Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения пе –ременных) при использовании расширенной матрицы системы сводится к получению нулей ниже главной диагонали данной матрицы с помощью эквивалентных преобразований, чаще всего с помощью преобразования 4.

Если в результате элементарных преобразований в рас- ширенной матрице системы, до черты (т.е. в основной мат- рице) получается матрица треугольного вида, т.е. все элемен- ты ниже главной диагонали равны нулю, а диагональные эле- менты все ненулевые:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ,

то рассматриваемая система совместная и определённая, т.е. имеет единственное решение.

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Если после преобразований, в какой - либо строке матрицы получили до черты все нулевые элементы, а элемент, стоя -щий в той же строке после черты - ненулевой, например

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

где Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , то рассматривая система несовместна, т.е. не имеет решений.

Если же после преобразования расширенной матрицы, пос- ле получения нулей ниже главной диагонали в нижней строке основной матрицы осталось больше одного ненулевого эле –мента, т.е. основная матрица имеет вид трапеции, например

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ,

то система имеет бесконечно много решений.

Рассмотрим пример решения системы методом Гаусса. Пусть дана система:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Составим расширенную матрицу этой системы:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Поменяем местами первую и третью строки матрицы:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

С помощью первой строки полученной матрицы получим нули в первом столбце. Для этого первую строку умножим на (-1) и прибавим к второй строке, и её же умножим на (-2) и приба -вим к третьей строке, Получим новую матрицу

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Умножим третью строку на (-3) и прибавим к второй строке и эту же строку прибавим к первой строке, получим

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Вторую строку умножим на (2) и прибавим к третьей

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Мы разделили последнюю строку на 47. После это третью строку умножим на (-29) и прибавим к второй строке и ту же строку умножим на (6) и прибавим к первой строке:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

Слева от черты получили единичную матрицу, тогда после черты получено решение данной системы. Таким образом, Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Сделаем проверку:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Получили тождественные равенства. Следовательно, в самом деле получено решение системы.

Рассмотрим ещё один пример:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Расширенная матрица этой системы имеет вид:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Умножим первую строку на (-2) и прибавим к второй и тре -тьей строке, эту же строку умножим на (-1) и прибавим к четвёртой строке, получим:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Вторую строку умножим на (-1) и прибавим к первой строке и вторую строку просто прибавим к третьей строке:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Четвёртую строку разделим на (-2) и поменяем с третьей строкой:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

После этого получим нули в третьем столбце, для чего тре- тью строку умножим на (-4) и прибавим к первой строке; ум -ножим на (-1) и прибавим к второй строке; умножим на (6) и прибавим к третьей строке. Получим:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Мы разделили последнюю строку на (-7). После этого можем получить нули в четвёртом столбце. Для этого последнюю строку прибавим к третьей строке; умножим на (-2) и приба- вим к второй строке и, умножив на (-5), прибавим к первой строке. В результате получается матрица:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

Слева, до черты, получили единичную матрицу. Тогда после черты находится решение, т.е.

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Подставив эти значения переменных в равенства системы, получим тождественные равенства.

Прежде чем перейти к рассмотрению систем произвольной размерности, вернёмся снова к понятию ранга матрицы, вве -дённому в § 3. Приведём утверждение, доказывать которое мы не будем.

Утверждение. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице, полученной в результате эквивалентных преобразований после получения нулей ниже главной ди- агонали матрицы.

Примеры. Найти ранги следующих матриц:

1. Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Получим нули в первом столбце. Для этого умножим первую строку на (-1) и прибавим к второй строке; умножим ту же строку на (-5) и прибавим к третьей строке и, аналогично, ум- ножим её на (-7) и прибавим к четвёртой строке. Получим:

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим соответственно к третьей и четвёртой

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

Следовательно ранг этой матрицы Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

2. Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

С помощью первой строки получим нули в первом столбце. Для этого умножим её на (-2) и прибавим к второй строке, умножим на (-3) и прибавим к третьей и пятой строке, умно- жим на (-1) и прибавим к четвёртой строке. В результате получим:

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Вторую строку умножим на (-1) и прибавим к третьей, чет -вёртую строку умножим на (-4) и прибавим к пятой:

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Пятую строку умножим на (5) и прибавим к второй и умножим на (2) и прибавим к четвёртой:

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

четвёртую строку умножим на (-3) и прибавим к второй:

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

Ранг этой матрицы тоже равен Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

При исследовании систем важную ролю играет следующая теорема:

ТЕОРЕМА (Кронекера – Капелли). Ранг основной матрицы системы не превосходит ранга расширенной матрицы, т.е.

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , причём, если Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , то система совместна, а если Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , то система несовместна (не имеет решений.

Рассмотрим пример.

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Тогда

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Умножим первую строку на (-2) и прибавим к второй и треть- ей строке; после этого поменяем местами первую и вторую строки:

       
  Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru   Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru
 

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

прибавим к второй, а после этого прибавим к третьей:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

После этого прибавим вторую строку к третьей и получим матрицу:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

В результате получили матрицу, у которой

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , следовательно, система несовместна. Решений нет.

Если Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , т.е, если система совместна, то в случае, если Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru - число неизвестных, система имеет единственное решение. Если же Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , то система имеет бесконечно много решений, при этом число свободных переменных (т.е. переменных, через которые можно выразить все остальные и которые могут принимать любые значения из множества действительных чисел) Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , а число ба -зисных переменных (т.е. таких переменных, которые выражаем через свободные) равно Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

Рассмотрим примеры: решить системы уравнений методом Гаусса; найти общие и частные решения; сделать проверку.

1. Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Запишем расширенную матрицу данной системы:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Уменьшим элементы первого столбца с помощью четвёртой строки. Для этого умножим её на (-1) и прибавим к первой и второй строке; умножим на (-4) и прибавим к третьей строке и, наконец, умножим на (-3) и прибавим к пятой строке.

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Теперь получим нули в первом столбце. Умножим первую строку на (-1) и прибавим к третьей и пятой строке; умножим её же на (-2) и прибавим к четвёртой строке. Получим:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

С помощью второй строки получим нули во втором столбце. Для этого умножим её на (7) и прибавим к третьей строке; умножим на (-2) и прибавим к четвёртой строке; умножим на (5) и прибавим к пятой строке:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Четвёртую строку умножим на (2) и прибавим к третьей строке и её же просто прибавим к пятой строке:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

Видим, что в данном случае Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , поэтому система совместна, но так как переменных 4, а ранг матрицы равен 3, то одна переменная свободная, а три базисных. За – пишем полученную систему:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Выберем свободную переменную Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , тогда из третьего уравнения Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ; из второго уравнения

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

из первого уравнения

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Таким образом, общее решение системы имеет вид:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ,

т.е. при любом значении Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru мы будем получать решения сис -темы. Это общее решение Задавая какие – либо значения по -стоянной Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , будем получать частные решения. Например, при Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru получаем частное решение

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Сделаем проверку:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Получили тождественные равенства. Аналогично можно полу- чать другие частные решения и делать проверку. Например, при Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru : Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru . Подставив эти значения в уравнения системы, снова получим тождес -твенные равенства. Таким же образом, при разных значениях Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru можем получить любое частное решение системы.

Ещё одна система:

2. Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Её расширенная матрица имеет вид:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Поменяем местами первую и вторую строки:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

С помощью первой строки получим нули в первом столбце. Для этого умножим её на (-3) и прибавим к второй строке; умножим на (-4) и прибавим к третьей строке; умножим на

(-2) и прибавим к четвёртой строке, получим:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Вторую строку умножим на (-1) и прибавим к третьей и чет –вёртой, получим

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

Видим, что ранг полученной матрицы равен

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

Поэтому система совместна. Число базисных переменных рав- но рангу матрицы, т.е. две базисные переменные Число сво -бодных переменных равно разнице «число переменных» = 5 минус «ранг матрицы» = 2, т.е 3 свободные переменные.

Запишем полученную систему:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

В качестве базисных переменных, если есть возможность, удобно выбрать переменные с единичными коэффициентами, чтобы избежать вычислений с дробными выражениями. Напри- мер, в данном примере, в качестве базисных можем выбрать Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , а остальные считать свободными, т.е. положим:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Тогда из второго уравнения:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ,

а из первого уравнения:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

Следовательно, общее решение имеет вид:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Запишем частное решение и сделаем проверку. Например, при Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru получим:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Сделаем проверку:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Получили тождественное равенство. Аналогичным образом можно получить любое другое частное решение, например, при Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru получим:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Подставив эти значения переменных в уравнения системы, также получим верные равенства.

ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Отдельно следует выделить множество однородных уравнений, т.е. уравнений вида:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Такие системы всегда совместны, так как всегда имеется тривиальное (т.е. нулевое решение Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ).

Нулевое решение будет единственным, если ранг основной матрицы системы равен числу неизвестных, т.е. в случае Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru . Если же Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , то система имеет бесконечно много решений.

Рассмотрим примеры: найти фундаментальные системы ре -шений однородных систем линейных уравнений

1. Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Для однородных систем нет смысла писать расширенную мат- рицу, так как элементарные преобразования не меняют нули, стоящие в правых частях системы уравнений. Поэтому про -изводим преобразования основной матрицы системы:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Вторую строку умножим на (-1) и прибавим к первой и тре -тьей строке, получим:

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

С помощью первой строки получим нули в первом столбце, для чего умножим её на (3) и прибавим к второй строке и просто прибавим к третьей строке:

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

Итак, Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , т.е в решении данной системы 2 базисные переменные и две свободные. Запишем полученную систему:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Из второго уравнения: Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , чтобы упростить вычисле –ния, удобно положить Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , тогда Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru . Тогда пер -вое уравнение принимает вид: Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru . Необходимо ввести ещё одну свободную переменную, напри – мер Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru . Тогда Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru . В этом случае, общее решение имеет вид:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

Каждый из векторов:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru и Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

является решением системы. В самом деле, для вектора Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru :

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru для вектора Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru :

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru и любая комбинация этих решений также является решением системы, т.е. общее решение исходной однородной системы имеет вид: Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , а сами векторы Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru об- разуют фундаментальную систему решений данной однород- ной системы линейных уравнений.

2. Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Запишем её матрицу:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Умножим первую строку на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой строке:

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Вторую строку прибавим к третьей:

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru ˜

Поменяем местами третью и четвёртую строки:

˜ Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru .

Все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Поэтому Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru . Неизвестных 6. Поэтому решение системы имеет 4 базисных переменных и 2 свободные. Запишем полученную систему:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Выберем в качестве свободных переменных Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Тогда из четвёртого уравнения Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru так как из тре -тьего уравнения Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , то Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Из второго уравнения

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru Из первого уравнения:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Тогда общее решение имеет вид:

Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru

Векторы Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru образуют фундаментальную систему реше-ний. Проверьте самостоятельно, что каждый из этих векторов является решением системы. Любую строку расширенной матрицы системы можно умножить на некоторое число и прибавить к любой другой строке. - student2.ru , т.е. произвольные постоянные.

Наши рекомендации