Кроме того, пользуясь оценкой вместо самого параметра

d, желательно не делать систематической ошибки, т. е. матема-

Тическое ожидание оценки должно быть равным самому пара-

метру:

. (6.2)

Оценка, которая обладает данным свойством, называется

Несмещенной.

Было бы хорошо, если бы выбранная несмещенная оценка

Была как можно менее случайной, т. е. обладала по сравнению

с другими минимальной дисперсией:

. (6.3)

Оценка, которая обладает данным свойством, называется

Эффективной.

В реальных условиях не всегда удается удовлетворить

Всем перечисленным требованиям. Тем не менее при выборе

Оценки любого параметра желательно эту оценку рассмотреть

Со всех перечисленных точек зрения.

Вернемся к средним величинам. При их вычислении при

Большом количестве наблюдений случайности взаимопога-

Шаются (это следует из закона больших чисел), следователь-

Но, можно абстрагироваться от несущественных особенностей

Изучаемого явления и от количественных значений признака в

Каждом конкретном опыте.

Крупный вклад в обоснование и развитие теории средних

Величин внес А. Кетле. Согласно его учению массовые процес-

Сы формируются под влиянием двух групп причин. К первой

Группе общих для всех единиц массовой совокупности причин

Относятся те из них, которые определяют состояние массового

Процесса. Они формируют типичный уровень для единиц дан-

Ной однородной совокупности.

Вторая группа причин формирует специфические особен-

Ности отдельных единиц массовой совокупности и, следова-

Тельно, их разброс от типичного уровня.

Эти причины не связаны с природой изучаемого явления,

Поэтому их называют случайными причинами.

Средняя величина, полученная по всей совокупности, на-

Зывается общей, а средние величины, вычисленные по каждой

Группе, называются групповыми средними. Есть два вида сред-

них величин: степенные средние (средняя арифметическая и

Др.), структурные средние (мода, медиана).

Рассмотрим степенные средние. Степенные средние опре-

Деляются исходя из формулы

, (6.4)

Где — среднее значение;

xi — текущее значение изучаемого признака;

m — показатель степени средней;

n — количество признаков (вариант).

В зависимости от показателя m степени средней получаем

следующие виды степенных средних:

− среднюю гармоническую , если m = -1;

− среднюю геометрическую , если m = 0;

− среднюю арифметическую , если m = 1;

− среднюю квадратическую , если m = 2;

− среднюю кубическую , если m = 3,

− и т. д.

При использовании одних и тех же данных чем больше m

в формуле (6.4), тем больше значение средней, т. е. ≤ ≤

≤ ≤ ≤ .

Приведем конкретные формулы для вычисления некото-

Рых видов степенных средних.

При m = -1 получаем среднюю гармоническую:

. (6.5)

В том случае, если исходные данные сгруппированы, ис-

Пользуются взвешенные средние. В качестве веса может ис-

пользоваться частота μ (количество опытов, в которых появи-

Лось интересующее нас событие) или относительная частота

.

Запишем формулы для взвешенной средней гармонической:

; (6.6)

. (6.7)

При m = 0 получаем среднюю геометрическую:

. (6.8)

Т. е. получили неопределенность.

Для ее раскрытия прологарифмируем обе части форму-

Лы (6.4.)

,

затем подставляем m = 0 и получаем

, (6.9)

Т. е. имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неоп-

Ределенности применяем правило Лопиталя. Полученный ре-

Зультат потенцируется, и окончательно получаем

. (6.10)

Широкое применение средняя геометрическая получила

Для нахождения средних темпов изменения в рядах динамики

И в рядах распределения.

Запишем формулы для взвешенной средней геометричес-

Кой.

; (6.11)

. (6.12)

Приведем конкретный пример нахождения средней гео-

Метрической взвешенной по формуле (6.11).

Пример 6.1

Исходные данные наблюдений приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

xi 2 3 4 5

μi 5 4 7 8

fi 0,21 0,17 0,29 0,33

В табл. 6.1 xi — результаты, принятые некоторой случайной

величиной X в i-м опыте; μi — частота события — показывает,