Окружности, эллипса, гиперболы, циклоиды, астроиды

Вопросы к экзамену по математике-1

1. Множества, операции над множествами.

2. Числовая прямая, подмножества числовой прямой. Окрестности.

3. Границы числовых множеств.

4. Отображения и функции.

5. Основные элементарные функции, их графики. Элементарные и неэлементарные

функции.

6. Точка сгущения. Определение предела функции на языке окрестностей. Графическая

иллюстрация. Различные случаи.

7. Односторонние пределы, графическая иллюстрация. Теорема об односторонних пределах.

8. Предел функции на языке ε-δ, графическая иллюстрация. Предел последовательности на

языке ε-δ. Предел функции по Гейне.

9. Бесконечно малая функция. Основная теорема анализа. Бесконечно большая функция,

связь с бесконечно малой.

10.Теоремы о бесконечно малых функциях.

11. Основные теоремы о пределах.

12. Сравнение бесконечно малых. Символы О и о. Эквивалентность, теоремы об

эквивалентных бесконечно малых.

13. Замечательные пределы. Эквивалентные пары. Порядок функций.

14. Непрерывность функции в точке – основное определение, определения на языке

окрестностей и ε-δ.

15. Приращение функции в точке. Разностное определение непрерывности. Непрерывность

на множестве. Односторонняя непрерывность.

16. Теоремы о непрерывных функциях – непрерывность арифметических операций, сложной и

обратной функций, основных элементарных и элементарных функций. Доказательство

непрерывности функции .

17. Теоремы о функциях, непрерывных на замкнутом промежутке – о сохранении знака,

о промежуточном значении, о корне функции, 1-я и 2-я теоремы Вейерштрасса. Примеры.

18. Точки разрыва, их классификация. Примеры.

19. Определение производной функции в точке. Вывод производных функций .

Правила дифференцирования – производная суммы, разности, произведения,

Частного, сложной функции, логарифмическое дифференцирование.

20. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Односторонние производные.

21. Геометрический смысл производной. Графическая иллюстрация дифференцируемых и

не дифференцируемых в точке функций. Уравнения касательной и нормали.

22. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал функции. Основная теорема.

Геометрический смысл дифференциала и применение для приближенных вычислений.

23. Дифференцирование обратной и неявно заданной функций.

24. Параметрическое задание функций, их дифференцирование.

25. Примеры функций, заданных параметрически. Параметрические уравнения прямой,

окружности, эллипса, гиперболы, циклоиды, астроиды.

26. Гиперболические и обратные гиперболические функции, их дифференцирование.

27. Производные высших порядков. Формула Лейбница.

28. Дифференциалы высших порядков. Основное отличие от дифференциала первого

порядка.

Теоремы Ферма и Ролля.

30. Теоремы Лагранжа и Коши. Формула конечных приращений.

31. Правило Лопиталя-Бернулли. Различные случаи.

32. Сравнение скорости роста многочлена, экспоненты, логарифма при .