Решение алгебраических уравнений в аналитическом и численном видах

Решение алгебраических уравнений в аналитическом виде:

Solve[lhs == rhs, x] - решить уравнение lhs == rhs относительно переменной x.

Solve - решить систему уравнений относительно переменных .

Численное решение алгебраических уравнений:

NSolve - численная аппроксимация корней полиномиального уравнения.

FindRoot - находит решение уравнения численным методом, стартуя из точки .

Дифференциальные уравнения

a) DSolve - находит решение дифференциального уравнения , как функцию y[x] от независимой переменной x.

ПРИМЕР аналитического решения дифференциального уравнения.

In[1]= DSolve[y'[x]==2 a x, y[x], x]

Out[1]= {{y[x]->a x²+c[1]}}

b) NDSolve - численное решение дифференциальных уравнений на промежутке .

ПРИМЕР решения системы дифференциальных уравнений численным методом.

Пусть необходимо решить систему дифференциальных уравнений 2-го порядка

с начальными условиями

относительно переменных на промежутке времени t от 0 до 20 секунд.

In[1]:=NDSolve[{x1'[t] == x2[t],

x2'[t] == x2[t] * (1 - x1[t]^2) - x1[t],

x1[0] == 3.0 ,x2[0] == 0,5},

{x1[t], x2[t]}, {t, 0,20}]

Out[1]= {{x1[t] -> InterpolatingFunction[{0., 20.}, <>][t],

x2[t] -> InterpolatingFunction[{0., 20.}, <>][t]}}

Решение системы дифференциальных уравнений найдено в виде интерполяционной функции {{x1[t] -> InterpolatingFunction[{0., 20.}, <>][t],

x2[t] -> InterpolatingFunction[{0., 20.}, <>][t]}}

Графический вывод фазовых кривых:

In[2]:= ParametricPlot[Evaluate[{x1[t], x2[t]} /.%], {t, 0, 20}]

Out[2]= -Graphics-

Графический вывод временных процессов:

In[3]:= Plot[Evaluate[{x1[t], x2[t]} /.%%], {t, 0, 20}]

Out[3]= -Graphics-

Правила преобразования

Правила преобразования применяются для формальной подстановки в математических выражениях вместо lhs компоненты rhs компоненты. Синтаксис записи правил преобразования имеет следующий вид:

expr /.lhs -> rhs ,

где expr- математическое выражение; lhs - компонент , который необходимо заменить; rhs - компонент, на который заменяется lhs; -> - оператор замены.

Если к выражению необходимо применить несколько правил преобразования, то правила необходимо записать в виде списка:

expr /. {lhs1 -> rhs1, lhs2 ->rhs2...}

ПРИМЕРЫ применения правил преобразования

In[1]:= x + y /. x->3 - вместо x в выражение подставляется 3

Out[1]= 3 + y

In[2]:= x + y /. {x->a, y->b} - вместо x в выражение подставляется a, а вместо y подстав-

Out[2]= a + b ляется b

expr /.{rules, rules,...} - дает список результатов после применения каждого правила

In[3]:= x+y /. {{x->1, y->2}, {x->4, y->2}}

Out[3]= {3, 6}

expr//.rules - правила преобразования применяются друг к другу и к выражению expr

In[4]:= x^2 + y^6 /. { x->2+a } - обычное применение правил

Out[4]= (2 + a)² + y⁶

In[5]:=x^2+y^6 //. { x->2+a, a->3 } - применение правил друг к другу и к выражению

Out[5] =25 + y⁶

Замечание: Правило преобразования можно связать с именем.

In[6]:= rt = Sin[x_]^2 + Cos[x]^2 -> 1;

In[7]:= x - Cos[a x^2 + b x + c]^2 - Sin[a x^2 + b x + c]^2 /. rt

Out[7]= x - 1

Функции и программы

Определение функции

Функции в языке программной системы Mathematica определяются следующим образом:

<имя функции>[<список формальных параметров>]:=<тело функции>.

После каждого имени параметра в списке формальных параметров ставится символ "_". Символ "_" в конце имени параметра означат, что параметр является формальным. В теле функции за именем формальный переменой символ подчеркивания не ставится. Пользователь всегда может вывести определение функции. Для этого необходимо ввести команду

?<имя функции>.

Определение функции в процессе работы можно удалить с помощью команды Clear[<имя функции>].

ПРИМЕРЫ:

In[1]:= f[x_] := x^2 - определение функции

In[2]:= f[a+1] - вызов функции

Out[2]:=(1 + a)²

In[3]:= ?f - вывод определения функции

Global `f

f[x_]:=x^2