Раздел 3. линейные образы Аналитической геометрии

Таблица 3.1. Используемые обозначения

Обозначение	Наименование
a, b a, b, c	отрезки, отсекаемые прямой на плоскости на осях координат отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат
k k1, k2	угловой коэффициент прямой на плоскости угловые коэффициенты прямых на плоскости
M(x, y) M(x, y, z)	текущая точка прямой на плоскости текущая точка плоскости или прямой в пространстве
Mo(xo, yo), M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3)	координаты фиксированных точек на плоскости
Mo(xo, yo, zo), M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2 ), M3(x3, y3, z3)	координаты фиксированных точек в пространстве
n = (A, B) n1 = (A1, B1) n2 = (A2, B2)	нормальный вектор прямой на плоскости   нормальные векторы прямых на плоскости
n = (A, B, C) n1 = (A1, B1, C1) n2 = (A2, B2, C2)	нормальный вектор плоскости   нормальные векторы плоскостей
q = (l, m) q1 = (l1, m1) q2 = (l2, m2)	направляющий вектор прямой на плоскости   направляющие векторы прямых на плоскости
q =(l, m , n) q1 = (l1, m1, n1) q2 = (l2, m2, n2)	направляющий вектор прямой в пространстве 1) направляющие векторы прямых в пространстве 2) направляющие векторы плоскости
r = (x, y) r = (x, y, z)	радиус-вектор текущей точки прямой на плоскости радиус-вектор текущей точки плоскости или прямой
ro = (xo, yo) ro = (xo, yo, zo)	радиус-вектор фиксированной точки на плоскости радиус-вектор фиксированной точки в пространстве
t	переменный параметр
j	1) угол между двумя прямыми на плоскости или в пространстве 2) угол между двумя плоскостями 3) угол между прямой и плоскостью

Таблица 3.2. Уравнения прямой на плоскости

Уравнение	Наименование	Параметры
rn+ C = 0	общее векторное уравнение прямой, проходящей перпендикулярно нормальному вектору	n = (A, B) – нормальный вектор прямой;   (xo, yo), (x1, y1), (x2, y2) - координаты фиксированных точек на прямой; r = (x, y) – радиус-вектор текущей точки прямой; ro = (xo, yo) – радиус- вектор фиксированной точки на прямой; k - угловой коэффициент прямой; a - отрезок, отсекаемый прямой на оси 0x; b - отрезок, отсекаемый прямой на оси 0y; t - параметр; q = (l, m) - направляющий вектор прямой
r = ro + qt	векторное параметрическое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку параллельно направляющему вектору
Ax + By + C = 0	общее уравнение прямой
A(x - xo)+B(y - yo) = 0	уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению
y = kx + b	уравнение прямой с данным угловым коэффициентом
y - yo = k(x - xo)	уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
	каноническое уравнение прямой
	уравнение прямой, проходящей через две точки
	уравнение прямой в отрезках
	параметрические уравнения прямой

Таблица 3.3. Частные случаи положения прямой на плоскости

№ п/п	Случай	Уравнение	Нормальный вектор	График прямой L
	A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0, L || Ox	By + C = 0 или y = y1	n = (0, B), n ^ Ox	y L y1 n O x
	B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0, L || Oy	Ax + C = 0 или x = x1	n = (A, 0), n ^ Oy	Y L n O x1 x
	C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0, L проходит через начало координат	Ax + By = 0 или y = kx	n = (A, B)	x L n O x
	A = 0, C = 0, B ¹ 0, L совпадает с осью Ox	y = 0	n = (0, 1), n ^ Ox	x n L O x
	B = 0, C = 0, A ¹ 0, L совпадает с осью Oy	x = 0	n = (1, 0), n ^ Oy	x L n   O x

Таблица 3.4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Прямые заданы уравнениями с параметрами
первой прямой:	второй прямой:
n1 = (A1, B1), q1 = (l1, m1), k1	n2 = (A2, B2), q2 = (l2, m2), k2
Угол между двумя прямыми	1) cosj = ; 2) cosj = ; 3) tgj =
Условие параллельности	1) n1||n2 Þ ; 2) q1||q2 Þ ; 3) k1 = k2
Условие перпендикулярности	1) n1^n2 Þ n1×n2 = 0 или A1A2+B1B2 = 0 2) q1^q2 Þ q1×q2 = 0 или l1l2+m1m2 = 0 3) k1× k2 = -1

Таблица 3.5. Уравнения плоскости в пространстве

Уравнение	Наименование	Параметры
rn+ D = 0	общее векторное уравнение плоскости, проходящей перпендикулярно нормальному вектору	r = (x, y, z) – радиус-вектор текущей точки плоскости; n = (A, B, C) - нормальный вектор плоскости; q1и q2 – направляющие векторы плоскости; (xo, yo, zo), (x1, y1, z1), (x2, y2, z2 ), (x3, y3, z3) - координаты фиксированных точек на плоскости; a, b, c - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат
(q1´ q2)r+ D = 0	векторное уравнение плоскости, проходящей, проходящей параллельно двум направляющим векторам
Ax+By+Cz+D = 0	общее уравнение
A(x-xo)+B(y-yo) + + C(z-zo) = 0	уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению
	уравнение плоскости, проходящей через три точки
	уравнение плоскости в отрезках

Таблица 3.6. Частные случаи положения плоскости в пространстве

№ п/п	Случай	Уравнение	Положение плоскости P
	A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0, D ¹ 0	By + Cz + D = 0	P || Ox
	B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0, D ¹ 0	Ax + Cz + D = 0	P || Oy
	C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0, D ¹ 0	Ax + By + D = 0	P || Oz
	D = 0, A ¹ 0, B ¹ 0, C ¹ 0	Ax + By + Cz = 0	P проходит через начало координат
	A = 0, B = 0, C ¹ 0, D ¹ 0	Cz + D = 0	P || Oxy
	A = 0, C = 0, B ¹ 0, D ¹ 0	By + D = 0	P || Oxz
	B = 0, C = 0, A ¹ 0, D ¹ 0	Ax + D = 0	P || Oyz
	A = 0, D = 0, B ¹ 0, C ¹ 0	By + Cz = 0	P проходит через ось Ox
	B = 0, D = 0, A ¹ 0, C ¹ 0	Ax + Cz = 0	P проходит через ось Oy
	C = 0, D = 0, A ¹ 0, C ¹ 0	Ax + By = 0	P проходит через ось Oz
	A = 0, B = 0, D = 0, C ¹ 0	z = 0	P совпадает с Oxy
	A = 0, C = 0, D = 0, B ¹ 0	y = 0	P совпадает с Oxz
	B = 0, C = 0, D = 0, A ¹ 0	x = 0	P совпадает с Oyz

Таблица 3.7. Взаимное расположение двух плоскостей

Плоскости заданы уравнениями с параметрами
первой плоскости:	второй плоскости:
n1 = (A1, B1 , C1)	n2 = (A2, B2 , C2)
Угол между двумя плоскостями	cosj =
Условие параллельности	n1||n2 Þ
Условие перпендикулярности	n1 ^ n2 Þ n1×n2 = 0 или A1A2+B1B2 + C1C2= 0

Таблица 3.8. Уравнения прямой в пространстве

Уравнение	Наименование	Параметры
r = ro + qt	векторное параметрическое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку параллельно направляющему вектору	r = (x, y, z) – радиус-вектор текущей точки прямой;   ro = (xo, yo, zo) – радиус-вектор фиксированной точки на прямой; n1 = (A1, B1, C1), n2 = (A2, B2, C2) - нормальные векторы плоскостей;
(r - ro) ´ q = o	векторное уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку параллельно направляющему вектору
	общие уравнения прямой
	канонические уравнения	q = (l, m, n) -
	уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки	направляющий вектор прямой; t - параметр;
	параметрические уравнения прямой	(xo, yo, zo), (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) - координаты фиксированных точек на прямой

Таблица 3.9. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Направляющие векторы
первой прямой:	второй прямой:
q1 = (l1, m1, n1)	q2 = (l2, m2, n2)
Угол между двумя прямыми	cosj =
Условие параллельности	q1||q2 Þ
Условие ортогональности	q1 ^ q2 Þ q1×q2 = 0 или l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0

Таблица 3.10. Взаимное расположение прямой и плоскости

Направляющий вектор прямой:	Нормальный вектор плоскости:
q = (l, m, n); точка на прямой: Mo(xo, yo, zo)	n = (A, B, C)
Угол между прямой и плоскостью	sinj = =
Условие параллельности	n^q Þ n×q = 0 или Al + Bm + Cn = 0
а) прямая не лежит в плоскости	Axo+ Byo+ Czo + D ¹ 0
б) прямая лежит в плоскости	Axo+ Byo+ Czo + D = 0
Условие пересечения прямой и плоскости	n×q ¹ 0 или Al + Bm + Cn ¹ 0
Условие перпендикулярности	n||q Þ

Таблица 3.11. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в

пространстве