Задачи для самостоятельной работы (типовые расчеты)

"Криволинейные интегралы"(12.05.12)

Задача 1. Плоская материальная кривая Гс линейной плотностью

μ = μ (x , y) задана параметрическими уравнениями. Найти

массу Мг дуги кривой:

1). Г: x = 3 (t – sin t), y = 3 (1 – cos t)(t є [ 0, 2π ]); μ = ;

2). Г: x = 5 , y = 5 (t є [- , ]); μ = | y |;

3). Г: x = cos t + t sin t, y = sin t – t cos t (t є [ 0, 2π ]); μ = ;

4). Г: x = ( – 2) sin t + 2t cos t, y = (2 – ) cos t + 2t sin t,

(t є [ 0, π ]); μ = ;

5). Г: x = (cos t + sin t), y = (cos t – sin t) (t є [ 0, ]);

μ = ;

6). Г: x = 2 cos t – cos 2 t, y = 2 sin t – sin 2 t (t є [ 0, 2π ]); μ = ;

7). Г: x = 4 , y = 4 (t є [ , ]); μ = | x y |;

8). Г: x = 2 (t – sin t), y = 2 (1 – cos t)(t є [ 0, 2π ]); μ = y;

9). Г: x = 2 (cos t + t sin t ), y = 2 (sin t – t cos t) (t є [- , ]);

μ = ;

10). Г: x = (cos t + sin t), y = (cos t – sin t) (t є [ 0, π ]); μ = | x y |;

11). Г: x = 2 t cos t, y =2 t sin t (t є [ 0, 1 ]); μ = 2 ;

12). Г: x = 5 (t – sin t), y =5 (1 – cos t) (t є [ 0, ]); μ = ;

13). Г: x = 2 (cos t + t sin t), y = 2 (sin t - t cos t) (t є [ 0, 2π ]); μ = ;

14). Г: x = 2 , y = 2 (t є [- , ]); μ = ;

15). Г: x = 4 (t - sin t), y = 4 (1– cos t)(t є [ 0, 2π ]); μ = ;

16). Г: x = (cos t + sin t), y = (cos t – sin t) (t є [ 0, π ]); μ = ;

17). Г: x = 2 cos t – cos 2 t, y = 2 sin t – sin 2 t (t є [ 0, ]); μ = y;

18). Г: x = t cos t, y = t sin t (t є [ 0, 1 ]); μ = ;

19). Г: x = 3 , y = 3 (t є [- , ]); μ = ;

20). Г: x = 4 (cos t + t sin t), y = 4 (sin t – t cos t) (t є [ 0, π ]); μ = ;

21). Г: x = (cos t + sin t), y = (cos t – sin t) (t є [ 0, ]); μ = ;

22). Г: x = 3 (t – sin t), y = 3 (1 – cos t)(t є [ 0, π ]); μ = y ;

23). Г: x = 5 , y = 5 (t є [ 0, ]); μ = ;

24). Г: x = ( – 2) sin t + 2t cos t, y = (2 – ) cos t + 2t sin t,

(t є [ 0, π ]); μ = ;

25). Г: x = t cos t, y = t sin t (t є [ 0, 2 ]); μ = ;

26). Г: x = 2 cos t – cos 2 t, y = 2 sin t – sin 2 t (t є [ 0, π ]); μ = ;

27). Г: x = cos t + t sin t, y = sin t – t cos t (t є [ 0, 2π ]); μ = | y |;

28). Г: x = 8 (t – sin t), y = 8 (1 – cos t)(t є [ 0, π ]); μ = ;

29). Г: x = 5 (cos t + t sin t ), y = 5 (sin t – t cos t) (t є [ 0, ]); μ = | x |;

30). Г: x = (cos t + sin t), y = (cos t – sin t) (t є [ 0, ]); μ = x .

Задача 2.Вычислить работу силового поля Fвдоль дуги кривой Г:

1). F = , Г: y = sin x , x є [ , ];

2). F = 2 (arcsin x – x ln y) i – (2 arcsin y + ) j,

Г: y = tg 2x , x є [ , ];

3). F = , Г: y = , x є [ , ];

4). F = [ y + ln (1 + x) ] i + (x + 1 – ) j, Г: y = sin 2x, x є [ 0, ];

5). F = [sin x + cos (x + )] i +2y cos (x + ) j,Г: y = sh x, x є [ 0, ];

6). F = i + (y – ) j, Г: y = ctg x, x є [ , ];

7). F = (1 + cos x – ) i+(cos y + ) j,

Г: y = sin 2x, x є [ , ];

8). F = ,

Г: y = , x є [ 0, ];

9). F = , Г: y = , x є [ , ];

10). F = ; Г: y = , x є [ 0, 2];

11).F = (x sin y + y cos y) i + (x cos y – y sin y) j;

Г: y = x, x є [ , ];

12). F = (2x + + ) i + 2 y j; Г: y = , x є [ 0, ];

13). F = (1 – y ) i + j; Г: y = , x є [ , ];

14). F = (2x – y ) i + j; Г: y = 2 x, x є [ 2, 3];

15). F = (1+ x+ y) i + (1– x – y) j;Г: y = ln x, x є [ 1, 2];

16).F = y i + (y + ) j; Г: y = ch x, x є [ 0, 4];

17). F = i + (cos y + x ) j; Г: y = , x є [ 0, ];

18). F = (2x cos y – sin x) i + (2y cos x – sin y)j;

Г: y = , x є [ , ];

19). F = [y cos x + sin (x – y)] i + [sin x - sin (x – y)] j; Г: y = x, x є [ , ];

20). F = 2 (xy + sin y) i + (2x cos y + ) j; Г: y = 3x, x є [ 0, 3];

21). F = 2x cos (y + ) i + [sin y + cos (y + )] j,Г: y = ch x, x є [ 0, ];

22). F = (cos x + y ) i + j; Г: y = , x є [ , ];

23). F = (2 arcsin x + ) i – 2 (arcsin y – y ln x) j,

Г: y = ctg 2x , x є [ π / 8, π / 6 ];

24). F = (y + 1 – ) i + [ x + ln (1 + y) ] j, Г: y = sin 2x, x є [ 0, π / 2 ];

25). F = (cos x + ) i+(1+ cos y – ) j,

Г: y = sin 2x, x є [ π / 2, 3 / 2 π ];

26). F = (1– x – y) i + (1 + x + y) j;Г: y = ln x, x є [ 1, 2 ];

27). F = [sin y + sin (x – y) ] i + [ x cos y –sin (x – y) ] j,

Г: y = 2x, x є [ , ];

28).F = (x + ) i +x j; Г: y = sh x, x є [ 0, 4];

29). F = (2y cos x + ) i + 2 (xy + sin x) j,Г: y = 4x, x є [ 0, 3];

30). F = (x – ) i + j, Г: y = tg x, x є [ , ].

Задача 3.Найти циркуляцию Ц вектора a вдоль контура Г:

1). a= (x–z) i + (z–x) j + (x–y) k; Г : = 1, z = 2 (1– x);

2). a= 2 y i + 3 x j + x k; Г : = 4, x + y + z = 2;

3). a= x i – / 3 j + y k; Г : = 1, 8 x– 4 y– 4 z = 1;

4). a= x i – 2 j + y k; Г : 16 + 9 = 144, z–2 x+ y = 1;

5). a= – z i – x j + xz k; Г : + = 25, z = 4;

6). a= x i – 3 j + y k; Г : 16 + = 16, z – 2 x + y = 3;

7). a= – i + 4 j + z k; Г : = 4, z = 4;

8). a= xy i + yz j + xz k; Г : = 9, x + y + z = 1;

9). a= x z i – j + y k; Г : = 3, z = 1;

10). a= y i – 2 x j + k; Г : z = 4 ( ) + 2, z = 6;

11). a= x i + yz j – x k; Г : = 1, x + y + z = 1;

12). a= 2y i + 5z j + 3x k; Г : 2 ( ) = 1, x + y + z = 3;

13). a= 4x i – yz j + x k; Г : = 1, x + y + z = 1;

14). a= 2 (2 – xy) i – yz j – xz k; Г : = 4, x + y + z = 1;

15). a= 3 z i – 2 y j + 2 y k; Г : = 4, 2 x –3 y –2 z = 1;

16). a= yz i + 2 xz j + xy k; Г : = 9, z = 4;

17). a= (y– z) i + (z–x) j + (x–y) k; Г : = 4, 2 z +3 x = 6;

18). a= 2 y i – z j + x k; Г : = 1, x + y + z = 4;

19). a= 3 y i – 3 x j + x k; Г : = 9, x + y + z = 3;

20). a= (y– z) i + (z–x) j + (x–y) k; Г : = 16, 4 z + x =4;

21). a= x i + j + y k; Г : 4 + = 4, 2 x – y – z = 1;

22). a= y i – xj + z k; Г : + = 1, z = 3;

23). a= – i + 2 j + xz k; Г : = 2, z = 1;

24). a= 4 i + 3 x j + 3 xz k; Г : = 9, z = 3;

25). a= 4 yi – 3 x j + x k; Г : = 16, x + y + z = 4;

26). a= 2 yi + j – 2 yz k; Г : = 4, z = 2;

27). a= x z i – j + y k; Г : = 1, z = 4;

28). a= 4 xi + 2 j – x y k; Г : = 3, z = 7;

29). a= y i – x j + 2 z k; Г : = 1, z = 2;

30). a= z i + x j + y k; Г : = 4, z = 0 .