Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста

Принцип аргумента.

В основе частотных методов лежит принцип аргумента.

Проведем анализ свойств многочлена вида:

Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru где li - корни уравнения

Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru

На комплексной плоскости каждому корню соответствует вполне определенная точка. Геометрически каждый корень li можно изобразить в виде вектора, проведенного из начала координат в точку li: |li| - длина вектора, argli - угол между вектором и положительным направлением оси абсцисс. Отобразим D(p) в пространство Фурье, тогда Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru где jw-li - элементарный вектор.

Концы элементарных векторов находятся на мнимой оси.

Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru - модуль вектора, а аргумент (фаза) Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru

Направление вращения вектора против часовой стрелки принимают за ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ. Тогда при изменении w от Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru до Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru каждый элементарный вектор (jw-li) повернется на угол +p, если li лежит в левой полуплоскости.

Пусть D(l)=0 имеет m корней в правой полуплоскости и n-m корней в левой, тогда при возрастании w Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru до Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru изменение аргумента вектора D(jw) (угол поворота D(jw), равный сумме изменений аргументов элементарных векторов) будет Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru

Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru

Принцип аргумента.

Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru Изменение аргумента вектора D(jw) при возрастании w от Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru до Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru равно разности (n-m) корней уравнения D(l)=0, лежащих в левой части плоскости, и числом m корней уравнения, лежащих в правой части плоскости, умноженной на p.

Критерий Найквиста базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи САУ, так как по виду частотных характеристик разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Критерий Найквиста нашел широкое применение в инженерной практике по следующим причинам:

1. Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru Устойчивость системы в замкнутом состоянии исследуют по частотной передаточной функции ее разомкнутой цепи, а эта функция, чаще всего состоит из простых сомножителей. Коэффициентами являются реальные параметры системы, что позволяет выбирать их из условий устойчивости.

2. Для исследования устойчивости можно использовать экспериментально полученные частотные характеристики наиболее сложных элементов системы (объект регулирования, исполнительный орган), что повышает точность полученных результатов.

3. Исследовать устойчивость можно по ЛЧХ, построение которых несложно.

4. Удобно определять запасы устойчивости.

1. Система, устойчивая в разомкнутом состоянии.

Пусть Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru введем вспомогательную функцию Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru заменим p®jw, тогда Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru

Согласно принципа аргумента изменение аргумента D(jw) и Dз(jw) при 0<w<¥ равно Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru Тогда Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru то есть годограф W1(jw) не должен охватывать начало координат.

Для упрощения анализа и расчетов сместим начало радиуса-вектора из начала координат в точку (-1, j0), а вместо вспомогательной функции W1(jw) используем АФХ разомкнутой системы W(jw).

Формулировка критерия №1

Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи не охватывала точку (-1, j0).

Примеры.

Вопрос 2. Критерий устойчивости Найквиста - student2.ru Отметим, что разность числа положительных и отрицательных переходов АФХ левее точки (-1, j0) равна нулю.

Билет 24

Наши рекомендации