МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором

Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором, при обработке результатов однофакторных экспериментов, используются уравнения приближенной регрессии [1]. Задача ставится следующим образом: по данной выборке объёма n найти уравнение приближенной регрессии и оценить допускаемую при этом ошибку. В качестве метода приближения обычно выбирают метод наименьших квадратов (МНК).

Суть метода заключается в том, что вид зависимости и значения коэффициентов описывающего ее уравнения должны обеспечивать минимальную сумму квадратов отклонений (Ф) ординат экспериментальных точек от ординат этой зависимости [2]:

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

где МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru – рассчитанное по уравнению регрессии значение выходного параметра, а МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru – экспериментальное значение выходного параметра, полученное при том же значении переменного фактора МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru .

Задача определения коэффициентов уравнения регрессии по МНК сводится к определению минимума функции многих переменных [1]. Если:

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

и требуется выбрать коэффициенты МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru таким образом, чтобы:

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

то необходимым условием минимума МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru будет являться выполнение равенств:

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

Т.е. минимум данной функции будет в точке, где ёё частные производные равны нулю.

Условие (1.4) можно записать в виде:

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

После преобразования:

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

Система уравнений (1.6) имеет столько же уравнений, сколько неизвестных коэффициентов МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru входит в уравнение регрессии, и называется системой нормальных уравнений.

При изучении зависимости выходного параметра от одного переменного фактора необходимо построить эмпирическую линию регрессии для определения вида уравнения регрессии [1]. Для этого весь диапазон изменения x на поле корреляции разбивается на k равных интервалов МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru . Все точки, попавшие в данный интервал МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru , относят к его середине МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru . Для этого подсчитывают частные средние МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru для каждого интервала:

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

где МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru – экспериментальные значения выходного параметра, попавшие в интервал МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru , а МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru – количество значений МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru .

Затем последовательно соединяют точки МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru отрезками прямой. Полученная ломаная называется эмпирической линией регрессии y по x. По виду эмпирической линии регрессии можно подобрать уравнение регрессии МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru .

Для линейной зависимости МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru условие (1.4) будет иметь вид:

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

Для определения коэффициентов МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru и МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru линейного уравнения будем иметь систему линейных уравнений (1.9):

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

Решение системы уравнений (1.9) относительно МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru и МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru дает следующие формулы для их расчета:

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

Аналогичным образом, с помощью МНК можно получить формулы для расчета коэффициентов нелинейных зависимостей (1.12) – (1.18) [2]:

Логарифмическая зависимость МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru , МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru > 0, х ≠ 0

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

Экспоненциальная функция МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru , все МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru и МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru > 0, МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

Степенная функция МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru , МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru , МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru , все МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru и МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru > 0

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

Дробно-линейная функция МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru , МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru , МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

Гиперболическая функция МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru , МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru > 0

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

Дробно-рациональная функция МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru , МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

Квадратичная (параболическая) функция МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

Точность описания корреляционной связи между параметром выхода и переменным фактором нагляднее всего характеризует средняя погрешность аппроксимации МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru , которая рассчитывается по следующей формуле:

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru

Очевидно, что лучшей зависимостью для описания связи между МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru будет та, которая обеспечивает минимальную среднюю погрешность аппроксимации МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости между выходным параметром и переменным фактором - student2.ru .

Наши рекомендации