Кинематика криволинейного движения

26. Камень брошен со скоростью 20 м/с под углом 60^о к горизонту. Через какое минимальное время вектор скорости камня будет составлять с горизонтом угол 45 градусов? Сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте чертёж у = f(х); если Вы уже отобразили начальное направление, то при отображении второго направления учтите, горизонтальная составляющая не изменяется по модулю. Найдите в тексте задачи слова, которые это подтверждают. Скорость всегда направлена по касательной, но состоит из составляющих: вертикальной и горизонтальной. Покажите это на чертеже. Всё происходит в поле тяготения Земли, следовательно, вертикальная составляющая контролируется ускорением свободного падения. Записали уравнения скорости для второго случая? Решайте систему, не забывая, горизонтальная составляющая не изменяется. Если трудно, подходите. Помогут.

27. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени даётся уравнением φ = А + Вּt + Сּt², где В = 1 рад/с, С = 1 рад/с². Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения для точек, лежащих на ободе колеса, нормальное ускорение а_n = 3,46ּ10² м/с². Уточните понятия: угловая скорость, линейная скорость, нормальное ускорение; связь линейной скорости с угловыми кинематическими характеристиками. Для нахождения угловой скорости лучше воспользоваться понятием производной. Вычисляя нормальное ускорение, не забудьте про время. Удачи. Спрашивать не запрещено. Поощряется.

28. Вертикально падающее тело дважды упруго отражается от наклонной плоскости с углом при основании 30 градусов. Определить расстояние между точками отскоков, если скорость тела к моменту первого удара равна 2 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте чертёж: тело падает вертикально на наклонную плоскость. В точке падения тела восстановите перпендикуляр; отражение упругое: угол падения равен углу отражения. Отобразили? Разложите вектор скорости при отражении на составляющие – вертикальную (к наклонной плоскости) и горизонтальную (вдоль наклонной плоскости); запишите их аналитическое выражение. При записи вертикальной составляющей скорости, не забудьте учесть составляющую ускорения свободного падения, что позволит найти время подъёма и, соответственно, падения (найдите в тексте слова подтверждающие это). После этого можно записать уравнение движения вдоль наклонной плоскости: горизонтальная составляющая скорости и время контролируются. Если спросите, Вам помогут. Удачи в преобразованиях.

29. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость u₁ точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости u₂ точки, лежащей на расстоянии r = 5 см ближе к оси колеса. Сделайте чертёж, введите символические обозначения. Уточните, что следует из того, что все точки колеса движутся как единое целое. Составьте уравнения скорости для указанных точек. Преобразуйте. Спрашивайте, ответят. Стесняться некогда.

30. Найти угловую скорость и частоту вращения барабана лебёдки диаметром 36 см при подъёме груза со скоростью 0,4 м/с. Сделайте чертёж: вращающийся барабан с наматывающейся нитью, к которой прикреплён груз. Кинематической характеристикой вращения барабана является угловая скорость, связанная с частотой вращения. Уточните взаимосвязь угловой скорости и линейной. Удачи. Спрашивайте.

31. На каком расстоянии от цели необходимо сбросить вымпел с почтой с самолёта, летящего на высоте 125 м с горизонтальной скоростью 468 км/час? Сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте чертёж: из летящего самолёта выпал груз; отобразите кинематические характеристики движения груза. Не забудьте, до выпадения груз имел скорость самолёта. Составьте аналитические уравнения движения по вертикали и горизонтали. Удачи в решении системы. Спросите, помогут.

32. Два спутника вращаются вокруг Земли по круговым орбитам на расстояниях 21600 и 600 км от её поверхности. Определить отношение периода обращения первого спутника к периоду обращения второго. Радиус Земли принять равным 6400 км. Сделайте чертёж: Земля и вращающиеся на разных орбитах спутники. При движении по орбите изменяется направление скорости; характеристикой изменения направления является нормальное ускорение. Уточните, как связано нормальное ускорение с периодом обращения и радиусом орбиты; запишите для обоих спутников. Причиной нормального ускорения является поле тяготения Земли; если записать второй закон динамики и раскрыть причину изменения скорости по направлению через закон всемирного тяготения, а последствия – нормальное ускорение (ускорение свободного падения на данной высоте), то появляется возможность найти это ускорение. Преобразуйте. Удачи. Спрашивайте. Помогут обязательно.

33. При равномерном движении по окружности радиусом 0,1 м тело совершает 30 оборотов в минуту. Найти: зависимость от времени угла поворота φ(t), если начальное положение тела равно φ_о = 3,14 рад; определить величину центростремительного ускорения. Нарисовать график зависимости угла поворота от времени. Сделайте чертёж. Уточните понятия: угол поворота; угловая скорость; уравнение зависимости угла поворота от времени (в алгебре); график зависимости, учтите при построении графика из алгебры у = f(х). Удачи. Не возбраняется спрашивать, поощряется.

34. Два картонных диска синхронно вращаются с частотой 75 Гц относительно одной оси на расстоянии 0,5 м друг от друга. Пуля, летящая параллельно оси, пробивает оба диска. Найти наибольшую скорость пули, если отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на 30^о. Сделайте чертёж; лучше два: пуля пробивает первый вращающийся диск; обязательно отметить на чертеже, предположим сплошной линией. Через некоторое время, в результате вращения эта линия-метка (вместе с нею и отверстие) повернётся на некоторый угол, за это время пуля долетит до второго диска – появляется второе отверстие. Представьте это в аналитической форме: поступательное движение пули между дисками; вращательное движение линии-метки с отверстием первого диска. Удачи. Спрашивайте. Ответят.

35. Точка движется по окружности радиусом R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением а_t = 5 см/с². Через какое время t после начала движения нормальное ускорение а_n будет равно тангенциальному? Сделайте чертёж; уточните понятия: нормальное ускорение, тангенциальное ускорение. Запишите уравнение линейной (тангенциальной) скорости; не обойдите вниманием запись, отражающую равенство нормального и тангенциального ускорений. Удачи. Спрашивать не запрещено.

36. Мальчик ныряет в воду с крутого берега высотой 5 м, имея после разбега горизонтально направленную скорость 6 м/с. Каковы величина и направление скорости при достижении им воды? Сделайте чертёж; после отрыва от берега мальчик будет находиться только в поле тяготения Земли; кроме горизонтальной скорости прирастает и вертикальная составляющая; приблизившись к поверхности воды, мальчик имеет не только горизонтальную, но и вертикальную составляющие. Запишите аналитические выражения для вертикальной составляющей скорости и падение с крутого берега. Не забудьте, вертикальная составляющая в момент прыжка отсутствует. Спрашивайте. Ответят обязательно.

37. Тело движется по окружности радиусом 0,5 м так, что угол поворота изменяется по закону φ = 4 + 20ּt. Найти: начальное положение тела; угловую скорость; время, за которое будет сделано 15 оборотов; модуль изменения скорости тела при его движении по окружности на угол 90^о, 180^о. Сделайте чертёж; не забудьте определиться с положением тела в начальный момент времени. Уточните понятия: угол поворота; угловая скорость, её лучше записать через производную; нормальное ускорение; линейная скорость, как она связана с угловой; изменение скорости, модуль. Вычисляя время, за которое будет сделано полное число оборотов, не забудьте выразить угол поворота через число оборотов. Удачи в преобразованиях. Спрашивать не только не запрещено, но и поощряется. Подходите, на Ваши вопросы ответят.

38. Радиус рукоятки колодезного ворота в 3 раза больше радиуса вала, на который наматывается трос. Какова линейная скорость конца рукоятки при поднятии ведра с глубины 10 м за 20 с? Сделайте чертёж: вращающийся ворот колодезный с наматывающимся тросом, к которому прикреплено ведро. Кинематической характеристикой вращающегося ворота является угловая скорость, которая связана с линейной. Запишите аналитическое выражение для линейной скорости ворота и рукоятки ворота. На чертеже отобразили? Уточните взаимосвязь угловой скорости и линейной. Удачи. Спрашивайте. Ответят обязательно.

39. Какую минимальную скорость после толчка должен иметь мальчик, чтобы прыгнуть в длину на 3,6 м? Сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте чертёж; учтите, для движения по горизонтали нужен запас времени, который мальчик обеспечивает, прыгая под углом к горизонту (мальчика рассматривать как материальную точку). Отобразили это на чертеже? Изменение вертикальной составляющей скорости контролируется полем тяготения Земли. Запишите её аналитическое уравнение; ускорение свободного падения принять равным 10 м/с². Запишите аналитическое выражение для горизонтального (в длину) движения мальчика. Есть система из двух уравнений: скорости (вертикальной) и перемещения по горизонтали. Если из уравнения длины прыжка исключить время, проявится проблема понимания «минимальной скорости». Удачи в решении. Спрашивайте. Помогут, обязательно.

40. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени даётся уравнением s = Сּt², где С = 0,1 см/с². Найти нормальное а_n и тангенциальное а_t ускорения в момент, когда линейная скорость точки u = 0,3 м/с. Сделайте чертёж: окружность; по ней движется точка; скорость направлена, по-видимому, по касательной. Уточните понятия: скорости; ускорения тангенциального (лучше через производную), нормального. Удачи. Потребуется, подходите. Помогут.

41. Из одной точки одновременно в горизонтальном направлении вылетают две частицы с противоположно направленными скоростями, равными 20 и 5 м/с. Через какое время угол между направлениями скоростей будет равен 90 градусам? Сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте чертёж: не забудьте, событие происходит в поле тяжести Земли. Вертикальная составляющая скорости будет изменяться с течением времени у обеих точек, запишите её в аналитической форме. Итак, известна временная зависимость вертикальных составляющих; горизонтальная составляющая задана; есть все основания выразить полную скорость каждой частицы. Если не забывать, что угол между скоростями задан, получается прямоугольный треугольник. Построили его? Надо перенести вектора результирующих скоростей в одну точку, не забывая, естественно про то, что угол между ними задан. Удачи в преобразованиях. Можно задавать вопросы. Ответят. Это точно.

42. Тело движется по окружности радиуса 0,5 м так, что угол поворота изменяется по закону φ = 1,5 + 15ּt. Найти: положение тела в начальный момент времени; его угловую скорость; время, за которое тело сделает десять полных оборотов; величину его нормального ускорения. Построить график φ = f(t). Сделайте чертёж; не забудьте определиться с положением тела в начальный момент времени. Уточните понятия: угол поворота, угловая скорость, её лучше записать через производную; нормальное ускорение, линейная скорость и как она связана с угловой. Вычисляя время, за которое будет сделано полное число оборотов, не забудьте выразить угол поворота через число оборотов. Удачи в преобразованиях. Спрашивать не только не запрещено, но и поощряется. Подходите, на Ваши вопросы ответят.

43. Спутник равномерно вращается по круговой орбите, радиус которой в 4 раза превышает радиус Земли. Определить линейную скорость спутника, считая радиус Земли 6400 км. Сделайте чертёж: Земля и вращающийся на орбите спутник. При движении по орбите изменяется направление скорости; характеристикой изменения направления является нормальное ускорение. Причина нормального ускорения – поле тяготения Земли; запишите второй закон Ньютона и раскройте причину изменения скорости по направлению через закон всемирного тяготения, а последствия – нормальное ускорение (ускорение свободного падения на данной высоте g_h; записали?); появляется возможность найти скорость. Не забудьте, во втором законе Ньютона рядом с ускорением находится масса. Преобразуйте. Удачи. Спрашивайте. Помогут.

44. Камень брошен горизонтально со скоростью u = 10 м/с. Найти радиус кривизны R траектории камня через время t = 3 с после начала движения. Сделайте чертёж: оторвавшись после броска, кроме горизонтальной скорости, не изменяющейся по величине и направлению, камень начнёт приобретать вертикальную составляющую с ускорением свободного падения (событие в поле Земли); результат – движение по параболе (можно убедиться); отобразили это на рисунке? Через три секунды в некоторой точке параболы результирующая скорость камня состоит из составляющей горизонтальной и вертикальной и направлена по касательной к кривой в данной точке. Радиус-вектор кривой будет перпендикулярен к этой результирующей скорости. Если Вы уточнили понятие нормального ускорения, являющегося характеристикой быстроты изменения скорости по направлению, то обнаружите, что, зная это нормальное ускорение, можно найти радиус кривизны в данной точке. Не забудьте, причина появления нормального ускорения – тяготение. Чтобы осознать связь нормального ускорения с ускорением свободного падения, обведите в кружок последнюю часть рисунка и вынесите его вправо. Итак, скорость направлена по касательной, искомый радиус-вектор перпендикулярен к ней, ускорение g направлено вниз. Находите проекцию его на радиус-вектор. Преобразуйте. Спрашивайте. Это поощряется. Удачи.

45. Шкив радиусом R = 20 см приводится во вращение грузом, подвешенным на нити, постепенно сматывающейся со шкива. В начальный момент груз был неподвижен, а затем стал опускаться с ускорением а = 2 см/с². Какова угловая скорость w шкива в тот момент, когда груз пройдёт путь s = 1 м? Найдите в этот момент ускорение токи, лежащей на шкиве. Сделайте чертёж: диск, с осью вращения; нить, на ней груз; ещё раз повторите рисунок, только груз опустился на s. Введите символические обозначения: ускорения, скорости, угловой скорости, радиуса шкива. Переходите к составлению аналитических уравнений: пути, скорости (не забудьте, движение с ускорением); уравнения позволяют выразить путь через скорость и ускорение. Итак, линейную скорость в конце пройденного пути можно найти. Как связана линейная скорость с угловой скоростью, уточните. Легко находите угловую скорость. Для нахождения полного ускорения точек обода колеса, нужно найти нормальное ускорение. Уточнили его аналитическое выражение? Чтобы осознать математическую операцию нахождения полного ускорения, сделайте чертёж. Удачи. Если трудно, спрашивайте.

46. Тело брошено со скоростью u_о под углом α к горизонту. Найти скорость u_о и угол α, если известно, что высота подъёма тела h = 3 м и радиус траектории тела в верхней точке траектории R = 3 м. Сделайте чертёж: парабола, ветви направлены вниз; введите символические обозначения; вектор скорости направлен по касательной к кривой; найдите её составляющие на оси х,у; отобразили на чертеже, что событие происходит в поле тяжести Земли? В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю, горизонтальная скорость не изменяется (нет причины). Запишите уравнения: скорости для вертикальной составляющей и перемещения; поле тяжести не забыли? Эти уравнения позволяют выразить высоту подъёма через величины, которые требуется найти. В точке максимального подъёма тело имеет лишь горизонтальную скорость, направленную по касательной. Радиус траектории в данной точке перпендикулярен к вектору скорости. Это позволяет записать уравнение для нормального ускорения. Записали? Учтите, здесь нормальное ускорение равно ускорению свободного падения. Снова уравнение с теми же неизвестными величинами. Эта пара уравнений позволяет найти угол бросания. Тут не далеко и до величины скорости. Удачи. Спрашивать приветствуется. Ответят.

47. Колесо радиуса R = 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени даётся уравнением u = Аּt, где А = 3 см/с². Найти угол α, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в момент времени t = 5 с после начала движения. Сделайте чертёж: колесо, имеющее ось вращения; скорость, направленная по касательной; введите символические обозначения, найдите выражение для тангенциального ускорения; уточните, что это за величина (лучше выразить через производную). Найдите выражение для нормального ускорения. Уточните, как находится полное ускорение: тангенциальное направлено по касательной, нормальное – по радиусу колеса. Удачи в преобразованиях. Подходите.

48. Под каким углом α к горизонту нужно направить струю воды, чтобы высота её подъёма была равна дальности? Сделайте чертёж у = f(х): учтите, для движения по горизонтали необходимо время; вода должна истекать под углом к горизонту; время подъёма, а затем падения даёт возможность переместиться по горизонтали. Отобразили? Скорость направлена по касательной к траектории (ветви вниз); разложите её на составляющие – вертикальную, горизонтальную (не изменяющуюся). Запишите уравнения скорости и перемещения для вертикальной составляющей движения; не забудьте, событие происходит в поле тяжести Земли. Выразите из системы время полёта до верхней точки (вертикальная скорость равна нулю). Запишите уравнение движения по горизонтали. Преобразуйте. Трудно, спрашивайте. Ответят.

49. Радиус рабочего колеса гидротурбины в 8 раз больше, а частота вращения – в 40 раз меньше, чем у паровой турбины. Сравнить скорости и центростремительные ускорения точек обода колёс турбин. Сделайте чертёж для обеих турбин. Введите символические обозначения: радиуса, частоты, линейной скорости и центростремительного ускорения точек обода колеса. Уточните понятия: скорость, центростремительное ускорение; их аналитическую зависимость от заданных параметров. Запишите отношение скоростей и центростремительных ускорений (найдите в тексте слова, оправдывающие это действие). Удачи в преобразованиях. Спрашивать не запрещается. Ответят.

50. Циркульная пила имеет диаметр 600 мм. На ось пилы насажен шкив диаметром 300 мм, который приводится во вращение посредством ремённой передачи от шкива диаметром 120 мм, насаженного на вал электродвигателя. Какова скорость зубьев пилы, если вал двигателя совершает 1200 об/мин? Сделайте чертёж: зубчатая пила со шкивом; ремень со шкива пилы идёт на шкив двигателя (диаметры разные). Введите символы: диаметр, частота, скорость. Уточните аналитическое выражение для скорости при вращательном движении; отобразите на чертеже для пилы, шкива пилы, шкива вала. При записи аналитических выражений скорости ремённой передачи, не забудьте учесть, ремень движется как единое целое. Удачи. Спрашивайте. Ответят.