Точечные оценки, их свойства, примеры

Определение 1. Выборка -- последовательность результатов измерений значений случайной величины.

Определение 2. Статистическая оценка -- приближенное значение вероятностных характеристик законов распределения, полученных на основе статистических или выборочных данных. Точечная статистическая оценка -- статистическая оценка, выражаемая одним числом.

Определение 3. Статистическая оценка называется несмещенной, если .

Определение 4. Точечная оценка называется состоятельной, если .

Определение 5. Точечная оценка называется сильно состоятельной, если .

Определение 6. Точечная оценка называется эффективной, если , где -- все возможные точечные оценки.

Определение 7. Точечная оценка называется асимптотически эффективной, если

где -- все возможные точечные оценки.

Пример: выборочное математическое ожидание. .

Определение 8. Пусть -- оценка параметра . Мы хотим, чтобы , т.е. чтобы она была достаточно хорошей, была очень близка к реальному значению в очень большом количестве случаев (95%, 99%). Тогда -- точность, -- надежность.

30 Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера^{[ссылка 1]}.

Доверительным интервалом параметра θ распределения случайной величины X с уровнем доверия 100p%^{[примечание 1]}, порождённым выборкой (x₁,…,x_n), называется интервал с границами (x₁,…,x_n) и (x₁,…,x_n), которые являются реализациями случайных величин L(X₁,…,X_n) и U(X₁,…,X_n), таких, что

.

Граничные точки доверительного интервала и называются доверительными пределами.

Интерпретация доверительного интервала, основанная на интуиции, будет следующей: если p велико (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение θ.^{[ссылка 2]}

Еще одно истолкование понятию доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра θ, совместимых с опытными данными и не противоречащих им.

Интервальное оценивание — один из видов статистического оценивания, предполагающий построение интервала, в котором с некоторой вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

Определение

Пусть - неизвестный параметр генеральной совокупности. По сделанной выборке по определенным правилам находятся числа и такие чтобы выполнялось неравенство:

Интервал является доверительным интервалом для параметра , а число - доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки. Обычно надежность задается заранее, причем выбираются числа близкие к 1 (0.95, 0.99 или 0.999).

• 31 Интервальная оценка для среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины.

Пусть по выборке объема n получено значение s, которое является исправленным средним квадратическим отклонением и точечной оценкой среднего квадратического отклонения случайной величины Х. Определим величину доверительного интервала для среднего квадратического отклонения.
По определению. Доверительный интервал с заданной надежностью ? имеет вид:
.
Преобразуем данное выражение. Получим:
.
Обозначим через q и, подставив его в это выражение, получим:

• При q < 1
• При q > 1

Величина q = q (n,?) находится по специальной таблице. Случайная величина q имеет распределение, зависящее только от n и ?, и ее значения табулированы.

Рассмотрим пример из предыдущей лекции.
По результатам исследования роста были получены следующие данные:

1. Среднее значение роста

1. Выборочная дисперсия

1. Среднее квадратическое отклонение выборки:

1. Исправленная дисперсия

1. Исправленное среднее квадратичное отклонение

Вычислим для этого примера доверительный интервал для математического ожидания в случае, когда ? известна и равна 10, когда ? неизвестна, доверительный интервал для ? с надежностью 0,95.

• ? = 10.

По таблице для ? = 0,95 находим, что t? = 1,96.
Находим ?.

Записываем ответ: 167,6 – 3,58 < а < 167,6 + 3,56
164,02 < a < 171,16

• Если ? неизвестна, то по таблице для ? = 0,95 и n = 30 t? = 2,05.

Записываем ответ: 164,13 < а < 171,16

• По таблице для ? = 0,95 и n = 30 находим q.

q = 0,28
Находим величину доверительного интервала для q < 1:
9,28 · ( 1 – 0, 28 ) < ? < 9,28 · ( 1 + 0, 28 )
6,68 < ? < 11,88.

32 Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше, – точечные. При выборке малого объёма точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

^ Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра ^ . Будем считать постоянным числом ( может быть случайной величиной). Ясно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности ^ . Другими словами, если > 0 и то, чем меньше , тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Однако, статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству , можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность , с которой осуществляется неравенство ^. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

33.Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится так же, как и проверка гипотезы о параметрах распределения, т. е. при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия. Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Имеется несколько критериев согласия: Пирсона К., Колмагорова, Смирнова и др. Ограничимся описанием применения критерия Пирсона и проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. С этой же целью будем сравнивать эмпирические (наблюдаемые) и теоретические частоты (вычисленные в предположении нормального распределения). Обычно эмпирические и теоретические частоты различаются. Случайно ли расхождение частот? Возможно, что расхождение случайно и объясняется малым числом наблюдений либо способом их группировки, либо другими причинами. Возможно, что расхождение частот неслучайно (значимо) и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены исходя из неверной гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона отвечает на поставленный выше вопрос. Правда, как и любой критерий, он не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с данным наблюдением. Пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение: варианты xi – x1 x2 xs, эмпирические частоты ni – n1 n2 ns. Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной совокупности вычислены теоретические частоты ni’. При условии значимости a требуется проверить нулевую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину, где ni –эмпирические частоты, ni’- теоретические частоты. Эта величина случайная, так как в различных опытах она принимает различные, заранее неизвестные значения. Ясно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия и, следовательно, он в известной степени характеризует близость эмпирического и теоретического распределения. Доказано, что при n®¥ закон распределения случайной величины независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения c²с k степенями свободы. Поэтому случайная величина обозначена через c², а сам критерий называют критерием согласия “хи квадрат”. Число степеней свободы находят по равенству k=s-1-r, где s – число групп (частичных интервалов) выборки; r – число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки. В частности, если предполагаемое распределение нормальное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение). Поэтому r = 2 и число степеней свободы k=s-1-r =s-1-2=s-3. Если, например, предполагают, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона, то оценивают один параметр. Поэтому r = 1 и k=s-2. Поскольку односторонний критерий более "жестко" отвергает нулевую гипотезу, чем двусторонний, построим правостороннюю критическую область исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости a. P(c²>c²кр(a;k))=a. Таким образом, правосторонняя область определяется неравенством c²>c²кр(a;k), а область принятия нулевой гипотезы – неравенством c²>c²кр(a;k).