Что значит «хорошо» в математике

За свою короткую жизнь в математике Танияма внес немало радикальных идей. Наиболее значительная из них настолько опередила свое время, что ему так и не довелось увидеть, какое огромное влияние она оказала на теорию чисел. Он был лидером среди молодых японских математиков, и его уход из жизни стал для них большой потерей. Шимура отчетливо вспоминает влияние Таниямы: «Он всегда был внимателен к коллегам, особенно к молодым, и искренне заботился об их благосостоянии. Для многих из тех, кто вступал с ним в математический контакт, в том числе и для меня, он служил моральной опорой. Возможно, он не догадывался о той роли, которую играл. Ныне я ощущаю его благородную щедрость в этом отношении еще более остро, чем когда он был жив. Но никто не смог поддержать его, когда он отчаянно нуждался в поддержке. Когда я думаю об этом, глубочайшая печаль переполняет меня».

После смерти Таниямы Шимура сосредоточил все свои усилия на том, чтобы понять, какая именно взаимосвязь существует между эллиптическими кривыми и модулярными формами. Несколько лет он упорно собирал все новые и новые факты и логические доводы в пользу гипотезы Таниямы. Постепенно он стал проникаться все большей уверенностью в том, что каждое эллиптическое уравнение в отдельности должно быть связано с соответствующей модулярной формой. Другие математики сомневались, и Шимура вспоминает разговор с одним знаменитым коллегой. Профессор спросил: «Я слышал, что Вы предполагаете, будто какие-то эллиптические кривые могут быть связаны с модулярными формами?» «Вы не поняли, — возразил Шимура. — Не просто какие-то эллиптические кривые, а каждая эллиптическая кривая!»

Шимура не мог доказать, что это действительно так, но всякий раз, когда он проверял гипотезу, она неизменно оказывалась верной. Во всяком случае, все происходившее как нельзя лучше вписывалась в его широкую философию математики. «У меня есть своя философия относительно того, что такое хорошо. Математика должна выражать то, что хорошо. Например, в случае эллиптической кривой, ее можно назвать хорошей, если она параметризована модулярной формой. По моим ожиданиям, все эллиптические кривые хорошие. Разумеется, это философия в чистом виде, но ничто не мешает ее принять за исходный пункт. Нужно ли говорить, что в обоснование гипотезы мне приходится изыскивать различные «технические» причины. Я бы сказал, что моя математическая гипотеза появилась из моего представления о том, что такое хорошо. Многие математики занимаются своей наукой из эстетических соображений, и моя философия того, что такое хорошо, также проистекает из моих эстетических соображений».

Собранные Шимурой подкрепляющие данные означали, что гипотеза о связи между эллиптическими кривыми и модулярными формами начала пользоваться более широким признанием. Шимура не мог доказать, что гипотеза верна, но, по крайней мере, никто более не мог утверждать, что, формулируя гипотезу, он выдает желаемое за действительное. В пользу нее теперь свидетельствовало довольно много фактов. Первоначально ее стали называть гипотезой Таниямы-Шимуры в знак признания заслуг человека, впервые высказавшего ее, и его коллеги, который развил ее и придал ей законченный вид.

Андре Вейль, один из крестных отцов теории чисел XX века, принял эту гипотезу и опубликовал ее на Западе. Вейль подверг идею Шимуры и Таниямы подробнейшему анализу и обнаружил еще более фундаментальные данные, свидетельствующие в ее пользу. В результате эту гипотезу стали часто называть гипотезой Таниямы-Шимуры—Вейля, иногда — гипотезой Таниямы—Вейля, а иногда даже гипотезой Вейля. Относительно того, как ее следует правильно называть, было немало дискуссий и споров. Для тех читателей, которые интересуются подобной комбинаторикой, заметим, что все возможные комбинации из трех имен — Таниямы, Шимуры и Вейля — появлялись в печати в течение года, однако я буду ее называть так, как ее назвали в самом начале, — гипотезой Таниямы-Шимуры.

Профессор Джон Коутс, руководитель Эндрю Уайлса в его аспирантские годы, сам был аспирантом в то время, когда гипотезу Таниямы-Шимуры начали обсуждать на Западе. «Я приступил к самостоятельным исследованиям в 1966 году, когда гипотеза Таниямы-Шимуры распространялась по всему миру. Все были потрясены и начали серьезно задумываться над вопросом, все ли эллиптические кривые могут быть модулярными. Время было захватывающе интересным; единственная проблема заключалась в том, что успехи были очень незначительны. Должен честно признаться, что сколь ни красивой была сама идея, доказать ее было очень трудно, и именно это привлекало нас как математиков».

В конце 60-х многие математики только и делали, что занимались проверкой гипотезы Таниямы-Шимуры. Они брали какую-нибудь эллиптическую кривую, вычисляли E -ряд и занимались поиском модулярной формы с таким же M -рядом. И каждый раз находили для данной эллиптической кривой соответствующую ей модулярную форму. И хотя это убедительно свидетельствует в пользу гипотезы Таниямы-Шимуры, доказательством собранные данные считать было нельзя. Математики подозревали, что гипотеза верна, но до тех пор, пока не найдено логическое доказательство, гипотеза оставалась всего лишь гипотезой.

Профессор Гарвардского университета Барри Мазур был свидетелем того, как гипотеза Таниямы-Шимуры обретала все большую известность. «Гипотеза была великолепной (предполагалось, что каждой эллиптической кривой соответствует модулярная форма), поначалу ее игнорировали, так как она опередила свое время. Когда она была выдвинута впервые, ее не восприняли всерьез потому, что она была чересчур удивительна. С одной стороны, вы имеете эллиптический мир, с другой — модулярный мир. Обе эти области математики исследовались интенсивно, но независимо друг от друга. Математики, занимавшиеся изучением эллиптических кривых, могли не быть сведущими в проблемах модулярных форм, и наоборот. И тут появляется гипотеза Таниямы-Шимуры, которая утверждает, что между двумя совершенно различными математическими мирами существует мост. Математики любят наводить мосты».

Значение математических мостов огромно. Они позволяют сообществам математиков, обитающим на отдельных островах, обмениваться идеями и исследовать то, что удалось создать их коллегам с других островов. Математика состоит из островов знания в море незнания. Например, на одном острове обитают геометры, занимающиеся изучением форм, на другом острове теории вероятностей математики изучают риски и случайность. Существуют десятки других островов, обитатели которых говорят на своем собственном языке, непонятном обитателям других островов. Язык геометрии сильно отличается от языка теории вероятностей, а алгебраическая терминология чужда тем, кто говорит только о статистике.

Большой интерес к гипотезе Таниямы-Шимуры был обусловлен тем, что она наводила мост между двумя островами и позволяла их обитателям впервые говорить друг с другом. Барри Мазур склонен видеть в гипотезе Таниямы-Шимуры устройство, позволяющее осуществлять перевод с одного языка на другой, аналогичное розеттскому камню, надписи на котором были выполнены на трех языках: демотическим египетским письмом, на древнегреческом языке и египетскими иероглифами. Так как демотическое письмо и древнегреческий были понятны, археологи впервые смогли расшифровать египетские иероглифы. «Если один из языков вы знаете, то розеттский камень позволяет вам достичь глубокого понимания другого языка, — говорит Мазур. — Но гипотеза Таниямы-Шимуры — розеттский камень, наделенный определенной магической силой. Гипотеза Таниямы-Шимуры обладает весьма приятной особенностью, которая заключается в том, что простые интуитивные соображения в модулярном мире при переводе превращаются в глубокие истины в эллиптическом мире, и наоборот. Более того, глубокие проблемы в эллиптическом мире иногда решались очень просто при переводе их с помощью нового "розеттского камня" на язык модулярного мира, если удавалось обнаружить в модулярном мире идеи и средства для решения переведенной проблемы. Оставаясь в эллиптическом мире, мы были бы обречены на поражение».

Если бы гипотеза Таниямы-Шимуры оказалась верной, то она позволила бы математикам подходить к решению эллиптических проблем, остававшихся нерешенными на протяжении столетий, с позиций модулярного мира. Была надежда, что область эллиптических уравнений удастся объединить с областью модулярных форм. Гипотеза Таниямы-Шимуры также породила надежду на существование мостов и между другими областями математики. В 60-е годы возможности, заложенные в гипотезе Таниямы-Шимуры, поразили воображение Роберта Ленглендса из Принстонского Института высших исследований. И хотя гипотеза не была доказана, Ленглендс был убежден, что она представляет собой всего лишь один из элементов гораздо более общей схемы унификации. Он считал, что все основные разделами математики взаимосвязаны, и приступил к поиску такого рода связей. Через несколько лет его поиски стали приносить первые результаты. Другие гипотезы о связях между разными разделами математики были гораздо слабее и рискованнее, чем гипотеза Таниямы-Шимуры, но все они сплетались в одну тонкую сеть. Ленглендс мечтал о том, как одна за другой эти гипотезы будут доказаны и возникнет великая единая математика.

Ленглендс охотно обсуждал свой план построения математики будущего (который впоследствии стали называть программой Ленглендса) и пытался привлечь других математиков к участию в доказательстве множества своих гипотез. Никаких путей, ведущих к цели не было видно, но если бы мечта Ленглендса все же осуществилась, то награда была бы грандиозной. Любую неразрешимую проблему в одной области математики можно было бы трансформировать в аналогичную проблему из другой области, где для ее решения имелся бы целый новый арсенал методов.[17]В случае неудачи эту проблему можно было бы перенести еще в какую-нибудь другую область математики, и так далее — до тех пор, пока наконец она не будет решена. В один прекрасный день, как надеялся автор программы Ленглендс, математики смогут решить самые трудные и тонкие проблемы, перенеся их в более подходящее место математического ландшафта.

Важные следствия программа Ленглендса могла бы иметь и для прикладных наук и техники. Идет ли речь о моделировании взаимодействий между сталкивающимися кварками, или о выяснении наиболее эффективного варианта организации телекоммуникационной сети, часто ключом к решению проблемы служит выполнение математических расчетов. В некоторых разделах физики и техники сложность вычислений столь высока, что служит серьезнейшим препятствием на пути к прогрессу. Если бы математики могли доказать «мостообразующие» гипотезы из программы Ленглендса, то появились бы пути решения не только абстрактных, но и практических проблем реального мира.

К 70-м годам программа Ленглендса стала своего рода перспективным планом развития математики, но «путь в рай», о котором может только мечтать каждый любитель решать задачи, был закрыт весьма простым обстоятельством: никто не имел ни малейшего представления о том, как можно было бы доказать любую из гипотез Ленглендса. Первым шагом к осуществлению программы Ленглендса могло бы стать доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры, но и оно пока было неосуществимо.

Несмотря на это, гипотеза Таниямы-Шимуры упоминалась в сотнях математических статей, авторы которых рассуждали о том, что произошло бы, если бы ее удалось доказать. Такие статьи начинались с преамбулы: «Предположим, что гипотеза Таниямы-Шимуры верна…» Далее следовал набросок решения какой-нибудь нерешенной задачи. Разумеется, полученные в таких работах результаты были не более чем гипотетическими. В свою очередь, эти результаты включались как предположения в другие результаты, и т. д. Возникла обширная математическая «страна», опиравшаяся только на истинность гипотезы Таниямы-Шимуры. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого нового здания в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы-Шимуры не была доказана, все здание могло рухнуть в любой момент.

В то время Эндрю Уайлс был молодым аспирантом Кембриджского университета, и он отчетливо вспоминает тревогу, которая охватила математическое сообщество в 70-е годы: «Мы строили все новые и новые гипотезы, простиравшиеся все дальше и дальше в будущее, но все это обратилось бы в прах, окажись гипотеза Таниямы-Шимуры неверна. Нам было необходимо доказать ее, чтобы продемонстрировать обоснованность плана, который мы с таким энтузиазмом наметили на будущее».

Математики сложили хрупкий карточный домик. Они мечтали о том, что в один прекрасный день удастся подвести под это сооружение надежный фундамент. Их неотвязно мучил кошмар: кто-нибудь мог доказать, что гипотеза Таниямы-Шимуры неверна, и тем самым свести на нет плоды математических исследований на протяжении двух десятков лет.

Недостающее звено

Осенью 1984 года избранная группа специалистов по теории чисел собралась на симпозиум в Обервольфахе, небольшом городке в Германии, в Шварцвальде. Участники симпозиума намеревались обсудить успехи в изучении эллиптических кривых. Естественно, что некоторые из докладчиков собирались сделать сообщения о продвижениях, которые им удалось достичь при исследовании гипотезы Таниямы-Шимуры. Один из выступавших, математик из Саарбрюкена Герхард Фрей высказал весьма примечательное утверждение. По его мнению, если бы кому-нибудь удалось доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, то тем самым была бы доказана и Великая теорема Ферма.

Когда Фрею предоставили слово для доклада, он начал с того, что выписал уравнение Ферма

xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n — натуральное число больше 2.

Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение не имеет решений в целых числах. Фрей исследовал вопрос о том, что бы произошло, если бы Великая теорема Ферма оказалась неверной, т. е. если бы уравнение Ферма допускало бы по крайней мере одно решение в целых числах. Фрей не имел ни малейшего представления о том, каким могло бы быть его гипотетическое (и еретическое) решение, поэтому неизвестные целые числа, якобы удовлетворяющие уравнению Ферма, он обозначил буквами A, B и C . Тем самым он предположил, что для некоторого N выполнено равенство:

A^N + B^N = C^N.

Затем Фрей приступил к «преобразованию» уравнения. Это строгая математическая процедура, изменяющая вид уравнения, оставляя неизменной его сущность. С помощью искусных и сложных маневров Фрею удалось преобразовать исходное уравнение Ферма, обладающее гипотетическим решением, к виду

y ² = x ³ + (A^N — B^N )·x ² — A^NB^N.

Хотя полученное уравнение по своему внешнему виду очень сильно отличается от исходного, тем не менее оно является его прямым следствием с учетом принятой гипотезы. Иначе говоря, если (и, разумеется, это большое «если») уравнение Ферма допускает решение в целых числах, то такое преобразованное уравнение существует. Поначалу преобразование Фрея не произвело особого впечатления на аудиторию, но он обратил внимание присутствующих на то, что это уравнение кубическое, а кривая, ему соответствующая, является эллиптической.

Преобразовав уравнение Ферма в кубическое, Фрей тем самым установил связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры. Далее Фрей обратил внимание аудитории на то, что его эллиптическая кривая, полученная при помощи решения уравнения Ферма, обладает весьма причудливым характером. Фрей утверждал, что эта эллиптическая кривая настолько необычна, что даже отзвуки самого существования этой кривой имеют разрушительные последствия для гипотезы Таниямы-Шимуры.

Не следует забывать, что эллиптическая кривая Фрея — всего лишь фантом, призрак. Ее существование обусловлено тем, что уравнение Ферма имеет решение. Но если эллиптическая кривая Фрея существует, то она столь причудлива и необычайна, что невозможно установить соответствие между ней и какой угодно модулярной формой. Но гипотеза Таниямы-Шимуры утверждает, что каждая эллиптическая кривая должна быть связана с какой-нибудь модулярной формой. Таким образом, существование эллиптической кривой Фрея отрицает гипотезу Таниямы-Шимуры. Иначе говоря, аргументы Фрея сводились к следующему.

1. В том (и только в том) случае, если Великая теорема Ферма неверна, то эллиптическая кривая Фрея существует.

2. Кривая Фрея настолько причудлива, что не может быть модулярной.

3. Гипотеза Таниямы-Шимуры утверждает, что любая эллиптическая кривая должна быть модулярной.

4. Следовательно, гипотеза Таниямы-Шимуры должна быть неверна!

Но, что еще более важно, рассуждения Фрея можно обратить:

1. Если гипотеза Таниямы-Шимуры окажется верной, то каждая эллиптическая кривая должна быть модулярной.

2. Если любая эллиптическая кривая должна быть модулярной, то эллиптическая кривая Фрея не может существовать.

3. Если эллиптическая кривая Фрея не существует, то не могут существовать решения уравнения Ферма.

4. Следовательно, Великая теорема Ферма верна!

Отсюда Герхард Фрей сделал сенсационный вывод о том, что если бы математикам удалось доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, то они автоматически доказали бы Великую теорему Ферма. Впервые за сотни лет появилась надежда, что труднейшую математическую проблему все же удастся разрешить. По Фрею, на пути к доказательству Великой теоремы Ферма стоит единственное препятствие: отсутствие доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры.

На аудиторию блестящая идея Фрея произвела неизгладимое впечатление, но присутствовавших поразил элементарный пробел в его логике. Почти все, кто был в аудитории, кроме самого Фрея, заметили этот пробел. Ошибка не казалась серьезной, тем не менее пока она не была исправлена, работу Фрея нельзя было считать законченной. Тому, кто сумел бы первым исправить эту ошибку, принадлежала бы честь установления связи между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры.

Слушатели Фрея вышли из аудитории и устремились в комнату фотокопирования. Очень часто о важности доклада можно судить по длине очереди ожидающих у этой комнаты оттисков с текстом доклада. Получив полный текст доклада Фрея, слушатели разъехались по своим институтам и начали пытаться восполнить пробел в его рассуждениях.

Аргументы Фрея опирались на то, что его эллиптическая кривая, выведенная из уравнения Ферма, весьма причудлива — и поэтому не модулярна. Работа Фрея была неполна потому, что Фрей не доказал, что его эллиптическая кривая достаточно причудлива. Только когда кому-нибудь удастся доказать, что абсолютная причудливость эллиптической кривой Фрея доказывает гипотезу Таниямы-Шимуры, из этого будет следовать доказательство Великой теоремы Ферма.

Первоначально математики считали, что доказательство причудливости эллиптической кривой Фрея не требует никаких новых идей. Казалось, что допущенная Фреем ошибка элементарна, и все, кто присутствовал на симпозиуме в Обервольфахе, полагали, что начнется гонка — кто быстрее проделает необходимые выкладки. Все ожидали, что через несколько дней кто-нибудь пришлет по электронной почте сообщение о том, как именно доказать причудливость эллиптической кривой.

Прошла неделя. Никакого сообщения по электронной почте не последовало. Прошло несколько месяцев. То, что должно было стать массовым математическим забегом на спринтерскую дистанцию стало медленно, но верно превращаться в марафон. Казалось, Ферма продолжает по-прежнему дразнить и мучить своих потомков. Фрей нарисовал увлекательную, но обманчивую стратегию доказательства Великой теоремы Ферма, но даже первый шаг — доказательство немодулярности эллиптической кривой Фрея — озадачил математиков всего земного шара.

Чтобы доказать, что эллиптическая кривая не модулярна, математики занялись поиском инвариантов, аналогичных тем, которые были описаны в гл. 4. Инвариант узла показывает, что один инвариант не может быть трансформирован в другой, инвариант придуманной модели Лойдом головоломки «15–14» показывает, что исходное расположение шашек в этой головоломке невозможно превратить в расположение шашек строго по порядку номеров. Если бы специалистам по теории чисел удалось найти подходящий инвариант для описания эллиптической кривой Фрея, то они смогли бы доказать, что этой кривой, что бы с ней ни делали, невозможно сопоставить модулярную форму.

Одним из тех, кто тщетно пытался доказать существование связи между гипотезой Таниямы-Шимуры и Великой теоремы Ферма, был профессор Калифорнийского университета в Беркли Кен Рибет. С тех пор, как он побывал на докладе Фрея в Обервольфахе, его не покидала надежда доказать, что эллиптическая кривая Фрея слишком причудлива для того, чтобы быть модулярной. После восемнадцати месяцев усилий Рибет, как и все остальные, не продвинулся ни на шаг. Летом 1986 года коллега Рибета, профессор Барри Мазур, приехал в Беркли для участия в Международном конгрессе математиков. Друзья встретились за чашечкой кофе в кафе «Стрáда» и принялись жаловаться друг другу на неудачи и брюзжать по поводу состояния дел в математике.

Когда же они, в конце концов, добрались до обсуждения последних новостей о различных попытках доказать причудливость эллиптической кривой Фрея, Рибет начал объяснять тот ход доказательства, которой он наметил. Этот подход позволял питать смутные надежды на успех, но Рибету удалось осуществить лишь малую часть из задуманного. «Я сидел с Барри и рассказывал о том, чем занимался все это время. Я упомянул, что мне удалось найти доказательство лишь для весьма частного случая, но что делать дальше, как обобщить его, превратив в полнокровное доказательство, я не знаю».

Профессор Мазур прихлебывал кофе и внимательно слушал Рибета. Вдруг он замер и с недоверием посмотрел на Кена. «Неужели Вы не видите? Вы уже доказали все, что требуется. Осталось лишь добавить гамма-нуль M -структуры, провести все доказательство с самого начала, и Вы получите все необходимое».

Рибет посмотрел на Мазура, потом заглянул в чашечку с кофе и снова посмотрел на Мазура. В жизни Рибета как математика это был самый важный момент, и он охотно вспоминает его в мельчайших подробностях. «Я ответил Мазуру, что он абсолютно прав. Как же я сам этого не заметил? Я был сильно удивлен потому, что мне и в голову не приходило добавить лишний гамма-нуль M -структуры. Ведь это так просто!»

Следует заметить, что добавление гамма-нуля M -структуры, звучавшее так просто для Кена Рибета, представляет довольно «хитроумную» часть доказательства.

«Это был тот самый нюанс, которого мне недоставало, и теперь я видел его перед собой ясно и определенно. К себе в гостиничный номер я возвращался, как во сне. Я был полностью поглощен этой новой идеей. Меня не покидала мысль: "Боже, неужели это правильно?". Сев за стол, я принялся лихорадочно строчить в блокноте. Через час-другой я закончил все выкладки и убедился в том, что все ключевые шаги мной проверены и они прекрасно согласуются. Я еще раз просмотрел доказательство от начала и до конца. Все работало, как надо! На Международном конгрессе присутствовали тысячи математиков, и в беседе с некоторыми из коллег я упомянул о том, что мне удалось доказать, что Великая теорема Ферма следует из гипотезы Таниямы-Шимуры. Новость распространилась, как лесной пожар. Мои коллеги бросились ко мне с вопросом: «Правда ли, что Вам удалось доказать, что эллиптическая кривая Фрея не модулярна?» Я подумал минуту-другую и уверенно заявил: "Да!"».

Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы-Шимуры. Если бы кому-нибудь удалось доказать, что любая эллиптическая кривая модулярна, то из этого следовало бы, что уравнение Ферма не имеет решений в целых числах, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана.

На протяжении трех с половиной столетий Великая теорема Ферма была изолированной проблемой, занимательной и неразрешимой головоломкой на краю математики. Теперь Кен Рибет, вдохновленный Герхардом Фреем, передвинул проблему Ферма в центр событий. Самая занимательная проблема, остававшаяся нерешенной с XVII века, оказалась неразрывно связанной с самой значительной проблемой XX века. Головоломка огромного исторического и эмоционального значения оказалась связанной с гипотезой, способной революционизировать современную математику. Действительно, теперь математики могли подходить к доказательству Великой теоремы Ферма, придерживаясь стратегии доказательства от противного. Чтобы доказать, что Великая теорема Ферма верна, математики исходили из предположения, что она неверна. Из этого бы следовало, что гипотеза Таниямы-Шимуры неверна. Но если бы можно было доказать, что гипотеза Таниямы-Шимуры верна, то из этого следовало бы, что и Великая теорема Ферма должна быть верна.

Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы-Шимуры не удавалось, и надежд на успех оставалось все меньше. Пессимистом был даже Кен Рибет: «Я был одним из очень многих, кто считал гипотезу Таниямы-Шимуры совершенно не доказуемой. Я и не пытался доказывать ее. Об этом нечего было и думать. Эндрю Уайлс был, по-видимому, одним из немногих людей на Земле, кто осмелился попытаться доказать эту гипотезу».