Физика: пособие по подготовке к экзамену

Тема 12. Электрические и магнитные свойства вещества

Тема 13. Уравнения Максвелла

Тема 14. Свободные и вынужденные колебания. Сложение гармонических колебаний

Тема 15. Волны. Уравнение волны

Тема 16. Энергия волны. Перенос энергии волной.

Тема 17. Интерференция и дифракция света

Тема 18. Поляризация и дисперсия света

Тема 19. Тепловое излучение. Фотоэффект. Эффект Комптона. Световое давление

Тема 20. Спектр атома водорода. Правило отбора

Тема 21. Дуализм свойств микрочастиц. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Тема 22. Уравнение Шредингера

Тема 23. Ядро. Элементарные частицы. Фундаментальные взаимодействия.

Тема 24. Ядерные реакции. Законы сохранения в ядерных реакциях

Физика: пособие по подготовке к экзамену

Тема 1.Кинематика поступательного и вращательного движения

В кинематике рассматриваются законы изменения перемещения, скорости и ускорения движущегося тела. Для описания поступательного движения используются линейные вектора они направлены по касательной к траектории (ускорение при ускоренном движении совпадает по направлению со скоростью, а при замедленном - противоположно). Положение точки относительно системы координат задается радиус-вектором или координатами:

Например, тело находится в точке А(x₁, y₁, z₁), ее положение определяется радиус-вектором , где i, j, k – единичные векторы, направленные вдоль координатных осей x,y,z.

Пусть тело перемещается в точку В(x₂, y₂, z₂), .

Тогда вектор перемещения .

Еще вспомним о свойствах векторов:

Длина вектора равна корню из суммы квадратов его проекций на координатные оси, например: .

Скалярное произведение векторов – скалярная величина равная произведению длин векторов на синус угла между ними или сумме произведений соответствующих координат.

Работа постоянной силы - скалярное произведение силы и перемещения:

Скорость движения – перемещение тела за единицу времени, равно первой производной перемещения по времени:

; .

Соответственно, перемещение – интеграл скорости по времени:

,

интеграл равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. При решении задач часто предлагается именно этот качественный метод решения, в котором рассматривается дифференциально интегральная взаимосвязь.

Ускорение движения – изменение скорости за единицу времени, равно первой производной скорости по времени:

; .

Соответственно, изменение скорости – интеграл скорости по времени:

,

интеграл равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени.

Напомним формулы:

1) площадь прямоугольного треугольника - половина произведения катетов (s=(a∙b)/2);

2) площадь трапеции – произведение высоты на полусумму оснований (s=h∙(a+b)/2).

Пример 1.1. Определите

1) ускорение движение;

2) закон скорости;

3) перемещение от 2 до 3 секунды.

На графике изображена линейная зависимость скорости от времени (это случай равноускоренного движения), следовательно, ускорение мы можем найти по формуле

Уравнение движения = 1+0,5t.

Перемещение найдем по площади фигуры под графиком скорости – это трапеция .

Вспомним законы движения в двух самых простых случаях:

а) равномерное прямолинейное движение

; ; ;

б) равноускоренное прямолинейное движение

; ; .

При криволинейном поступательном движении ускорение направлено внутрь кривизны траектории. При таком движении изменяется величина и направление скорости, поэтому используют разложение ускорения на две составляющие: .

Направление ускорения точки при движении по окружности: 2 – при ускоренном движении; 3 – при равномерном движении; 4- при замедленном движении.

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение величины скорости ( , равно первой производной величины скорости по времени, направлено по касательной к траектории.

Нормальное (центростремительное) ускорение отвечает за изменение направления скорости, равно отношению квадрата скорости к радиусу кривизны траектории ( , направлено вдоль радиуса к центру кривизны траектории.

Пример 1.2. Диск катится равномерно по горизонтальной поверхности со скоростью v₀ без проскальзывания. Вектор скорости точки А, лежащей на ободе диска, ориентирован в направлении …

Решение: мгновенная линейная скорость всегда направлена по касательной к траектории, точка А движется с ободом колеса вниз, значит ее скорость направлена вдоль вектора (3).

Пример 1.3. Материальные точки движутся по окружности. На рисунке показаны графики проекций скорости от времени (v_t). Какими будут величины для нормального и тангенциального ускорения?

Решение:

1) точка (1) движется равномерно, значит, .

2)Точка (2) движется равноускоренно, значит, .

3)Точка (3) движется равнозамедленно, значит, .

Пример 1.4. Точка движется по спирали с постоянной по величине скоростью. Как при этом изменяется величина нормального ускорения? Решение: нормальное ускорение определяется по формуле , следовательно, если величина скорости постоянна, а радиус кривизны увеличивается, нормальная составляющая ускорения уменьшается. (Если точка движется в обратном направлении, т.е. радиус уменьшается – ускорение будет увеличиваться).

Пример 1.5. Материальная точка М движется по окружности со скоростью V. На рис.1 показан график зависимости тангенциальной составляющей скорости V_t от времени. На рис. 2 укажите направление ускорения точки в момент времени t₁.

Решение: при криволинейном движении ускорение всегда направлено внутрь кривизны траектории. Направление (2) соответствует ускоренному движению, направление (4) – замедленному, а направление (3) – равномерному вращению. В момент времени t₁ скорость увеличивается – это ускоренное движение. Ответ: направление 4.

Вращение твердого тела описывают с помощью угловых характеристик движения: j - угловое перемещение; w - угловая скорость; b - угловое ускорение. Это псевдовектора, направлены вдоль оси вращения в соответствии с правилом правой руки – четыре пальца по направлению вращения тела, большой указывает направление векторов j и w. b - направлен как w при ускоренном вращении и противоположно при замедленном. Интегрально-дифференциальная взаимосвязь между угловыми характеристиками такая же как между линейными:

; ; .

; ; .

Взаимосвязь меду линейными и угловыми характеристиками движения: ;

= ; .

Пример 1.6. Колесо вращается по часовой стрелке. К ободу колеса приложена сила, направленная по касательной. Как направлены угловое перемещение, скорость, ускорение?

Решение: направление углового перемещения и скорости определяем по правилу правой руки (4). Сила действует на диск в направлении его вращения – значит движение ускоренное, тогда угловое ускорение направлено как угловая скорость, т.е. по направлению (4).

Пример 1.7. Ускорение на участке 1-2 с, равно: R10 £5 £15 £20

Решение: линейная зависимость угловой скорости от времени – это равноускоренное движение, ускорение определяется формулой: . Для участка от 1с до 2с подставим значения скорости и времени:

.

Пример 1.8. Тангенциальное ускорение точки, находящейся на расстоянии 1 м от оси вращения, равно (м/с²)

£ -0,5 £ 0,5 £ 5 R -5

Решение: , по графику определим угловое ускорение, возьмем два значения скорости и соответствующие им моменты времени: ,

Ответ: .

Пример 1.9. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Скорость точки, находящейся на расстоянии 10 см от оси, изменяется со временем в соответствии с графиком, представленным на рисунке. Зависимость угловой скорости тела от времени (в единицах СИ) задается уравнением … R w=10+5t £ w=0,1(1+0,5)t

£ w=10+7,5t £ w=0,1(1+7,5)t

Решение: на графике приведена зависимость от времени линейной скорости точки, находящейся на расстоянии r = 10 cм = 0,1 м от оси вращения тела. Угловая скорость вращения тела, равна , т.е. чтобы записать уравнение угловой скорости тела мы должны найти уравнение линейной скорости точки и разделить на расстояние до оси. Скорость линейно возрастает со временем – это равноускоренное движение, при котором

где v₀=1м/c; v=4 м/с; t=6 c

Ответ:

Пример 1.10. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем как показано на графике. Угловое перемещение (j, рад) в промежутке времени от 2 с до 4 с равно…

R6 £2 £4 £8

Решение: вспомним, что перемещение – это интеграл скорости и равно площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. График скорости, ось времени на промежутке (2,4) образуют трапецию, площадь которой и будет равна перемещению.

Площадь трапеции – произведение высоты на полусумму оснований (s=h∙(a+b)/2), где h=2 c; a=4 рад/с; b= 2рад/с

Центр масс системы взаимодействующих тел или тела – это точка, в которой к телу прилагается сила тяжести, ее положение определяется радиус-вектором:

, где m – масса всей системы

– скорость центра масс системы тел;

– импульс системы тел равен импульсу центра масс.

Пример 1.11. Вдоль оси ОХ навстречу друг другу движутся две частицы с массами m₁ = 2г, m₂ = 6г и скоростями v₁ = 9 м/с, v₂ = 3 м/с соответственно. Проекция скорости центра масс на ось ОХ (в единицах СИ) равна…

Решение: проекция скорости центра масс на ось ОХ равна

Где m₁ = 0,002 кг, m₂ = 0,006 кг, m = 0,011 кг, v_1х = 9 м/с, v_2х = -3 м/с

Ответ: .

Тема 2. Динамика поступательного движения. Элементы специальной теории

Законы динамики – это три закона Ньютона:

1.Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если сумма всех сил действующих на тело равна нулю.

Состояние покоя или равномерное движение означает, что ускорение тела равно нулю, математически первый закон Ньютона можно записать следующим образом: , если .

2. В инерциальной системе отсчета, ускорение, приобретаемое телом под действием силы, направлено так же как сила, по величине пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела:

.

Отсюда сила, действующая на тело: .

Вспомним, что импульс тела равен произведению массы тела на его скорость ( ). Тогда второй закон Ньютона можно сформулировать иначе: в инерциальной системе отсчета, импульс тела изменяется под действием силы, и скорость изменения импульса тела равна силе действующей на тело:

.

3. Два взаимодействующих тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению:

.

Сила – это вектор, модуль силы – длина вектора силы, находим ее по теореме Пифагора. В общем случае:

.

Пример 2.1. Импульс материальной точки изменяется по закону: (кг×м/с). Чему равен модуль силы (в Н), действующей на точку в момент времени t=2с?

Решение: согласно второму закону Ньютона сила равна производной импульса по времени: . Найдем вектор силы

,

при t=2c сила равна ,

модуль силы равен

Пример 2.2. Импульс материальной точки изменяется по закону: . Чему равен модуль силы (в Н), действующей на точку в момент времени t=2с?

Решение: ,

при t=2c, ,

модуль силы .

Пример 2.3. Первый закон Ньютона:

£ справедлив в любой системе отсчета

R справедлив только в инерциальных системах отсчета

£ утверждает, что в инерциальных системах отсчета тело обязательно покоится или движется равномерно и прямолинейно

£ утверждает невозможность ускоренного движения тела в инерциальных системах

Пример 2.4. Известно, что некоторая система отсчета К инерциальна. Инерциальной является любая другая система отсчета,

£ равномерно вращающаяся относительно системы К

R движущаяся относительно системы К равномерно и прямолинейно

£ движущаяся относительно системы К ускоренно и прямолинейно

£ совершающая относительно системы К гармонические колебания

Вспомним некоторые силы:

Cила упругости при малых деформациях равна произведению коэффициента жесткости тела (k) на деформацию тела (х), взятому с противоположным знаком: .

Cила трения скольжения равна произведению коэффициента трения (m) на силу давления (N), направлена в сторону противоположную направлению движения тела: .

Cила давления (N) – направлена перпендикулярно поверхности по которой скользит тело, если поверхность горизонтальная, то сила давления численно равна силе тяжести, действующей на тело: .

Если тело скользит по наклонной поверхности под действием силы тяжести, то сила давления равна проекции силы тяжести на перпендикуляр к поверхности: .

Сила вязкости равна произведению коэффициента трения на скорость движения тела, направлена противоположно скорости:

.

Cила всемирного тяготения – сила притяжения между телами, обладающими массой, направлена вдоль линии соединяющей центры взаимодействующих тел, прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами масс тел: .

Сила тяжести – это сила притяжения между телом и планетой

.

Вес тела – сила, с которой тело действует на опору или подвес, равна произведению массы тела на геометрическую разность ускорения силы тяжести и ускорения движения тела:

.

Рассмотрим пример вертикального движения тела в лифте. Если лифт покоится или движется равномерно: .

Если лифт движется так, что его ускорение направлено вниз:

, вес уменьшается.

Если лифт движется так, что его ускорение направлено вверх:

, вес увеличивается.

Сила Архимеда – все тела, помещенные в жидкость или газ, выталкиваются с силой равной весу вытесненной жидкости (т.е. произведению объема тела на плотность жидкости и на ускорение силы тяжести): .

Пример 2.5. Тело массой т движется с коэффициентом трения μ по наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонт. По какой формуле определяется сила трения? Ответ: .

Пример 2.6. Лифт движется вверх, скорость лифта изменяется в соответствии с графиком, представленном на рисунке. В какой промежуток времени сила давления груза на пол совпадает по модулю с силой тяжести?

Решение: рассмотрим все интервалы времени

(0,1) – v увеличивается, a направлено вверх ;

(1,2) – v постоянна, a равно нулю ;

(2,3) – v уменьшается, a направлено вниз .

Элементы специальной теории относительности

При описании движения тел со скоростями близкими с скорости света в вакууме необходимо перейти от классической механики к релятивистской, в основе которой лежат постулаты Эйнштейна:

1) Принцип относительности – никакие опыты, проведенные внутри инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружит, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой;

2) Принцип инвариантности скорости света – скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Это означает, что для наблюдателя находящегося внутри движущегося со скоростью близкой к скорости света космического корабля все процессы происходят так как если бы он был неподвижен. Для наблюдателя на Земле длины предметов на корабле уменьшаются, а массы тел и интервалы времени событий увеличиваются:

; ; ,

где m₀, l₀ , t₀ – масса, длина тела, длительность промежутка времени в системе относительно которой оно покоится.

Релятивистский закон сложения скоростей:

скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (u), скорость тела относительно движущейся системы отсчета (u’), скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной (v)

Пример 2.7. Скорость света в вакууме:

£ зависит от длины волны

R одинакова во всех инерциальных системах отсчета

£ различна в разных системах отсчета

£ зависит от скорости источника

Пример 2.8. На борту космического корабля нанесена эмблема в виде круга (рис. а). Если корабль движется в направлении, указанном на рисунке стрелкой, со скоростью, сравнимой со скоростью света, то какую форму примет эмблема в неподвижной системе отсчета?

Ответ: из-за релятивистского сокращения длины в направлении движения корабля эта эмблема примет форму эллипса сжатого в направлении скорости.

Пример 2.9. Космический корабль с двумя космонавтами летит со скоростью V=0,8c (c - скорость света в вакууме). Один из космонавтов медленно поворачивает метровый стержень из положения 1, параллельного направлению движения, в положение 2, перпендикулярное этому направлению. Тогда длина стержня с точки зрения другого космонавта …

Ответ: не изменится, так как оба наблюдателя находятся в одной системе отчета, относительно которой стержень неподвижен.

Пример 2.10. Космический корабль пролетает мимо Вас со скоростью 0,8с. По Вашим измерениям его длина равна 90 м. Чему равна его длина в состоянии покоя?

Решение: выведем формулу для расчета длины корабля относительно неподвижной системы отсчета из формулы: ,

получим выражение ,

подставим значение скорости

.

Пример 2.11. Релятивистское сокращение длины ракеты составляет N=20%. При этом скорость ракеты равна…

Решение: релятивистское сокращение длины ракеты выраженное в процентах – это отношение изменения длины ракеты к ее первоначальной длине умноженное на сто

Ответ:

Пример 2.12. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость 0,4с (с – скорость света в вакууме). В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения b-частицу, скорость которой 0,75с относительно ускорителя. Скорость b-частицы относительно ядра равна…

Решение: при решении задачи нужно найти скорость тела (b-частицы, u’=?) относительно подвижной системы отсчета (относительно ядра, v=0,4c), если известна скорость частицы относительно неподвижной системы отсчета (u=0,75с). Воспользуемся формулой

Ответ: .

Пример 2.13. Движущееся со скоростью 0,6с ядро испустило частицу в направлении своего движения. Скорость частицы относительно ядра 0,3с. Тогда ее скорость относительно неподвижной системы отсчета равна…

Решение: u=?; v=0,6c; u’=0,3c.

Ответ: =

Тема 3. Динамика вращательного движения

Динамика вращения

1) момент силы - произведение силы на плечо , где плечо – расстояние от оси до направления действия силы (из оси опускается перпендикуляр на направление действия силы). М – это псевдовектор, направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом правой руки – четыре пальца вращаются в направлении действия силы – большой укажет направление момента силы.

2) момент импульса – произведение момента инерции на угловую скорость вращения , псевдовектор направлен вдоль оси вращения (правая рука вращается по направлению вращения тел.

3) момент инерции – определяется распределением массы тела относительно оси вращения:

a) материальной точки

b) момент инерции тонкостенного цилиндра или кольца относительно геометрической оси

c) момент инерции сплошного однородного цилиндра или диска относительно геометрической оси

d) момент инерции однородного шара относительно оси проходящей через центр диска m .

e) теорема Штейнера – момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной оси проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния до оси вращения: .

4) Основное уравнение динамики вращательного движения:

Первая формулировка - момент вращающей силы относительно оси вращения равен произведению углового ускорения и момента инерции тела относительно этой оси:

.

Вторая формулировка – момент вращающей силы равен первой производной момента импульса тела по времени:

.

Пример 3.1. Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону . Укажите график, зависимости от времени момента сил, действующих на тело.

Решение: Согласно основному уравнению динамики вращения .

L	M	график
L=ct3	M=3ct2
L=ct3/2	M=(3/2)ct
L=ct	M=c

Пример 3.2. Диск вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью. Зависимость момента импульса диска от времени представлена на рисунке линией:

Решение: момент импульса L=Iw=const линия (Е).

Пример 3.3. Момент импульса вращающегося тела изменяется по закону L = at, где a - некоторая положительная константа. Момент инерции тела постоянный. При этом угловое ускорение тела зависит от времени согласно графику…

Решение: угловое ускорение найдем из основного уравнения вращения ) : .

Момент силы - . В нашем примере производная равна М = a постоянная величина. Момент инерции и момент силы постоянны – значит ускорение тоже постоянно. В таблице приведены примеры разных моментов импульсов:

Момент импульса	Момент силы	Угловое ускорение	График b(t)
L = at	М = a	b=a/I
L = at2	М = 2at	b=2at/I
L = at3	М = 3at2	b=3at2/I

Пример 3.4. Человек сидит в центре вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси карусели и держит в руках длинный шест за его середину. Если он повернет шест из горизонтального положения в вертикальное, то частота вращения в конечном состоянии:

£ не изменится £ уменьшится R увеличится

Решение: по закону сохранения момента импульса L = wI = const, изменение частоты вращения (w) произойдет при изменении момента инерции человека с шестом (I). Если шест развернуть из горизонтального положения в вертикальное (т.е. расположить его вдоль оси вращения), его момент инерции обратиться в ноль, момент инерции человека уменьшится, при этом частота вращения должна увеличится для сохранения момента импульса.

Пример 3.5. При расчете моментов инерции тела относительно осей, не проходящих через центр масс, используют теорему Штейнера. Если ось вращения тонкого кольца перенести из центра масс на край, то момент инерции относительно новой оси увеличится в … раза.

£ 4 £ 1,5 R 2 £ 3

Решение: момент инерции тонкостенного цилиндра или кольца относительно геометрической оси, равен: . Для расчета момента инерции относительно параллельной оси применим теорему Штейнера . Ответ: .

Пример 3.6. Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса. Две детали разрезали пополам вдоль разных осей симметрии. Затем все части отодвинули друг от друга на разное расстояние и расставили симметрично относительно оси ОО’. Для моментов инерции относительно этой оси справедливо соотношение…

£ I₁< I₂< I₃ £ I₁> I₂> I₃ R I₁= I₂< I₃ £ I₁< I₂= I₃

Решение: момент инерции тела определяется распределением массы этого тела относительно оси вращения. На первом и втором рисунке части эллипса расположены одинаково относительно оси ОО’, значит, их моменты инерции одинаковы. На третьем рисунке части эллипса дальше от оси вращения – момент инерции больше.

Пример 3.7. Четыре шарика расположены вдоль прямой а. Расстояния между соседними шариками одинаковы. Массы шариков слева направо, г: 1, 2 , 3 , 4. Если поменять местами шарики 1 и 3, то момент инерции этой системы относительно оси О, перпендикулярной прямой а и проходящей через середину системы ...

R увеличится £ уменьшится £ не изменится

Решение: момент инерции материальной точки - , системы точек – сумма моментов инерции точек. Пусть расстояние между шариками 2 cм, тогда: r₁=3 cм, r₂=1 cм, r₃=1 cм, r₄=3 cм.

Моменты инерции: I₁= 1×3²=9, I₂= 2, I₃= 3, I₄= 36.

Момент инерции системы: I = 9+2+3+36=50 г×см².

Если поменять местами 1 и 3 шарики, то I = 27+2+1+36 = 66 г×см². Момент инерции системы увеличился. Можно было ответить на вопрос задачи без расчета: третий – тяжелый шарик переносится дальше от оси вращения, значит, момент инерции увеличится.

Пример 3.8. К точке, лежащей на внешней поверхности диска, приложены 4 силы (рис. а). Если ось вращения проходит через центр О диска перпендикулярно плоскости рисунка, то плечо силы F₁ равно…

R b £ ноль £ c £ a

Решение: плечо силы – это расстояние от оси до направления действия силы, т.е. плечо совпадает с перпендикуляром проведенным от оси до направление действия силы. Продлим направление действия силы F₁ (см. рис. б). Опустим на это направление из точки О перпендикуляр – получим отрезок (ОА) – это и есть плечо силы F₁, оно совпадает с отрезком (b).

Для других сил l₂ = 0; l₃ = a; l₄ = c.

Пример 3.9. Физический маятник совершает колебания вокруг оси, проходящей через т. О перпендикулярно плоскости рисунка. Для

R от нас перпендикулярно плоскости рисунка

£ вверх в плоскости рисунка

£ к нам перпендикулярно плоскости рисунка

£ вниз в плоскости рисунка

Решение: под действие силы тяжести маятник движется вправо. Расположим большой палец правой руки вдоль оси вращения так чтобы четыре пальца двигались в направлении движения маятника, получим направление большого пальца от нас перпендикулярно плоскости рисунка – это и есть направление момента силы тяжести.

Пример 3.10. Диск может вращаться вокруг оси перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. В точке А прикладывают одну из сил, лежащих в плоскости диска. Верным для моментов этих сил относительно рассматриваемой оси является соотношение …

£ М₁ = М₂ = М₃, М₄ = 0 £М₁ > М₂ > М₃, М₄ = 0

£ М₁ < М₂ < М₃ < М₄ R М₂ < М₁ < М₃, М₄ = 0

Решение: момент силы - произведение силы на плечо , где плечо – расстояние от оси до направления действия силы (из оси опускается перпендикуляр на направление действия силы). Направление силы F₄ проходит через ось О, значит, плечо силы равно нулю и момент М₄ = 0.

Момент первой силы: M₁ = F_1×a.

Определим момент силы F₃. Плечо силы отмечено на рисунке l₃=а×cosa₃ (где угол отмечен серой заливкой). Выразим величину силы F₃ через силу F₁:

, тогда момент силы, равен

,

.

Аналогично, l₂=а×cosa₂; , .

По величине длина вектора F₁ больше расстояния b, соотношение между моментами сил следующее: М₂ < М₁ < М₃, М₄ = 0.

Пример 3.11. Диск радиусом 1 м, способный свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, отклонили от вертикали на угол 90⁰ и отпустили. В начальный момент времени угловое ускорение диска равно (с^-2): R7 £10 £ 5 £20

Решение: согласно основному закону динамики вращения твердого тела . Сила тяжести приложена к центру диска и направлена вертикально вниз, ее момент равен , где R – радиус диска и плечо силы. Момент инерции диска определим по теореме Штейнера:

, тогда

.

Тема 4. Работа и энергия. Законы сохранения в механике

Элементарная работа силы равна , работа на всем пепемещении ранв интегралу .

Работа постоянной силы - скалярное произведение силы и перемещения:

(Скалярное произведение векторов – скалярная величина равная произведению длин векторов на синус угла между ними или сумме произведений соответствующих координат).

Работа переменной силы интеграл от силы по перемещения:

геометрически, равная площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.

Мощность – работа, совершаемая за одну секунду

.

Единица измерения работы – Джоуль - [A]= Дж; единица измерения мощности – ватт - [N]=Вт.

В любой физической системе при совершении работы происходит изменение энергии. Энергия – физическая величина, характеризующая состояние системы.

Кинетическая энергия – энергия движения:

1) - кинетическая энергия поступательно движущегося тела;

2) - кинетическая энергия вращающегося тела;

3) – КЭ тела движущегося поступательно и вращающегося (например, колесо автомобиля)

Теорема о кинетической энергии – приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на том же перемещении

.

Отметим, что мощность всех сил, действующих на тело равна скорости изменения кинетической энергии тела

.

Потенциальная энергия – энергия взаимодействия, расчетные формулы для разных видов взаимодействия будут разными, например

а) потенциальная энергия тела массы m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли:

б) ПЭ гравитационного взаимодействия двух тел - ;

в) ПЭ упруго деформированной пружины - .

Теорема о ПЭ – изменение потенциальной энергии взятое с противоположным знаком равно работе сил, действующих на тело: .

Если тело движется в потенциальном поле, на него со стороны поля действует сила равная градиенту потенциала поля и направленная противоположно направлению увеличения потенциальной энергии:

.

Закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе энергия не исчезает, она превращается из одного вида в другой, полная механическая энергия не изменяется: Е = П+К = const

Пример 4.1. На рисунке изображены зависимости ускорений трех прямолинейно движущихся материальных точек одинаковой массы от координаты х.

Для работ A₁, A₂, A₃ сил, действующих на точки, справедливо следующее соотношение:

R А₁> А₂> А₃ £ А₁< А₂> А₃

£ А₁< А₂< А₃ £ А₁> А₂< А₃

Решение: по второму закону Ньютона F = ma, т.е. график зависимости ускорения от времени имеет вид графика зависимости силы от времени. Мы отмечали, что работа геометрически равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения, т.е. фигура между осью х и линией силы. Самая большая площадь под линией 1, затем 2 и 3, следовательно s₁> s₂> s₃, А₁> А₂> А₃.

Пример 4.2. На рисунке показан вектор силы, действующей на частицу. Чему равна работа, совершенная этой силой при перемещении частицы из начала координат (0,0) в точку с координатами (5,2)?

Решение: по определению . Сила постоянна и равна (см. рис.),

.

Пример 4.3. Частица совершила перемещение из точки 1 с радиус-вектором в точку 2 радиус-вектором . При этом на нее действовала сила . Чему равна работа силы7

Решение: воспользуемся формулой из предыдущего примера

.

Пример 4.4. Частица движется в двумерном поле, причем ее потенциальная энергия задается функцией . Чему равна работа сил поля (в Дж) по перемещению частицы из точки С(1,1,1) в точку В(2,2,2)?

Решение:

)

величина силы равна длине вектора:

.

Пример 4.5. В потенциальном поле сила F пропорциональна потенциальной энергии П. Если график зависимости потенциальной энергии от координаты имеет вид (см. рис.), то зависимость проекции силы F_x на ось х будет …

Решение: потенциальная энергия линейно зависит от координаты . Проекция силы на ось х равна производной энергии по координате, взятой с противоположным знаком:

Ответ: график (1).

Пример 4.6. Тело массы m=100 г бросили с поверхности земли с начальной скоростью V₀ = 10 м/с под углом α=30° к горизонту. Если пренебречь сопротивлением воздуха, средняя мощность, развиваемая силой тяжести за время падения тела на землю, равна …

Решение: мощность – это изменение энергии за единицу времени . Потенциальная энергия в верхней точке траектории равна кинетической энергии в начальный момент .

Время падения равно времени подъема. В верхней точке траектории v_y обращается в ноль, используем формулу скорости:

Ответ:

Пример 4.7. Диск в одном случае скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости высотой h, а в другом случае соскальзывает с нее. Если трением можно пренебречь, то отношение скоростей диска v₁/v₂ у основания наклонной плоскости будет равно:

£ £ R £

Решение: 1) диск скатывается без проскальзывания т.е. движется поступательно и вращается – кинетическая энергия , вспомним , момент инерции диска . Кинетическая энергия внизу равна потенциальной энергии в верхней точке наклонной плоскости:

, .

2)диск соскальзывает, т.е. движется поступательно -

, .

Отношение скоростей, равно: .

Пример 4.8. Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Тогда верным утверждением относительно времени скатывания к основанию горки является следующее:

£ быстрее скатится полый цилиндр

R быстрее скатится сплошной цилиндр

£ оба тела скатятся одновременно

Решение: время скатывания тем меньше, чем больше скорость тела к конце горки. При скатывании происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую

, ,

Из последнего выражения следует, что конечная скорость будет больше для тела с меньшим моментом инерции. Момент инерции полого цилиндра ( больше момента инерции сплошного цилиндра ( ), значит, сплошной цилиндр скатится быстрее.

Пример 4.9. Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости тел одинаковы, то какой цилиндр поднимется выше и чему равно отношение высот h₁/h₂ …

£ 7/10 £ 14/15 R ¾ £1

Решение: при движении вверх происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, см. формулы предыдущего задания: , выше поднимется тело с большей кинетической энергией, т. е. большим моментом инерции - полый цилиндр. Отношение высот равно

.

Кроме энергии состояние движущегося тела характеризует импульс или количество движения тела : .

В соответствии со вторым законом Ньютона сила, действующая на тело равна скорости изменения импульса тела под действием этой силы , отсюда следует = - приращение импульса, иногда произведение ( ) называют импульсом силы.

Закон сохранения импульса – в инерциальной системе отсчета полный импульс замкнутой физической системы остается в процессе движения постоянным .

Пример 4.10. Импульс материальной точки изменяется по закону

. Модуль силы (в Н), действующей на точку в момент времени t = 4 c, равен …

Решение: согласно второму закону Ньютона скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе: . Тогда зависимость силы от времени имеет вид .

Модуль силы .

Пример 4.11. Шар массой m₁=200г, движущийся со скоростью v₁ = 3 м/с, налетает на покоящийся шар m₂=5m₁. Если удар абсолютно неупругий, скорость шаров (в м/с) после удара равна:

R 0,5 £ 0,6 £ 2 £ 1,67

Решение: закон сохранения импульса для этого случая .

.

Тема 5. Распределение Максвелла и Больцмана

В случае анализа свойств макроскопических систем (МС), например, идеального газа, бесполезно интересоваться физическими свойствами отдельных частиц в данный момент времени, но важно знать, какова вероятность присутствия в системе частиц с тем или иным значением физической величины. Законы распределения – это закономерности устанавливающие связь между физическими величинами в МС с вероятностью их присутствия в системе при определенных условиях.

Если система состоит из идентичных, различных частиц, которые могут обладать любым значением спина, то ее физическая статистика определяется распределением Больцмана:

,

- вероятность того, что частицы системы обладают энергией E_i при температуре Т; В – коэффициент, определяемый физической величиной r. Например, идеальный газ подчиняется распределению Больцмана.

Из распределения Больцмана следует распределение Максвелла – распределение молекул идеального газа по скоростям:

,

где m₀ – масса молекулы. Кривая распределения имеет максимум соответствующий наиболее вероятной скорости молекул газа при данной температуре:

.

На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла). Свойства распределения Максвелла:

1) - доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от u до u+Du в расчете на единицу этого интервала;

2) площадь под кривой всегда равна единице;

3) если, не меняя температуры взять другой газ с меньшей молярной массой и таким же числом молекул, то площадь под кривой и величина максимума не изменятся, максимум сместится вправо в сторону больших скоростей;

4) если, не меняя температуры взять другой газ с большей молярной массой и таким же числом молекул, то площадь под кривой и величина максимума не изменятся, максимум сместится влево в сторону меньших скоростей;

5) если, увеличить температуру - максимум сместится вправо в сторону больших скоростей, величина максимума уменьшится;

6) если, уменьшить температуру - максимум сместится влево в сторону меньших скоростей, величина максимума увеличится.

Пример 5.1. На рисунке (см. выше приведенный рисунок) представлен график распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где f(v) – доля молекул, скорости которых заключены в интервал от v до v+dv в расчете на единицу этого интервала. Если, не меняя температуры и числа молекул, взять другой газ с меньшей молярной массой, то