Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии

Таблица 3.1. Используемые обозначения

Обозначение Наименование
a, b a, b, c отрезки, отсекаемые прямой на плоскости на осях координат отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат
k k1, k2 угловой коэффициент прямой на плоскости угловые коэффициенты прямых на плоскости
M(x, y) M(x, y, z) текущая точка прямой на плоскости текущая точка плоскости или прямой в пространстве
Mo(xo, yo), M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) координаты фиксированных точек на плоскости
Mo(xo, yo, zo), M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2 ), M3(x3, y3, z3) координаты фиксированных точек в пространстве
n = (A, B) n1 = (A1, B1) n2 = (A2, B2) нормальный вектор прямой на плоскости   нормальные векторы прямых на плоскости  
n = (A, B, C) n1 = (A1, B1, C1) n2 = (A2, B2, C2) нормальный вектор плоскости   нормальные векторы плоскостей
q = (l, m) q1 = (l1, m1) q2 = (l2, m2) направляющий вектор прямой на плоскости   направляющие векторы прямых на плоскости
q =(l, m , n) q1 = (l1, m1, n1) q2 = (l2, m2, n2) направляющий вектор прямой в пространстве 1) направляющие векторы прямых в пространстве 2) направляющие векторы плоскости
r = (x, y) r = (x, y, z) радиус-вектор текущей точки прямой на плоскости радиус-вектор текущей точки плоскости или прямой
ro = (xo, yo) ro = (xo, yo, zo) радиус-вектор фиксированной точки на плоскости радиус-вектор фиксированной точки в пространстве
t переменный параметр
  j 1) угол между двумя прямыми на плоскости или в пространстве 2) угол между двумя плоскостями 3) угол между прямой и плоскостью
           

Таблица 3.2. Уравнения прямой на плоскости

  Уравнение     Наименование   Параметры
rn+ C = 0 общее векторное уравнение прямой, проходящей перпендикулярно нормальному вектору n = (A, B) – нормальный вектор прямой;   (xo, yo), (x1, y1), (x2, y2) - координаты фиксированных точек на прямой; r = (x, y) – радиус-вектор текущей точки прямой; ro = (xo, yo) – радиус- вектор фиксированной точки на прямой; k - угловой коэффициент прямой; a - отрезок, отсекаемый прямой на оси 0x; b - отрезок, отсекаемый прямой на оси 0y; t - параметр; q = (l, m) - направляющий вектор прямой
r = ro + qt векторное параметрическое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку параллельно направляющему вектору
Ax + By + C = 0     общее уравнение прямой
A(x - xo)+B(y - yo) = 0   уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению
y = kx + b   уравнение прямой с данным угловым коэффициентом  
y - yo = k(x - xo) уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
  Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru   каноническое уравнение прямой  
Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru уравнение прямой, проходящей через две точки
Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru уравнение прямой в отрезках
Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru параметрические уравнения прямой

Таблица 3.3. Частные случаи положения прямой на плоскости

№ п/п   Случай   Уравнение   Нормальный вектор   График прямой L
  A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0, L || Ox   By + C = 0 или y = y1 n = (0, B), n ^ Ox Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru y L Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru y1 Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru n O x
  B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0, L || Oy   Ax + C = 0 или x = x1 n = (A, 0), n ^ Oy Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru Y L n
 
  Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru

O x1 x

    C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0, L проходит через начало координат   Ax + By = 0 или y = kx n = (A, B) Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru x L Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru n
 
  Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru

O x

  A = 0, C = 0, B ¹ 0, L совпадает с осью Ox   y = 0 n = (0, 1), n ^ Ox Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru x n L Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru O x
  B = 0, C = 0, A ¹ 0, L совпадает с осью Oy   x = 0 n = (1, 0), n ^ Oy Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru x Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru L n   Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru O x

Таблица 3.4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Прямые заданы уравнениями с параметрами
первой прямой: второй прямой:
n1 = (A1, B1), q1 = (l1, m1), k1 n2 = (A2, B2), q2 = (l2, m2), k2
    Угол между двумя прямыми   1) cosj = Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru ; 2) cosj = Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru ; 3) tgj = Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru
  Условие параллельности   1) n1||n2 Þ Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru ; 2) q1||q2 Þ Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru ; 3) k1 = k2
  Условие перпендикулярности   1) n1^n2 Þ n1×n2 = 0 или A1A2+B1B2 = 0 2) q1^q2 Þ q1×q2 = 0 или l1l2+m1m2 = 0 3) k1× k2 = -1
     

Таблица 3.5. Уравнения плоскости в пространстве

Уравнение Наименование Параметры
rn+ D = 0 общее векторное уравнение плоскости, проходящей перпендикулярно нормальному вектору r = (x, y, z) – радиус-вектор текущей точки плоскости; n = (A, B, C) - нормальный вектор плоскости; q1и q2 – направляющие векторы плоскости; (xo, yo, zo), (x1, y1, z1), (x2, y2, z2 ), (x3, y3, z3) - координаты фиксированных точек на плоскости; a, b, c - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат
  (q1´ q2)r+ D = 0 векторное уравнение плоскости, проходящей, проходящей параллельно двум направляющим векторам
Ax+By+Cz+D = 0 общее уравнение
A(x-xo)+B(y-yo) + + C(z-zo) = 0 уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению
Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru уравнение плоскости, проходящей через три точки
Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru уравнение плоскости в отрезках
       

Таблица 3.6. Частные случаи положения плоскости в пространстве

№ п/п Случай Уравнение Положение плоскости P
  A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0, D ¹ 0   By + Cz + D = 0 P || Ox
  B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0, D ¹ 0   Ax + Cz + D = 0 P || Oy
  C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0, D ¹ 0   Ax + By + D = 0 P || Oz
  D = 0, A ¹ 0, B ¹ 0, C ¹ 0   Ax + By + Cz = 0 P проходит через начало координат
  A = 0, B = 0, C ¹ 0, D ¹ 0   Cz + D = 0 P || Oxy  
  A = 0, C = 0, B ¹ 0, D ¹ 0 By + D = 0 P || Oxz
  B = 0, C = 0, A ¹ 0, D ¹ 0 Ax + D = 0 P || Oyz
  A = 0, D = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 By + Cz = 0 P проходит через ось Ox
  B = 0, D = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 Ax + Cz = 0 P проходит через ось Oy
  C = 0, D = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 Ax + By = 0 P проходит через ось Oz
  A = 0, B = 0, D = 0, C ¹ 0 z = 0 P совпадает с Oxy
  A = 0, C = 0, D = 0, B ¹ 0 y = 0 P совпадает с Oxz
  B = 0, C = 0, D = 0, A ¹ 0 x = 0 P совпадает с Oyz

Таблица 3.7. Взаимное расположение двух плоскостей

Плоскости заданы уравнениями с параметрами
первой плоскости: второй плоскости:
n1 = (A1, B1 , C1) n2 = (A2, B2 , C2)
  Угол между двумя плоскостями   cosj = Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru
Условие параллельности n1||n2 Þ Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru
Условие перпендикулярности n1 ^ n2 Þ n1×n2 = 0 или A1A2+B1B2 + C1C2= 0
     

Таблица 3.8. Уравнения прямой в пространстве

Уравнение Наименование Параметры
r = ro + qt векторное параметрическое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку параллельно направляющему вектору r = (x, y, z) – радиус-вектор текущей точки прямой;   ro = (xo, yo, zo) – радиус-вектор фиксированной точки на прямой; n1 = (A1, B1, C1), n2 = (A2, B2, C2) - нормальные векторы плоскостей;
  (r - ro) ´ q = o векторное уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку параллельно направляющему вектору
Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru общие уравнения прямой
Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru канонические уравнения   q = (l, m, n) -
Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки направляющий вектор прямой; t - параметр;
Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru параметрические уравнения прямой (xo, yo, zo), (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) - координаты фиксированных точек на прямой

Таблица 3.9. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Направляющие векторы
первой прямой: второй прямой:
q1 = (l1, m1, n1) q2 = (l2, m2, n2)
  Угол между двумя прямыми cosj = Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru
  Условие параллельности q1||q2 Þ Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru
Условие ортогональности q1 ^ q2 Þ q1×q2 = 0 или l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0
     

Таблица 3.10. Взаимное расположение прямой и плоскости

Направляющий вектор прямой: Нормальный вектор плоскости:
q = (l, m, n); точка на прямой: Mo(xo, yo, zo) n = (A, B, C)
  Угол между прямой и плоскостью   sinj = = Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru
Условие параллельности n^q Þ n×q = 0 или Al + Bm + Cn = 0
а) прямая не лежит в плоскости Axo+ Byo+ Czo + D ¹ 0
б) прямая лежит в плоскости Axo+ Byo+ Czo + D = 0
Условие пересечения прямой и плоскости n×q ¹ 0 или Al + Bm + Cn ¹ 0
  Условие перпендикулярности n||q Þ Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии - student2.ru

Таблица 3.11. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в

пространстве

Наши рекомендации