Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению

Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению.

Имеется ряд наблюдений переменных x и y:

xi x1 x2 xn
yi y1 y2 yn

По этим данным можно построить ломаную, вид которой указывает вид эмпирической формулы. Если анализ опытных данных привел к выводу, что между переменными x и y существует линейная зависимость, Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru , то параметры Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru и Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru этой прямой определяются из системы уравнений: Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru

Упражнения.

3.1.1.Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

x 0,6 1,0 1,4 1,8 2,2
y 7,8 10,5 12,7 14,3 15,5

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение y = - 1,5x2 + 9x + 3. Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.

3.1.2. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

x 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8
y 1,95 1,9 1,8 1,7 1,65

В результате их выравнивания по гиперболе получено уравнение

y = (x + 1)/(x – 1). Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.

3.1.3. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

x
y 1,6 2,0 2,3 2,4 2,7

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru . Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.

3.1.4. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

x
y

В результате их выравнивания получено уравнение y = Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru . Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.

3.1.5. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

x -2
y 0,3 1,0 1,5 2,0 3,0

В результате их выравнивания по экспоненте получено уравнение y = еx/5. Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.

Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл

Первообразной функцией для функции f (x) называется такая функция F (x), производная которой равна данной функции, т.е. F' (x) = f (x).

Неопределенным интегралом от непрерывной функции f (x) или от дифференциального выражения f (x) dx называется совокупность первообразных функций f (x).

Обозначение:

Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru , где F' (x) = f (x). Функция f (x) называется подынтегральной функцией, а выражение f (x) dx – подынтегральным выражением.

Свойства неопределенного интеграла:

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ;dМетод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ;

Неопределенный интеграл от дифференциала функции f (x) равен функции f (x) с точностью до постоянного слагаемого

Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределенного интеграла

Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций

Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru

Таблица простейших неопределенных интегралов

Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru . Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru . Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru . Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru . Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru . Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru . Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru . Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru . Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Методы интегрирования.

Интегрирование разложением.

Если Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru , то Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Пример 1. Найти интеграл Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Решение.

Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru = Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru

Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Метод подстановки.

Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru , где Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru - дифференцируемая функция переменной t.

Пример 2. Найти интеграл Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Решение. Положим Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru , тогда Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru , откуда Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Подставляя полученные равенства в подынтегральное выражение, находим

Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru

Метод интегрирования по частям.

Если Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru - дифференцируемые функции от х, то из формулы для дифференциала произведения двух функций Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru получается формула интегрирования по частям Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Пример 3. Найти Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Решение. Обозначим: Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru , отсюда dx = du, v = - cosx.

Подставляя значения u,v,du,dv в формулу интегрирования по частям, получим Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Упражнения.

4.1. Найти неопределенные интегралы:

a) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; b) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ;

c) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; d) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ;

e) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; f) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ;

g) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; h) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ;

i) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; j) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ;

k) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; l) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

4.2. Найти неопределенные интегралы методом замены переменной:

a) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; b) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; c) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; d) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ;

e) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; f) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; g) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; h) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ;

i) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; j) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; k) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; l) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; m) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru

4.3. Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:

a) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; b) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; c) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; d) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ;

e) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; f) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; g) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; h) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ;

h) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; I) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

4.4. Интегрирование рациональных дробей:

a) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; b) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; c) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ;

d) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; e) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; f) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; q) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

7.5. Интегрирование иррациональных выражений:

а) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; b) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; с) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru ; d) Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению - student2.ru .

Наши рекомендации