Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке
Метод Гаусса (метод последовательного исключения пе –ременных) при использовании расширенной матрицы системы сводится к получению нулей ниже главной диагонали данной матрицы с помощью эквивалентных преобразований, чаще всего с помощью преобразования 4.
Если в результате элементарных преобразований в рас- ширенной матрице системы, до черты (т.е. в основной мат- рице) получается матрица треугольного вида, т.е. все элемен- ты ниже главной диагонали равны нулю, а диагональные эле- менты все ненулевые:
,
то рассматриваемая система совместная и определённая, т.е. имеет единственное решение.
Если после преобразований, в какой - либо строке матрицы получили до черты все нулевые элементы, а элемент, стоя -щий в той же строке после черты - ненулевой, например
где 
, то рассматривая система несовместна, т.е. не имеет решений.
Если же после преобразования расширенной матрицы, пос- ле получения нулей ниже главной диагонали в нижней строке основной матрицы осталось больше одного ненулевого эле –мента, т.е. основная матрица имеет вид трапеции, например
,
то система имеет бесконечно много решений.
Рассмотрим пример решения системы методом Гаусса. Пусть дана система:
Составим расширенную матрицу этой системы:
˜
Поменяем местами первую и третью строки матрицы:
˜ 
˜
С помощью первой строки полученной матрицы получим нули в первом столбце. Для этого первую строку умножим на (-1) и прибавим к второй строке, и её же умножим на (-2) и приба -вим к третьей строке, Получим новую матрицу
˜ 
˜
Умножим третью строку на (-3) и прибавим к второй строке и эту же строку прибавим к первой строке, получим
˜ 
˜
Вторую строку умножим на (2) и прибавим к третьей
˜ 
˜ 
˜
Мы разделили последнюю строку на 47. После это третью строку умножим на (-29) и прибавим к второй строке и ту же строку умножим на (6) и прибавим к первой строке:
˜ 
.
Слева от черты получили единичную матрицу, тогда после черты получено решение данной системы. Таким образом, 
Сделаем проверку:
Получили тождественные равенства. Следовательно, в самом деле получено решение системы.
Рассмотрим ещё один пример:
Расширенная матрица этой системы имеет вид:
˜
Умножим первую строку на (-2) и прибавим к второй и тре -тьей строке, эту же строку умножим на (-1) и прибавим к четвёртой строке, получим:
˜ 
˜
Вторую строку умножим на (-1) и прибавим к первой строке и вторую строку просто прибавим к третьей строке:
˜ 
˜
Четвёртую строку разделим на (-2) и поменяем с третьей строкой:
˜ 
˜
После этого получим нули в третьем столбце, для чего тре- тью строку умножим на (-4) и прибавим к первой строке; ум -ножим на (-1) и прибавим к второй строке; умножим на (6) и прибавим к третьей строке. Получим:
˜ 
˜ 
˜
Мы разделили последнюю строку на (-7). После этого можем получить нули в четвёртом столбце. Для этого последнюю строку прибавим к третьей строке; умножим на (-2) и приба- вим к второй строке и, умножив на (-5), прибавим к первой строке. В результате получается матрица:
˜ 
.
Слева, до черты, получили единичную матрицу. Тогда после черты находится решение, т.е.
Подставив эти значения переменных в равенства системы, получим тождественные равенства.
Прежде чем перейти к рассмотрению систем произвольной размерности, вернёмся снова к понятию ранга матрицы, вве -дённому в § 3. Приведём утверждение, доказывать которое мы не будем.