Теоремы о предельном переходе

12.24. Если переменная (последовательность ) имеет конечны предел, то для любого действительного имеет место равенство

(12.1)

в предположении, что степени и имеют смысл. Короче: можно переходить к пределу в основании степени с любым действительным показателем.

12.25. Если переменная имеет конечный предел, то имеет место формула

(12.2)

т.е.можно переходить к пределу под знаком корня (в случае четного предполагается, что и корень берется арифметический.

12.26. Если , а принимает только положительные значения и имеет предел, не равный нулю, то имеет место формула

(12.3)

Короче: можно переходить к пределу под знаком логарифма.

12.27. Если , а переменная имеет конечный предел, то имеет место формула

(12.4)

Короче: при фиксированном основании можно переходить к пределу в показатели степени.

Теперь приступим к решению типовых задач на отыскание предела переменной (предела последовательности ).

Задача 12.1

Найти предел переменной.

(12.5)

Последовательность расходится к , а значит и последовательность расходиться к (п. 12.22). На том же основании последовательность расходится к , а потому последовательность расходится к и на основании п.12.19 последовательность также расходиться к и . Можно было рассуждать и иначе: при величина - бесконечно большая, ее квадрат, как произведение бесконечно больших величин, есть величина бесконечно большая (п. 12.13). На основании п.12.12 произведение есть бесконечно большая величина, как произведение постоянной, не равной нулю, на бесконечно большую величину.

На том же основании величина - бесконечно большая. Так как и - бесконечно большие одного и того же знака, то и сумма их есть величина бесконечно большая того же знака, потому и - бесконечно большая величина, как сумма постоянной величины 1 с бесконечно большой и снова . Что касается знаменателя , при последовательность расходится к , и на основании п.12.19, б получаем, что последовательность расходится к и знаменатель дроби (12.5) – тоже бесконечно большая величина.

Таким образом, дробь (11.5) есть отношение двух бесконечно больших величин, о котором без исследования ничего определенного сказать нельзя. Здесь также нельзя применить теорему о пределе частного, так как в условии этой теоремы предполагается, что пределы числителя и знаменателя существуют, а в нашем случае ни числитель, ни знаменатель дроби предела не имеют (см. п. 12.9). Данную переменную (12.5) преобразуем, чтобы к ней можно было применить теоремы о пределах. Обыкновенно в этом случае поступают так: числитель и знаменатель дроби делят на наивысшую степень , встречающуюся в членах дроби [6].Тогда

(12.6)

Отыскивая теперь предел последней дроби, мы сможем применить теорему о пределе частного, так как теперь числитель и знаменатель дроби имеют пределы: величины и есть величины бесконечно малые, как величины обратные бесконечно большим и , а потому

.

Величина есть тоже бесконечно малая, как произведение постоянной величины 3 на бесконечно малую и (п. 12 4А), и тогда существует предел числителя:

(предел постоянной величины 2 равен ей самой).

Предел знаменателя дроби (12.6) также существует и равен -1, так как

; .

После этих подробных рассуждений укажем, как следует расположить записи:

(здесь применена теорема о пределе дроби. Это можно было сделать только после, того, как мы убедились, что существуют пределы числителя и знаменателя).

.

Такие подробные записи в последующем, когда выработается определенный навык, можно сократить.

Задача 12.2

Найти .

Решение.

(числитель и знаменатель данной дроби разделен на )

.

(применена теорема о пределе дроби).

Задача 12.3

(для самостоятельного решения).Найти:

1) ;

2) ;

Ответ.

1) ;

2) .

Задача 12.4

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ.

Последовательность расходиться к . Можно употребить символическую запись и написать что

.

Указание. В числителе перемножить двучлены, разделить числитель и знаменатель на и воспользоваться п.12.23.

Задача 12.5

(для самостоятельного решения). Найти предел переменной .

Указание. Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда .

Ответ. .

Задача 12.6

(для самостоятельного решения). Найти

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Ответ.

1) ;

2) ;

3) ;

4) 0.

Задача 12.7

Доказать, что если , то 1) , когда ; 2) , когда ; 3) , когда .

Решение.

1) Пусть , а - любое заданное положительное число.

Чтобы доказать, что мы должны показать, что можно найти такое натуральное число , что при .

Так как должно быть большим, чем , то это равносильно тому, что должно быть , и за можно принять ; тем самым доказано, что при . Например, если , а , то должно выполняться неравенство для вех причем следует взять , т.е. принять . Значит, начиная с , неравенство будет выполняться.

Если взять , то должно выполняться неравенство для всех , и следует взять и при , т.е. начиная с неравенство будет выполняться.

Доказательство пунктов 2) и 3) предоставляется читателю. При доказательстве п.2) и 3) выгодно взять , и тогда ; при доказательстве п.3) учесть, что если , то всегда при любом .

Результат проведенных вычислений можно записать и так:

(12.7)

В задачах 12.1-12.6 мы рассматривали пределы отношения двух целых рациональных функций от в частных случаях. После решения предыдущей задачи мы можем рассмотреть вопрос об отношении двух целых рациональных функций в общем виде.

Задача 12.8

Найти предел при

(12.8)

причем .

Решение.

Перепишем (12.8) в виде

;

Тога предел

.

Предел второго сомножителя равен , так как в числителе и знаменателе предел каждого слагаемого, кроме первых ( и ), равен нулю. Что касается первого сомножителя, то его предел зависит от знака разности :

1) Если , т.е. , то на основании (12.7) , и тогда, в соответствии с п.12.22, заключаем, что .

2) Если , т.е. , то из (12.7) следует, что ; тогда искомый предел равен нулю: .

3) Если же , т.е. , то или . Соединяя полученные результаты, приходим к выводу, что

(12.9)

Таким образом, при предел отношения двух целых рациональных функций от равен

1) Отношению коэффициентов при высших степенях , если степени этих функций между собою равны;

2) Нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя и

3) , если степень числителя больше степени знаменателя.

Заключения, полученные при решении задач 12.1-12.6, совпадают с только сто сделанными.

Задача 12.9

Найти

Решение.

Воспользуемся указанием п. 12.24, заметив, что основание степени имеет предел

.

Задача 12.10

(для самостоятельного решения). Найти .

Ответ. .

Задача 12.11

Найти .

Решение.

Применяя теорему о пределе произведения (это мы имеем право сделать, так как каждый сомножитель имеет предел) получаем последовательно:

.

Т.к. , ибо если , то величина ей обратная - бесконечна мала .

Задача 12.12

Найти .

Решение.

Воспользуемся указанием п.12.27 о переходе к пределу в показателе степени .

Задача 12.13

(для самостоятельного решения). Найти:

1) ;

2) ;

3) .

Ответ.

1) ;

2) ;

3) .

Задача 12.14

Найти .

Решение.

На основании формулы (12.3), допускающей переход к пределу под знаком логарифма, имеем:

Задача 12.15

(для самостоятельного решения). Найти:

.

Ответ. .

ЧЕТЫРНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Содержание: Предел функции.