Экстремумы функций двух переменных

Второе достаточное условие экстремума

Пусть функция имеет в данной стационарной точке конечную вторую производную. Тогда функция имеет в точке локальный максимум, если , и локальный минимум, если .

Рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума. Начнем с понятия экстремума. Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными

Определение. Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума) функции , если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки

При этом значение называетсяэкстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция имеет в точке экстремум (или достигает в точке экстремума).

Рис. 1.6

Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1.6.

Рис. 6

Теперь установим необходимые условия, при которых функция достигает в точке экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции.

Необходимый признак экстремума: Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

, .

Для отыскания стационарных точек функции нужно приравнять нулю обе ее частные производные

, .

и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.

кратко:

15-Определение выпуклости графика функции на интервале. Условие выпуклости графика на интервале

Кратко:График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

полный: Если график функции y=f(x) имеет касательную в точке x = x0, и в некоторой окрестности этой точки он лежит ниже касательной, то он называется выпуклым в точке x0; a если в некоторой окрестности этой точки он лежит выше касательной, то он называется вогнутым.

График y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале [a,b], если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема на интервале ( a, b ), тогда:

если f''(x)>0 для любого x∈(a,b), то функция f(x) является вогнутой на интервале (a,b);

если f''(x)<0 для любого x∈(a,b), то функция f(x) является выпуклой на интервале (a,b).

16-необходимое и достаточное условие точки перегиба

Точка (x0, f(x0)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в этой точке существует касательная и это точка отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.

Достаточные условия точки перегиба. Если функция y=f(x) дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку f''(x) меняет знак, то x0 — точка перегиба графика функции y=f(x).

Необходимое условие точки перегиба. Если x = x0 — точка перегиба графика функции y=f(x), то f'(x)=0 или не существует.

17-вывод уравнения для невертикальной асимптоты

18-задача на наименьшее и наибольшее значение функции(В14 на ЕГЭ)

Для его решения будем следовать такому алгоритму:

а) Найдем область определения функции

б) Найдем производную функции .

в) Приравняем ее к нулю.

г) Найдем промежутки знакопостоянства функции.

д) Найдем точку, в которой функция принимает наибольшее значение.

е) Найдем значение функции в этой точке.