Мы расписали подробно процесс нахождения параметров

регрессии а1, а2, b. Видно, что даже в нашем простом примере

Достаточно много вычислений и их лучше проводить на ЭВМ

Или калькуляторе с большим количеством значащих цифр. По

формуле (10.31) определяем среднюю ошибку аппроксимации:

, или 4,2%.

Находим:

Вычисляем средние квадратические отклонения:

По формуле (10.72) определяем корреляционные моменты:

Теперь по формулам (10.71) вычисляем парные коэффици-

енты корреляции:

Далее по формулам (10.62), (10.73), (10.74) находим коэф-

фициенты частной корреляции первого порядка:

Наконец по формуле (10.75) определяем совокупный коэф-

фициент множественной корреляции:

Зная , находим совокупный коэффициент множест-

венной детерминации (77,9%), который показыва-

ет, что вариация результативного признака y на 77,9% обуслов-

лена признаками = факторами x1 и x2. Поэтому целесообразно

Строить линейную двухфакторную регрессионную модель вида

(10.77).

Проведем проверку значимости полученного нами уравне-

ния регрессии (10.77) по F-критерию Фишера:

, (10.78)

где n — количество наблюдений; m — количество параметров в

Уравнении регрессии.

В нашем случае

.

Fрасч сравнивается с табличным значением F-критерия

Фишера, которое зависит от уровня значимости α и от степени

свободы v1 = m − 1 и v2 = n − m.

Выбираем 5%-ный уровень значимости (α = 0,05). В нашем

случае v1 = 2; v2 = 5. По таблице (см. приложение 4) находим

Fтабл = 5,79.

Так как Fрасч > Fтабл, то построенное нами уравнение рег-

Рессии (10.77) можно признать значимым. Мы уже упоминали,

что параметры а1, а2, b линейного двухфакторного уравнения

Регрессии можно найти, используя парные коэффициенты кор-

Реляции и среднее квадратическое отклонение. Если считать

Параметры уравнения регрессии вручную, то этот способ про-

Ще в вычислительном отношении. Приведем его и применим к

Рассматриваемому нами примеру.

Уравнение линейной двухфакторной регрессии записыва-

ем в виде:

. (10.79)

После преобразования (10.79) примет вид:

. (10.80)

Из сравнения (10.65) и (10.80) получаем:

a1 = ρ1; a2 = ρ2; ; (10.81)

; (10.82)

. (10.83)

По формулам (10.82) и (10.83) с учетом первой и второй

формулы (10.81) находим:

;

.

Используя вычисленные значения a1 и a2 по третьей фор-

муле (10.81) определяем искомый параметр b:

b = 15967 − 0,3 ⋅ 151614,25 − (-0,004) ⋅ 231581,12 ≈

≈ -28590,951 ≈ -28591.

Сравниваем полученные параметры а1, а2, b с теми которые

Вычисленные с помощью МНК и видим, что они совпадают.

Понятие о криволинейном корреляционном

И регрессионном анализе

При исследовании различных общественных и природных

Явлений зависимости между изучаемыми признаками очень

Часто являются криволинейными.

Например, если исследовать изменение издержек от объ-

Ема выпуска, то наилучшей является степенная (кубическая)

Зависимость. Построение и анализ криволинейных уравне-

Ний регрессии имеет свою специфику. Некоторые нелинейные

Модели (мы уже об этом упоминали) можно линеаризировать

(свести к линейным), например, с помощью замены переменной

Или логарифмирования. Заметим, что криволинейные уравне-

Ния регрессии бывают однофакторными и многофакторными.

Приведем некоторые часто используемые уравнения криволи-

Нейной регрессии.

Параболы второй, третьей, … n-й степеней.

… … … … … … … … … … … … … … …

Степенная функция .

Показательная функция .

Гипербола .

Полулогарифмические функции:

;

.

Степенную и показательную модели можно легко свести к

Линейным путем логарифмирования.

Для степенной функции , т. е. получи-

ли линейную регрессионную модель относительно и ln xi

(можно брать логарифм по любому основанию). Напомним, что

, где e ≈ 2,718.

Для показательной функции , т. е. получи-

ли линейную модель относительно и xi.

Полулогарифмическую модель и гиперболи-

Ческую функцию сводят к линейным путем замены перемен-

Ной.

ln xi = zi; .

И получаем:

Видно, что после линеаризации мы получили парную ли-

Нейную регрессионную модель, которую рассматривали в под-

Разд. 10.2.

Нелинейные параметры криволинейных регрессионных

Моделей можно находить, например, с помощью МНК. Рас-

Смотрим, как это делается на примере параболической мо-

Дели третьего порядка. Условие МНК в данном случае имеет

вид:

. (10.84)