Метод наименьших квадратов. Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению

Пусть между переменными x и y предполагается функциональная зависимость y = f(x), подлежащая определению.

Имеется ряд наблюдений переменных x и y:

xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y2	…	yn

По этим данным можно построить ломаную, вид которой указывает вид эмпирической формулы. Если анализ опытных данных привел к выводу, что между переменными x и y существует линейная зависимость, , то параметры и этой прямой определяются из системы уравнений:

Упражнения.

3.1.1.Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

x	0,6	1,0	1,4	1,8	2,2
y	7,8	10,5	12,7	14,3	15,5

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение y = - 1,5x² + 9x + 3. Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.

3.1.2. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

x	3,0	3,2	3,4	3,6	3,8
y	1,95	1,9	1,8	1,7	1,65

В результате их выравнивания по гиперболе получено уравнение

y = (x + 1)/(x – 1). Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.

3.1.3. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

x
y	1,6	2,0	2,3	2,4	2,7

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.

3.1.4. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

x
y

В результате их выравнивания получено уравнение y = . Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.

3.1.5. Опытные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

x	-2
y	0,3	1,0	1,5	2,0	3,0

В результате их выравнивания по экспоненте получено уравнение y = е^x/5. Пользуясь МНК аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y = ax + b. Установить, какая из двух линий лучше выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.

Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл

Первообразной функцией для функции f (x) называется такая функция F (x), производная которой равна данной функции, т.е. F' (x) = f (x).

Неопределенным интегралом от непрерывной функции f (x) или от дифференциального выражения f (x) dx называется совокупность первообразных функций f (x).

Обозначение:

, где F' (x) = f (x). Функция f (x) называется подынтегральной функцией, а выражение f (x) dx – подынтегральным выражением.

Свойства неопределенного интеграла:

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

;d ;

Неопределенный интеграл от дифференциала функции f (x) равен функции f (x) с точностью до постоянного слагаемого

.

Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределенного интеграла

.

Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций

Таблица простейших неопределенных интегралов

. . .

. . .

. . .

. .

. .

Методы интегрирования.

Интегрирование разложением.

Если , то .

Пример 1. Найти интеграл .

Решение.

=

.

Метод подстановки.

Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле , где - дифференцируемая функция переменной t.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Положим , тогда , откуда .

Подставляя полученные равенства в подынтегральное выражение, находим

Метод интегрирования по частям.

Если - дифференцируемые функции от х, то из формулы для дифференциала произведения двух функций получается формула интегрирования по частям .

Пример 3. Найти .

Решение. Обозначим: , отсюда dx = du, v = - cosx.

Подставляя значения u,v,du,dv в формулу интегрирования по частям, получим .

Упражнения.

4.1. Найти неопределенные интегралы:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;

i) ; j) ;

k) ; l) .

4.2. Найти неопределенные интегралы методом замены переменной:

a) ; b) ; c) ; d) ;

e) ; f) ; g) ; h) ;

i) ; j) ; k) ; l) ; m)

4.3. Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:

a) ; b) ; c) ; d) ;

e) ; f) ; g) ; h) ;

h) ; I) .

4.4. Интегрирование рациональных дробей:

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) ; q) .

7.5. Интегрирование иррациональных выражений:

а) ; b) ; с) ; d) .