)2. Энергия W = wm V = (ВН/2)2πR (Ф/В). Подставив сюда напряженность магнитного поля внутри тороида Н = Ni/2πR, получим искомый результат:

W = nIФ/2 = 400×2×10-3/2 = 0,4 (Дж).

Задача №3

Соленоид, содержащий 103 витков, имеет длину 40 см и площадь поперечного сечения 10 см2.

Чему равен полный магнитный поток, пронизывающий соленоид, если ток в нем равен 1А.

Решение.

Магнитная индукция поля соленоида В = μ0nI, где n – число витков на единицу длины соленоида. Считая поле соленоида однородным, можно написать выражение для магнитного потока

Ф = nBS;

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (Вб).

Ответ: В = 10-3p = 3, 14.10-3 Вб.

Задача №4

Чему равен магнитный поток в стальном сердечнике (сталь Э1) в форме тороида, если сила тока в обмотке I = 0,5 А, число витков N = 1000, площадь сердечника 8 см2, R = 10 cм – радиус тороида.

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

r R

Решение

Задача решается аналогично предыдущим. Особенность состоит в том, что по найденной напряженности магнитного поля по таблицам необходимо найти магнитную проницаемость стали определенной марки.

Находим напряженность магнитного поля внутри тороида по формуле:

Н = NI/2πR = 103 . 0,5/6.28 . 0,1 = 0, 796 . 103 А/м. По таблицам находим, что магнитная проницаемость μ = 200. Магнитная индукция В = μ μ0Н = 200. 4π.10-7 . 0,796 .103 = 0,2 Тл. Тогда магнитный поток в сердечнике Ф = В. S = 0,2 .8.10-4 = 1,6. 10-4 Вб

Задача №5

Электроны в трубке движутся между пластинами заряженного конденсатора С, и их след на экране смещается на величину Х. Как надо направить магнитное поле раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru , что бы они попадали в точку O?

Решение.

 
  раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Рассмотрим движение электрона в магнитном поле. Если электрон движется в плоскости чертежа, а магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости чертежа, то отрицательная заряженная частица отклоняется вниз, а положительная - вверх. Так как у нас движутся электроны, значит, чтобы след сместился на величину Х в точку О, нужно магнитное поле направить перпендикулярно в плоскость чертежа (рис.).

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Два точечных заряда q1 = 3,3×10-9 Кл и q2 = -13,3×10-9 Кл находятся в точках с координатами (2,0,0) и (-2,0,0) соответственно. Найти:

1) величину и направление электрического поля в точке с координатами (0,3,4);

2) координаты точек, где поле отсутствует. Значения координат даны в сантиметрах.

Решение

Определим расстояния от точек, в которых расположены заряды, до точки наблюдения. Имеем r1= r2 = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru см

Рассмотрим напряженность поля в заданной точке. Для этого определим единичные векторы раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru и раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru , задающие направление соответственно от первого и второго зарядов до указанной точки

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru = 1/( раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ) раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru = 1/( раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ) раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (в см)

 
  раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Определим модули векторов напряженности поля в точке наблюдения, создаваемых первым и вторым зарядами. Учтем, что расстояние между зарядами и точкой наблюдения одинаковы и равны r = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru см, имеем:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru = (k|q1| / (r2)) раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ; Е2 = (k|q2| / (r2)) раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ,

Складываем векторы раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru и раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru получаем вектор напряженности поля в точке наблюдения

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru + раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ; Ех = (к / r2 r)(-q1x1 –q2x2),

Еy = (к / r3 )*(-q1y1 –q2y2); Еz = (к / r3 )(-q1z1 –q2z2)

= (9*109*103 / ( раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru )3)((10-11)(3,3*4 – 13,3*4)).

Определим точки, в которых напряженность поля равна нулю. Из анализа задачи ясно, что эта точка должна находиться на оси Х слева от заряда q1 на расстоянии х от него. Имеем:

F1 = kq1q / x2; F2 = kq2q / (4 + x)2;q1 / x2 = q2 / (4 + x)2 ;

(x + 4) / x = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ; x = 4 / ( раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru - 1).

Задача №6

По четверти окружности радиусом R =5 см распределен заряд с линейной плотностью l = 6*10-6 Кл/м.

Найти напряженность Е и потенциал j поля в центре этой окружности.

Решение.

Выделим на окружности элемент длинной dl. Запишем для него выражение напряженности и потенциала:

dE = (tdl/4pee r2)×(r/r), где t - линейная плотность, r-расстояние: dj = tdl/4pee0r.

Запишем выражение напряженности в векторном виде:

Е = òdE и разложим на две составляющие dEy и dEx. Отсюда

E = òdE = `iòdEх + `jòdEу..

Определим dEх и dEу.

dEy = dE cosq, где q - угол между dE и dEy и q = 450, следовательно: dEy = dEcosq = tdlcosq/4pee0r -2.

Определим dl. Так как это дуга окружности, то ее длина будет определяться по формуле:

dl = Rdq, где R - радиус окружности, dq - элементарный угол, который она стягивает. Следовательно:

dEy = tRdq/4pee0r2cosq = t/4pee Rcosqdq .

Определим Ey, взяв интеграл с пределами от 0 до p/2

Следовательно: E = t/4pee R.

Теперь определим потенциал j поля: dj = tdl/4pee0 R,

так как

dl = rdj, то dj = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Определим j, взяв интеграл

j = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru .

Задача №7

В бесконечном цилиндре радиуса R сделана коаксиальная полость радиуса R1. Вне цилиндра и в полости заряды отсутствуют, а в объеме распределены с плотностью r. Найти индукцию электростатического поля в полости, в цилиндре и вне его.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Гауcса, взяв поверхность пронизывающуюся потоком вектора D в виде коаксиального цилиндра радиуса r.

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru =Sgi ,

или заполнен через поток вектора раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru , т. е.

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru .

Определим D1, D2 и D3:

1) r < R1 т.е. в полости цилиндра.

В условии задачи сказано, что в полости цилиндра заряды отсутствуют, т.е. eqi = 0. Следовательно, r = 0. А это означает, что D1 = 0.

2) R1 < r < R, т.е. внутри цилиндра.

Здесь eqi ¹ 0, следовательно r ¹ 0.

Определим площадь внутренней части цилиндра: S = 2prl.

Определим объём: V = p l (r2 – R12).

Отсюда: D2 p r l = r p l(r2 – R12)

находим

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru .

3) r > R, т.е. вне цилиндра

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Задача №8

Магнитный поток Ф = 40 мВб пронизывает замкнутый контур. Определить среднее значение ЭДС индукции, возникающей в контуре, если за время t = 2 мс магнитный поток удвоился и возрастал равномерно.

Решение.

Среднее значение ЭДС индукции определим по формуле:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ,

где DF - величина изменения магнитного потока за время Dt.

Т.к. за время t = 2 мкс магнитный поток удвоился, то DF = Фк – Фн,

где Фк = 2Фн, Фк - конечноезначение, а Фн – начальное значение магнитного потока. Отсюда

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Задача №9

Напряженность некоторого электростатического поля определяется выражением раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru , где а – константа. Найти потенциал этого поля j(r).

Решение.

Так как поле центрально симметричное, запишем связь между напряженностью поля и потенциалом в виде раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ;

отсюда dj = -Edr.

Определим потенциал, взяв интеграл от Е по dr, т.е.

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru а раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

отсюда

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru .

Потенциал определяется с точностью до постоянной интегрирования.

Задача №10

Ток силой I = 2A циркулирует в контуре АВСД, имеющем форму равнобочной трапеции. Отношение длин оснований трапеции к = 2. Найти индукцию магнитного поля в точке Е пересечения продолжений боковых сторон трапеции. Меньшее основание трапеции ВС = L = 100 мм, высота трапеции BF = h = 50 мм.

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Решение.

По условию дана равнобочная трапеция, продолжим её стороны до пересечения, получим точку Е, из неё проведём биссектрису ЕО = R = R1.

Получим угол ОЕД = a = 45°. Найдем напряжённость магнитного поля

Н = I/4pR(sina1 + sina2) = (I/4pR)2 раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru /2 = I раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru /4pR;

где a1 и a2 равны a..

Зная, что высота трапеции равна h = R2, найдём напряжённость магнитного поля Н:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Ответ: напряжённость в точке Е составляет Н = 2,24 А/м

Задача №11

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом с током I = 5 A расположена прямоугольная рамка со сторонами а = 10 см и в = 20 см, как показано на рисунке. По рамке течет ток I1 = 0,2 A. Ближайшая сторона рамки находится на расстоянии d = 5см. Определить силу, действующую на рамку.

Решение.

Для решения данной задачи необходимо использовать выражение для напряжённости магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным проводом.

Н = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru . Тогда напряжённость магнитного поля создаваемого током I1 в верхнем плече рамки Нd = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru , и нижнем плече рамки Нg = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru .

По условию задачи необходимо найти силу, действующую на рамку. Она будет состоять из двух компонент направленных в различные стороны и лежащих в плоскости чертежа: т.е. из сил Fб и Fg, действующих на проводники длины b, и сил F, действующих на боковые проводники длины а. Последние силы F различны по величине в разных участках проводника а, но на противоположных сторонах рамки они в соответственных точках равны по величине и противоположны по направлению, а поэтому в сумме дают нуль. Суммарная сила F = Fd - Fg. Силы действующие на боковые плечи рамки роли не играют. Найдём силу действующую на верхнее плечо рамки

Fd = I2bHdmo, и на нижнее Fg = I2bHgmo.

При сложении сил применяем «правило буравчика»:

F = Fd - Fg = (moI1I2b/2p)(1/d – 1/(d+a)) = 5,33 10-7 H

Ответ: F = 5,33×10-7H.

Задача №12

В однородное электрическое поле в вакууме перпендикулярно его силовым линиям со скоростью n влетает электрон. Длина области поперечного сечения поля равна L. На сколько процентов нужно изменить напряженность поля, чтобы отклонение электрона- при пролете поля изменилось на n процентов? Необходимо ли учитывать силу тяжести?

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Движение по оси у равноускоренное

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ; раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru - время пролета через поле при равномерном движении.

Продифференцируем полученное выражение:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ; раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Следовательно, напряженность поля также следует изменить на n процентов.

Определим, при каких напряженностях Е сила тяжести, действующая на электрон, сравнится с силой, действующей со стороны электростатического поля:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru , раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru .

Это поле чрезвычайно слабое. Поэтому при экспериментах с заряженными элементарными частицами пренебрегают влиянием силы тяжести в сравнении с влиянием электрических и магнитных полей.

Задача №13

Доказать, что напряженность поля, создаваемого бесконечной заряженной плоскостью в каждой точке пространства одинакова по величине и направлена перпендикулярно плоскости в данной точке.

Решение:

Рассмотрим заряд, распределенный по поверхности S с поверхностной плотностью s. Возьмем точку наблюдения А и поместим в нее заряд q на расстоянии R от плоскости S (OA ^ пл. S)

 
  раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Разобьем всю плоскость S на кольца шириной dr и в этих кольцах бесконечно близкими радиусами с углом dj между ними выделим элемент площади dS0, который можно рассматривать как несуществующий точечный заряд.

В точке наблюдения напряженность поля, создаваемого элементом кольца dS0, зависит от расстояния до этого элемента и от величины заряда на элементе кольца. Заряд dq элемента dS0 будет определяться выражением

dq = s×dS0. (1)

dS0- элементарная площадь, которая, в свою очередь определяется выражением

dS0 = dr×dl, (2)

dl - дуга центрального угла dj, определяемая выражением dl = r×dj. Отсюда элементарная площадь определяется выражением

dS0 = r×dr×dj. (3)

напряженность электрического поля dE0 в точке А, созданная бесконечно малым (точечным) элементом заряженной плоскости dS0 определяется:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (4)

где r - расстояние от площади dS0 до точки наблюдения А.

Проинтегрировав это выражение по j мы тем самым найдем напряженность поля, создаваемого колечком шириной dr.

Но в точке А векторы dE, созданные различными площадками одного и того же колечка, образуют «веер», так как они направлены по образующим прямого кругового конуса с осью ОА и с вершиной в точке А.

Y - компоненты векторов dE при сложении взаимно компенсируются в силу цилиндрической симметрии задачи, а Х - компоненты суммируются алгебраически, что позволяет их проинтегрировать.

Подставляя в выражение (4) уравнение (3), имеем:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (5)

Проинтегрируем это выражение по dj, т.е.

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (6)

Напряженность поля Е определяется как:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (7)

a dEx, как dEx = dEcosa (8)

 
  раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Как это видно из рисунка, BD = ds, ds - длина дуги BD радиуса r с центром в точке А, ÐCDB = 90°. Следовательно, напряженность поля по оси X, создаваемая колечком равна:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (9)

В выражении (9) нам неизвестны расстояние r, радиус кольца r и угол a, под которым радиус r виден из точки А. Эти неизвестные величины необходимо связать. Введем угол da, под которым изменение радиуса dr видно из течки А. Из рисунка выразим такие величины, как: r, r, и dr.

Из DABD выразим BD, т.е.

BD = rda (10)

ÐCBD = da, поэтому

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (11)

Рассмотрим DAOR и выразим из этого треугольника r и r:

r = Rtga, (12)

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (13)

Из DАВС выразим ОВ. т е

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Подставляя выражения (10); (11) ;(12) и (13) в выражение (9), получим:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

(14)

Теперь мы, подставляя выражение (14) в выражение (7) и интегрируя по a от 0 до p/2, получим напряженность поля, создаваемого бесконечной заряженной плоскостью.

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (15)

Выражение (15) показывает, что напряженность поля, создаваемая бесконечной заряженной плоскостью в каждой точке пространства одинакова по величине и направлена перпендикулярно плоскости в данной точке и не зависит от расстояния до этой плоскости.

Задача №14

Поток солнечной энергии за пределами атмосферы Земли составляет 2 кал/(см2.мин). Определить напряженности электрического и магнитного полей световой волны, считая, что этот поток переносится плоской волной.

Решение

Из уравнений Максвелла следует:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ;

где Еm и Hm – амплитуды напряженностей полей.

Для прозрачных сред m = 1, раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru = n – показатель преломления.

Плотность потока энергии, переносимого плоской волной (вектор Пойнтинга):

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ;

Для вакуума (как и для воздуха) показатель преломления берем за единицу. Поэтому Еm = 1,03×103 В/м; Нm = 2,72 А/м.

Задача №15

Прямой провод, единица длины которого имеет сопротивление R, изогнут под углом 2a посередине. Перемычка из такого же провода перпендикулярна к биссектрисе этого угла и образует с согнутым проводом замкнутый треугольный контур. Этот контур помещен в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярное к его плоскости (см. рис). Перемычка движется вверх так, что тепловая мощность, выделяющаяся в цепи, постоянна и равна Р. Найти зависимость y(t) высоты подъема перемычки от времени, если y(0) = 0. Сопротивлением контактов пренебречь.

Решение

Пусть вектор В направлен вдоль оси oz (см. рис.). Так как при движении перемычки магнитный поток через плоскость контура по абсолютной величине возрастает, то индукционный ток направлен по часовой стрелке, и следует выбрать n = - `к. Тогда

ф = (В, n) S(y) = - BS(y) ,

где S(y) – площадь поверхности, ограниченной контуром, когда перемычка находится на высоте у. Следовательно, ЭДС индукции

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Силу индукционного тока находим по закону Ома

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (1)

Так как контур имеет форму равнобедренного треугольника, то его площадь S(y) = y2/tga . Сопротивление контура

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Подставляя выражения для S(y) и R(y) в формулу (1), получаем

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Тепловая мощность, выделяемая в цепи

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (2)

где

A = 2B2sin2a/ (Rcosa(1+sina)).

Из выражения (2) получаем дифференциальное уравнение для у

(y)1/2 раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru = (P/A)1/2 (3)

Так как Р = const, то, разделяя переменные и интегрируя уравнение (3), получаем

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Поскольку у(0) = 0, то С = 0. Следовательно,

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Задача №16

Сила тока в цепи нарастает по закону I = atn, где a - постоянный коэффициент. Количество теплоты, выделившейся в течение k-той секунды равно Q1. Определить заряд, прошедший через цепь за время t, если её сопротивление R.

Решение

Исходим из определения силы тока и интегрированием находим заряд. Затем используем закон Джоуля-Ленца

dq = Idt, раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru dQ = I2(t)Rdt;

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ; отсюда найдем раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ;

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru 2n + 1 > 0; n > 0,5;

Задача

Длинный провод изогнут подобно шпильке для волос, как показано на рисунке. Получите точное выражение для магнитного поля в точке Р, находящейся в центре полуокружности.

 
  раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru Решение.

Магнитное поле в точке Р, обусловлено током I в прямолинейных частях рассматриваемого привода, равно полю тока той же величины, протекающего в бесконечном прямолинейном проводе, расположенном от точки Р на расстоянии r. Поле, создаваемое током I вдоль полуокружности, равно в точности половине поля кругового тока I. Следовательно, в точке Р магнитное поле

B = 5 / 2 · μ0I / 2π r + 1 / 2 · μ0I / 2π r = μ0I / 4π r ·(2+π).

Оно определяется по правилу буравчика и направлено по нормали к плоскости чертежа.

Приведенное здесь решение станет очевидным, если ввести в рассмотрение другой идентичный контур, как показано на рисунке штриховой линией. Теперь мы имеем два бесконечных прямолинейных провода и один круговой контур – все с токами I. Поскольку поле в точке Р не зависит от поворота одного изогнутого провода относительно другого в плоскости чертежа и поля токов попросту суммируются, то поле тока в одном изогнутом проводе равно половине поля, обусловленного токами во всей рассматриваемой системе проводов.

 
  раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

По прямому проводнику круглого сечения течет постоянный ток I .Найти поток электромагнитной энергии (вектор Пойнтинга) через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление R

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Решение

По определению, вектор Умова – Пойнтинга, выражающий поток энергии, определяется по соотношению раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru , где раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru - вектор напряжённости магнитного поля, раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru - вектор напряжённости электрического поля. Тогда по величине P = H E sin α, где α - угол между раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru и раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru . В нашем случае раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru , так как магнитное поле порождается электрическим током в проводе, причем направление совпадает с направлением напряжённости электрического поля в нём. Направление магнитного поля определяем с помощью правила буравчика. Поэтому Н раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru I и раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru , то есть α = 900 , а sin 900 = 1).

Вектор Е направлен вдоль проводника, вектор Н направлен по касательной к поперечному сечению проводника. Поэтому вектор P направлен внутрь проводника перпендикулярно к его боковой поверхности, т.е. по радиусу к центру сечения проводника. Таким образом, энергия непрерывно поступает в проводник из окружающего пространства. Поток энергии через боковую поверхность проводника равен

Фs =P 2πr l, (*)

гдe P - модуль вектора Умова - Пойнтинга,

r - радиус сечения проводника,

l - его длина

Итак, P = H E (1)

Считаем ток в проводнике постоянным, а электрическое поле в нём однородным. Тогда Е = U/l,

где U - электрическое напряжение на концах проводника, l - его длина.

По закону Ома для участка цепи I = U/R, то U = I R,

где R - сопротивление проводника, Тогда

E = IR/l , (2)

По теореме о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля

H = I/2πr, (3)

где I - сила тока в проводнике, r - радиус линии циркуляции вектора Н, равной длине концентрической с током окружности, длина которой равна периметру сечения проводника.

Подставляем (2) и (3) в (1) , а затем в (*) получаем

Фs = P 2πr l = (I2 R/ 2πr l). 2πr l = I2 R.

Поток вектора Умова - Пойнтинга через боковую поверхность проводника равен мощности, рассеиваемой в проводнике электрическим полем, которая затем излучается в виде инфракрасного электромагнитного излучения поверхностью проводника и уходит в окружающее пространство .

Задача №17

Найти напряженность магнитного поля в точке А контура образованного отрезками прямолинейных проводников с токами. Совместить точку А (или В) с началом координат декартовой системы (ось х - горизонтальна; у – вертикальна; ось z направлена из листа). Найти силу, действующую на элемент тока раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru в этой точке ( раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru - бесконечно малая величина). Ток, создающий магнитное поле считать равным I = 13A, а стороны треугольника - а = 9, в = 10, с = 11. Считать точку А точкой пересечения биссектрис обтекаемого током треугольника.

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Решение

Приступим к вычислению напряженности магнитного поля в точке А. Она равна Н = На + Нв + Нс, т.к. по правилу буравчика векторы Н в этой точке направлены в одну сторону. По стандартной формуле

На =( i/4p r1) (sina1+ sina3), (1)

Нв =( i/4p r3) (sina1+ sina2) (2)

Нс =( i/4p r2) (sina3+ sina2) (3)

Обозначения ясны из рисунка.

Рассмотрим вначале геометрические соотношения в заданном треугольнике. Вычислим углы a1, a2, a3. Для этого, воспользовавшись теоремой косинусов, выразим из:

с2 = а2 + раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru 2 - 2а раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru × cos2a1

cos2a1 = (а2 + раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru 2 - с2)/2а раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru = 81 + 100 -121/2×9×10 = 0,333,

аналогично

cos2a2 = ( раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru 222)/2 раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru с=81+121-81/2×10×11= 0,6363;

cos2a3 = (а22- раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru 2)/2ас=81+121-100/2×9×11= 0,05151.

Выразим cosa1, cosa2, cosa3:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Вычислим углы a1, a2, a3 из значений косинусов

a1 = 35026439, a2 = 250241763, a3 = 290497929.

Из формулы sina = Ö1-cos2a вычислим sina1, sina2, sina3. Имеем:

sina1 = 0,4284, sina2 = 0,3154, sina1 = 0,4923.

Теперь из геометрии осталось найти r1, r2 и r3 - расстояния от точки А до соответствующих проводников с током.

Для нахождения r1 рассмотрим треугольник ВАС. Введем обозначения ВА = х, СА = у. Отсюда по теореме синусов:

х/ sina1 = а/ sing. <a = < ВАС.

х = а×sina1/sing.

Площадь треугольника ВАС S = а×х×sina3/2 в первом случае, где х×sina3 = r1 из треугольника ВАЕ.

Во втором случае:

S = а2×sina1 × sina3/2sin[p - (a1+a3)] =

= а2×sina1×sina3/2sin(a1+a3).

Теперь приравниваем эти площади и выражаем r1:

r1 = а×sina1×sina3/sin(a1+a3) =

= 9×0,4284×0,4923/0,9045×64,7623 = 2,0985.

Аналогично находим r2 и r3

r2 = с×sina2×sina3/sin(a2+a3) =

= 11×0,3154×0,4923/0,8165×54,7396 = 2,0918

r3 = в×sina1×sina2/sin(a1+a2) =

= 10×0,4284×0,3154/0,8704×60,5060 =1,5523

Подставляем найденные r1 =2,0985, r2 = 2,0918, r3 = 1,5523 в формулы (1), (2), (3). Получим: На = 0,4538, Нв = 0,4956, Нс = 0,39997. Находим суммарную напряженность в точке А:

Н = На + Нв + Нс = 1,3491 (А/м).

С учетом правила буравчика определяем вектор Н{0; 0; Нz}; Нz = -1,3491. Теперь находим силу, действующую на элементы тока в этой точке по формуле

dраздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru 1,2 = m04p раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Из условия I3dl3 = {4; 8; 3} раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru .

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

dраздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru 1,2 = (-(8×1,3491) раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru + (4×1,3491) раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru )×10-7 раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru =(- 0,7928 раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru +5,3964 раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru )×10-7 раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru [Н].

РАЗДЕЛ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И ВОЛНОВАЯ ОПТИКА.

Задача №1

Пучок рентгеновских лучей с длиной волны l = 244 нм падает на естественную грань монокристалла NaCl, плотность которого r = 2,16 г/см3. При зеркальном отражении от этой грани образуется максимум второго порядка. Определить угол скольжения a пучка лучей.

Решение.

Кристалл NaCl имеет кубическую решётку. Определим постоянную a этой решётки.

Молярная масса NaCl A = 22,99(Na) + 35,45(Cl) = 58,44 г.

В 58,44 г NaCl содержится число Авогадро молекул:

Na = 6,02×1023 (молекул), а в 2,16г (т.е. в 1см3) содержится искомое число n молекул. Составим пропорцию:

n = Nar/A = 6,02×1023×2,16/58,44 = 2,2×1022 (молек./см3)

тогда объём, приходящийся на одну молекулу,

V = 1/n = 1/2,2×1022 = 0,45×10-22 (см3)

Эту величину можно считать объёмом элементарной кристаллической ячейки. Следовательно, расстояние между атомами Na и Cl в этой ячейке будет:

ар = V1/3 = 3,6×10-10 (м).

По формуле Брэгга-Вульфа определим максимум второго порядка

рsinaск = 2l; где aск – угол скольжения

sinaск = l/ap = 2,44×10-10/3,6×10-10 = 0,68;

Отсюда aск = 42, 67°.

Справочные таблицы дают для расстояния между атомами Na и Cl величину 5,63×10-10(м). В этом случае для угла скольжения aск1 получим

sinaск1 = 2,44×10-10/5,63×10-10 = 0,43.

Отсюда aск1 = 25,68°.

Ответ: aск = 42,67°; aск1 = 25,68°.

Задача №2

Концентрация свободных электронов в ионосфере n0 = 4×107(см-3). Найти показатель преломления n для радиоволн с частотой n = 100 МГц.

Решение.

Для того чтобы определить показатель преломления необходимо определить плазменную (циклическую) частоту при заданной концентрации электронов

wр2 = noе2/meeo; где no – концентрация свободных электронов ионосферы; е – заряд электрона; me – масса электрона.

wр2 = 2,4×1013(1,6×10-19)2/9,1×10-31×8,85×10-12 = 7,63×1016

Отсюда wр = (7,63×1016)1/2 = 2,76×108 -1).

Определим циклическую частоту падающей радиоволны:

w = 2pn = 6,28×108-1).

Так как wр < w, то определим показатель преломления n следующим образом:

n2(w) = 1- wp2/w2 = 1 - 7,63/39,44 = 0,81, отсюда n = 0,9.

Ответ: n = 0,9.

Задача №3

Определить первый потенциал возбуждения атома водорода.

Решение.

Первый потенциал возбуждения соответствует переходу электрона с (n = 1) основного уровня на второй возбуждённый уровень (n = 2). По Бору энергия атома

W = -Rh/n2; где R – постоянная Ридберга, h – постоянная Планка, n – номер уровня.

Определим энергию перехода электрона с первого основного уровня на второй возбуждённый уровень

DW = Rh(1/n12 - 1/n22) = Rh/3 = 3,29×1015 ×6,63×10-34/3=

= 7,27×10-19 Дж.

С другой стороны известно, что DW = еDU, где е – заряд электрона, DU – разность потенциалов, пройденная электроном. В нашем случае – это потенциал возбуждения

DU = DW/e = 7,27×10-19/1,6×10-19 = 4,54 B.

Ответ: DU = 4,54 B.

Задача №4

Зеркало с коэффициентом отражения r , напыленное на тонкую пленку, вывели в космос на высоту h (малую в сравнении с радиусом Земли) с целью освещения приполярных областей. Считая известным поток солнечной энергии падающий на зеркало (солнечная постоянная – 1,4 кВт/ м2), найти освещенность, создаваемую им на Земле. Определить, при какой погонной массе зеркала (кг/м2) силы светового давления, действующие на него, сравняются с силами гравитационного воздействия.

Решение

Сила гравитационного воздействия на высоте h от Земли равна

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

m3 – масса зеркала, Мз – масса Земли, а на поверхности Земли

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru .

Отсюда:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru .

Сила давления света при нормальном падении лучей на зеркало

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

где: S – солнечная постоянная (1,4 . 103 Вт/м2); С0 – скорость света; А – площадь зеркала.

Сравним Fгр и Fсв. Получим :

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Рассмотрим связь между освещенностью и яркостью зеркальной поверхности, создающей эту освещенность.

Освещенность, создаваемая поверхностью с яркостью В площадью S, находящейся на расстоянии h от земли составляет

Е = Bdw,

где dw - телесный угол, под которым видно зеркало с поверхности Земли: dw = S/h2.

Яркость зеркала диффузно переотражающего солнечные лучи находим по формуле B = rEc/p,

где Ес – освещенность, создаваемая солнцем на зеркале, Ес = 1,4.105 лк.

Задача №5

На плоскопараллельную стеклянную пластинку падает под углом Брюстера узкий пучок естественного света. Коэффициент отражения R = 0,080. Определить степень поляризации света, прошедшего через пластинку.

Решение.

Проведем анализ условия задачи. Для описания изменения поляризации света при отражении и преломления на границе раздела сред, пользуются понятием степени поляризации

P = (I1-I2)/(I1+I2), (1)

где I1 и I2 – интенсивности плоско поляризованных компонентов пучка, у которых вектор Е перпендикулярен или параллелен плоскости падения (т.е. плоскости, в которой лежит падающий луч и нормаль, восстановленная к границе раздела в данной точке падения).

Очевидно, что сумма, стоящая в знаменателе выражения (1), равна полной интенсивности пучка. Чтобы найти степень поляризации в пучке 4 (рис.), разберем детально, как происходит поляризация света при прохождении его через стеклянную пластинку.

Падающий свет, по условию, естественный, поэтому

I0^= I0ll = 0,5 I0 . (2)

Степень поляризации естественного пучка, следовательно, равна нулю. При падении света на изотропный диэлектрик под углом Брюстера отражаться может только та компонента, в которой вектор раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru колеблется перпендикулярна плоскости падения. Поэтому луч 1 будет полностью поляризован (степень поляризации равна 1). Световой пучок, прошедший через верхнюю поверхность пластинки (луч 2), содержит компоненту, в которой вектор раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru колеблется в плоскости падения (на рисунке обозначена ll), и компоненту, в которой вектор раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru колеблется нормально плоскости падения ( на рисунке обозначена * ). Пучок 2 будет частично поляризован, т.к. обе компоненты присутствуют не в равной мере. Так как луч 2 падает на нижнюю поверхность пластины тоже под углом Брюстера, то луч 3, отраженный от нее, так же полностью поляризован с колебаниями вектора раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru перпендикулярными плоскости падения. Свет, прошедший через обе поверхности, (луч 4), поляризован частично. Для определения степени поляризации этого пучка необходимо рассчитать интенсивность обеих компонент пучка. Поскольку пучки 1 и 3 содержат только импульсы, в которых вектор раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru колеблется перпендикулярно плоскости падения, то, очевидно, что

I4ll > I0^ и I4 ll = I0ll (3)

(Здесь и в дальнейшем нижний цифровой индекс соответствует номеру своего пучка). Значение I4^ зависит от коэффициента отражения, равного отношению интенсивности отражения света к интенсивности падающего: R = I1/I0

Так угол падения равен углу Брюстера, то I1 = I1^ и соответственно равен (см.(2)):

R = I1^/I0 = I1^/2 I0^ I (4)

Согласно теории Френеля, отношении интенсивности отраженного света к интенсивности падающего для выбранного направлений колебания вектора раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (в данном случае для E^ ) зависит только от суммы (либо от разности) углов падения и преломления. Поскольку данная пластинка плоскопараллельная, условия отражения на верхней и нижней гранях одинаковы, поэтому с учетом выражения (4) можно записать:

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (5)

Дадим расчет. В световом пучке, прошедшим через верхнюю поверхность пластинки, I 2^= I 0^ – I1^ и, согласно (5),

I 2^= I 0^(1-2R) (6)

Очевидно, что интенсивность соответствующих компонентов в световом пучке, прошедшем через нижнюю поверхность,

I4^ =I 2^ - I3^ (7)

Подставим выражение (6) и (5) в (7) :

I4^ =I 0^(1-2R)2 =0,5 I 0(1-2R)2

Подставим выражение (8), (3), (2) в (1), найдем окончательно

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Задача №6

Светящаяся точка, находящаяся в среде с показателем преломления n1, рассматривается невооруженным глазом из среды с показателем преломления n2. Каково будет кажущееся расстояние точки до границы раздела сред, если точка находится от этой границы на расстоянии h0, а глаз расположен так, что в него попадают лучи, падающие на границу раздела под небольшими углами?

Решение

Допустим, что светящаяся точка A0 (рис.) находится в среде с показателем преломления n1 и глаз наблюдателя расположен над предметом в среде с показателем преломления n2 так, что в него попадают лучи, идущие под малыми углами к нормали N. Выберем из пучка лучей, попадающих в глаз наблюдателя, два луча A0C и A0D. Первый луч падает перпендикулярно границе раздела сред и идет во вторую среду не преломляясь. Второй луч, переходя во вторую среду, отклоняется от своего начального направления. Рассмотрим два случая: когда n1 > n2 (глаз расположен в оптически менее плотной среде) и когда n1 < n2 (глаз помещен в среде оптически более плотной, чем среда, где находится источник).

Если луч A0D переходит в среду менее плотную, он откланяется от своего начального направления, удаляясь от нормали в точке D, и идет по направлению 1/. Если же луч переходит в среду более плотную, он приближается к нормали и идет по направлению 1. В первом случае лучи, вышедшие из точки A0, кажутся наблюдателю выходящим из A/1, во втором – из A1 . Эти точки являются мнимым изображением предмета A0, расстояние которых h/1 и h1 от границы раздела сред определяются следующим образом.

Допустим, что угол падения луча в точке D равен a,

угол преломления оказывается равным соответственно b и b1

Тогда, как видно из чертежа, в треугольниках A0DC и A1DC сторона СD является общей.

Поэтому можно записать

CD = h0 tga = h1 tgb (или h0 tg a = h1 tg b1 )

откуда

h1= h0 * раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ( h1= h0* раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ).

Поскольку лучи падают на границу раздела сред под небольшими углами, то вследствие малости a и b тангенсы этих углов можно заменить их синусами

h1 = h0* раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru (h11=h0* раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru ).

по закону преломления раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru , следовательно, h1=h0* раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru .

Такой же результат получается и для второго случая. Как показывают приведенные расчеты и построения, светящийся предмет А будет казаться наблюдателю ближе к поверхности раздела h1 < h0, если вторая среда менее плотная n1 < n2 (например, из воздуха рассматривается предмет, находящийся в воде). Если же смотреть на светящуюся точку из среды оптически более плотной (например, из воды в воздух), то точка будет казаться дальше, чем она находится на самом деле, поскольку при n2 > n1 имеем h1 > h0

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Задача №7

Узкий пучок естественного света проходит через газ из оптически изотропных частиц. Найти степень поляризации света , рассеянного под углом θ к лучу

в рассеянном пучке амплитуда светового вектора перпендикулярного плоскости падения не изменяется а амплитуда вектора в плоскости падения связана с Е0 граничным условием (см. объяснение явления Брюстера)

Е|| = Е0 sin (900 - θ) = Е0 cos θ

Таким образом, в рассеянном пучке максимальная интенсивность светового поля

Imax = Е0 2, а минимальная - Imшт = Е0 2 cos2 θ

по определению степени поляризации

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru = раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Найти разность углов: критического при полном внутреннем отражении и угла Брюстера (угла полной поляризации) при отражении световой волны на границе раздела двух прозрачных сред с показателями преломления n1 и n2 . Построить ход лучей при отражении. Принять n1 = 1,5 n2 = 1,9.

Решение.

При переходе луча из оптически более плотной среды в менее плотную при угле падения большем (или равном) критического имеет место полное внутреннее отражение, когда вся энергия падающего луча уходит в отраженный луч, а преломленный луч (боковая волна) скользит вдоль границы раздела сред (см. рис.).

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Из закона преломления имеем

n2 sin xкр = n1 sin 90o sin xкр = n1/n2 = 1.5/1.9 = 0.7895.

α кр = 52о,1363

Рассмотрим явление Брюстера. Оно состоит в полной поляризации отраженного от плоской границы раздела двух диэлектриков (или прозрачных сред в оптике) луча (неполяризованной электромагнитной волны). Из формул Френеля следует, что в отраженном свете может отсутствовать волна, электрический вектор которой лежит в плоскости падения.

Пусть а – неполяризованная падающая волна. Если она падает под таким углом αБр,

что tg αБр = n1/n2, , (1)

то в отраженной волне r остается только та поляризация, для которой электрический вектор Е перпендикулярен плоскости падения (плоскости чертежа).

В преломленной волне преобладает поляризация, параллельная плоскости падения и эта волна, таким образом, частично поляризована.

Из § 112 “Курса общей физики” И.В. Савельева и “Справочника по физике ” Б.М.Яворский, А.А.Детлаф (с. 588) после преобразований берем коэффициент отражения в виде:

Rp = (n1cosα2 - n2cosα1) /(n1cosα2 + n2cosα1) (1)

- коэффициент отражения для поляризации параллельной плоскости падения. Rp = 0, если

n1cosα2 = n2cosα1 (2)

раздел 2. геометрическая и волновая оптика. - student2.ru

Закон преломления n2sinα2 = n1sinα1 (3)

Возведем (2) в квадрат и получим n12 cos2α2 = n22cosα12,

или n12(1 – sin2α2) = n22(1 – sin2α1). (4)

Из (2) sinα1 = n2 sinα2 / n1 .

Наши рекомендации