Выражения, переменные и формы 2 страница

В дальнейших разделах пособия оказывается достаточным интуитивного понятия функ-ции, представляемой стандартной записью (1). Проведённые рассуждения лишь демонстриру-ют возможность аккуратного определения понятия функции, основывающегося только на ба-зисных понятиях высказывания, множества и кортежа, без привлечения таких трудно форму-лируемых и нечётких понятиях, как независимая и зависимая переменная величина, измене-ние, закон, правило, и т.д.

Высказывательные формы

Высказывательные формы были определены в предыдущем разделе как формы, которые обозначают высказывания, т.е. являются высказываниями. Например, выражение

A (x> 3)

естественно считать двухместной высказывательной формой с высказывательной переменной A и числовой переменной x. Для случаев (которые нельзя априори исключать), когда на некото-рых наборах значений переменных высказывательная форма неопределенна, доопределим её логическим значением «Ложь» (т.е. значением Fиз двухэлементногомножества {T, F}). Поэто-му далее рассматриваются только всюду определённые высказывательные формы. Введённые в разделе 1-2.1 операции над высказываниями очевидным образом можно рассматривать и как операции над высказывательными формами. Для любых высказывательных форм и и без специальных пояснений ясен смысл форм: Ø , , , → , , Å .

Пусть (x₁, …, x_s) – s-местная (s ≥l) высказыватель­ная форма, где x₁, …, x_s – переменные формы , выписанные в каком-нибудь порядке. Пусть областью определения переменной x_i бу-дет множество М_i(i = 1, …, s). Тогда областью истинности высказывательной формы назы-

вается и как

или

(x1, …, xs)

обозначается множество тех кортежей áa1, a2, ..., asñ, для ко-

торых (a₁, …, a_s) истинно.

Понятие области истинности позволяет связать операции над множествами с операциями над высказывательными формами. Так, очевидно, при s ≥ 1

(x1, …, xs) (x1, …, xs)

=

(x1, …, xs)

(x1, …, xs),

(x1, …, xs) (x1, …, xs)

=

(x1, …, xs)

(x1, …, xs).

Если М_i– обласги значений переменных x_i (i = 1, …, s), то

Ø (x1, …, xs)

=

(x1, …, xs)).

2.1. Высказывательные формы и разрешающие процедуры. Вернёмся к вопросу о раз-решающей процедуре задания множеств, упомянутому в разделе 2-1. Суть дела состоит в опи-сании характеристических свойств его элементов и проверке этих свойств. Такая проверка и оп-ределяет «разрешение» для данного элемента принадлежать рассматриваемому множеству. В примерах 3-8, 3-9, 3-15 и 3-16 именно так задавались бесконечные графики. Теперь можно дать более детальное описание этого способа задания множеств. Именно, во многих случаях описы-ваемое множество естественно совпадают с областью истинности некоторой высказывательной формы. В примере 3-8 рассматривалось множество М точек áx, yñ на плоскости, удовлетворяю-щих условию x²+y² = 1 (т.е. М – это окружность единичного радиуса с центром в начале коор-динат). Определим высказывательную форму (x,y): x² + y² = 1. Понятно, что рассматриваемое множество М совпадает с областью истинности данной высказывательной формы. В пункте 5) примера 1 высказывательная форма (x): x> 3 определяет бесконечное множество чисел, бóль-ших 3.

Вообще, в тех случаях, когда интересующее нас множество М совпадает с областью ис-тинности некоторой высказывательной формы , это множество М именно так и может быть задано. Для этого используется стандартное обозначение

М = {x| (x)}, (3)

которое читается так: М – это множество элементов x, для которых высказывательная форма истинна. В формуле (3) x = áx₁, x₂, ..., x_sñ– это набор переменных данной высказывательной фор-мы. Более сложные вопросы проверки истинности произвольной высказывательной формы, приводящие, в частности, к формальному определению одного важного класса высказыватель-ных форм – предикатов – здесь не рассматриваются.

Кванторы

Рассмогрим две операции, применяемые только к высказывательным формам. Эти опера-ции, гак называемые навешивания кванторов, будучи применёнными к высказывательной форме, приводят либо снова к высказывательной форме, либо к высказыванию.

Начнем с простейшего случая. Пусть (х) – одноместная высказывательная форма; об-ласть значений переменной х обозначим буквой M. Обозначим через

( х M) (х), (4)

или, если М ясно из контекста, через

( х) (х), (5)

следующее высказывание: «для любого значения переменной х высказывание, полученное под-становкой этого значения в форму (х) вместо х, истинно». Знак называется квантором общ-ности, переход от формы (х) к высказываниям (4), (5) – навешиванием на форму (х) кванто-ра общности по переменной х.

Обозначим через

( х M) (х), (6)

или, если М ясно из контекста, через

( х) (х), (7)

следующее высказывание: «существует такое значение переменной х, что высказывание, полу-ченное подстановкой этого значения в форму (х) вместо х, истинно». Знак называется кван-тором существования, переход от формы (х) к высказываниям (6), (7) – навешиванием на форму квантора существования по переменной х.

Пример 12.Рассмотрим следующую высказывательную форму (х): «Девочку в группе зовут Маша» с одной переменной «девочка». Областью значений переменной является множес-тво всех девочек из данной группы. Используя кванторы, получаем высказывания (не высказы-вательные формы!):

«Всех девочек в группе зовут Маша»

«Некоторую девочку в группе зовут Маша»

«Ни одну девочку не зовут Маша», и т.п ■

Рассмотрим общий случай. Пусть (x₁, …, x_s) – s-местная высказывательная форма (s ≥ 2); область значений переменной x_i– множество М_i (i = 1, …, s). В силу введённых выше обозначе-ний для любого i = 1, …, s выражения

( х_i M) (x₁, …, x_s), (8)

( х_i M) (x₁, …, x_s) (9)

являются (s–1)-местными высказывательными формами, зависящими от переменных x₁, …, x_i–1,

x_i+1, …, x_s. Буква x_i в выражениях (8), (9) называется связанной переменной, а все остальные пе-ременные, на которые не навешаны кванторы, называются в таких случаях свободными пере-менными. Сразу скажем, что свободные переменные – это просто переменные в смысле опре-деления из раздела 1. А связанные переменные переменными в этом смысле (т.е. буквами, вмес-то которых можно подставлять элементы из множества значений) вообще не являются. Всё, что можно с ними сделать: заменить букву, написанную сразу после квантора, и все вхождения этой буквы в рассматриваемую форму, на одну и ту же букву, отличную от имён всех осталь-ных переменных. Заметим, что близкий смысл имеет индекс суммирования i в суммах вида , переменная интегрирования t в интегралах , переменная, по которой берётся максимум (или минимум): , и т.д. Общими во всех этих случаях являются два факта: 1) результат (сумма, интеграл, максимум и пр.) не зависит от этой связанной переменной, и 2) эту букву можно везде заменить на любую другую, не совпадающую с другими в данном выра-жении. Таким образом, можно сказать, что навешивание квантора по переменной х связывает эту переменную.

По определению квантора общности, высказывание

( х_i M) (a₁, …, a_i–1, x_i, a_i+1, …, a_s), (10)

истинно тогда и только тогда, когда для любого значения a_i M_i переменной x_i высказывание

(a₁, …, a_i–1, a_i, a_i+1, …, a_s) (11)

истинно.

По определению квантора существования высказывание

( х_i M) (a₁, …, a_i–1, x_i, a_i+1, …, a_s), (12)

истинно тогда и только тогда, когда существует такое значение a_i M_i переменной x_i, что вы-сказывание

(a₁, …, a_i–1, a_i, a_i+1, …, a_s) (13)

истинно.

С помощью кванторов можно ввести некоторые понятия, относящиеся к произвольным соответствиям (см. раздел 3-5). Пусть Г = áG, X, Yñ– соответствие, А – множество. Образом А относительно Г называется и через Г(А) обозначается множество всех тех элементов из Y, каждый из которых соответствует в соответствии Г какому-нибудь элементу множества А. Таким образом,

Г(А) = {yÎY| ( xÎА) áx, yñÎG}. (14a)

В формуле (14a) выражение после знака |имеет такой же смысл, как в формуле (3). Оно являет-ся одноместной высказывательной формой, зависящей от переменной y с областью значений Y. В множество Г(А) входят все те элементы Y, для которых высказывательная форма ( xÎА)áx, yñÎG истинна.

Если Г = áG, X, Yñ– соответствие, А – множество, то полным прообразом А относитель-но Г называется и через Г^–1(А) обозначается множество всех тех элементов из X, каждому из ко-торых соответствует в соответствии Г элемент множества А. Таким образом,

Г^–1(А) = {xÎX| ( yÎА) áx, yñÎG}. (14b)

3.1. Отрицание высказываний с кванторами. Как и для любых высказываний, отрица-ние высказывательных форм, содержащих кванторы, является высказывательной формой или высказыванием с противоположным значением истинности. Если в высказывательной форме имеется ровно одна переменная, то после навешивания на неё кванторов (общности или сущес-твования) эта форма становится высказыванием – именно, высказыванием, содержащим кван-тор. Именно такие высказывания рассматриваются в данном разделе.

Пример 13. Вернёмся к 1-ому из высказываний из примера 12: «Всех девочек в группе зовут Маша». Отрицанием этого высказывания является высказывание «Некоторых девочек в группе не зовут Маша». Как обычно, то же самое утверждение может быть выражено различны-ми способами:

«Не всех девочек в группе зовут Маша»

«Неверно, что всех девочек в группе зовут Маша»

«По крайней мере одну девочку в группе не зовут Маша», и т.д ■

Пример 14. Рассмотрим высказывание «У некоторых кошек есть блохи». Поскольку «не-которые» в данном контексте значит «по меньшей мере, одна», высказывание «У некоторых ко-шек есть блохи» по смыслу совпадает с высказыванием «По меньшей мере, у одной кошки есть блохи». Отрицанием этого высказывания является «Ни у одной кошки нет блох», которое мо-жет быть записано также в виде «У всех кошек нет блох» ■

Обобщая рассуждения из примеров 13 и 14, можно прийти к следующей таблице, содер-жащей схемы для построения отрицаний высказываний с кванторами.

Таблица 1. Отрицания высказываний с кванторами

Высказывание	Отрицание
Все делают (имеют и пр.)	Некоторые не делают (Эквивалентно: не все делают)
Некоторые дела-ют (имеют и пр.)	Никто не делает (Эквивалентно: все не делают)

Отрицанием отрицания является само исходное высказывание. Как и все остальные высказыва-ния, они могут быть записаны в разном виде (см. таблицу 1).

Пример 15. Рассмотрим следующие изображения, разделённые на группы A, B, и C.

Отметим одной (или несколькими) буквами группу или группы картинок, удовлетворяющих условию «По меньшей мере хотя бы одна картинка из группы не имеет рамки». Группы A и B

удовлетворяют этому условию, а группа C – нет ■

Задания

Задание 1. См. пример 3 для образца. Для данной одноместной формы и данной области значений переменной х:

а) найти допустимые значения;

б) установить, является ли форма всюду определённой;

в) установить, является ли форма нигде не определённой;

г) установить, является ли форма числовой.

1. Форма 1∕x, область значений {3, 5, 0}

2. Форма 1∕x, область значений {3, 5}

3. Форма 1∕x, область значений {0}

4. Форма 1∕x, область значений { , +}

5. Форма , область значений {–5,–4,–3, –2,–1, 0, 1, 2, 3, 4}

6. Форма , область значений {–5,4}

7. Форма , область значений {3,–4}

8. Форма , область значений {–8, 7, 100}

9. Форма , область значений {3,–4, !}

10. Форма , область значений {3, 1+i}■

Задание 2.Для данных высказывательных форм найти области истинности.

1. (x,y): x² + y² ≥ 2xy

2. (x,y): x + y ≥ 2xy

3. (x,n): xⁿ> 1 + n(x – 1)

4. (x, y) → (x, y)

5. (x,n): x<n

6. (x,n) (x,n) ■

Задание 3.Нарисовать на координатной плоскости область истинности высказывательной формы (x, y) с числовыми переменными x, y, если

1. (x, y): y = x².

2. (x, y): 2x + 3y – 1 > 0.

3. (x, y): sin(x + y) = 0.

4. (x, y): y = x² + 1∕x.

5. (x, y): y<x² + 1∕x.

6. (x, y): y = .

7. (x, y): y = ■

Задание 4. Проверить следующие равносильности

1. ( х)[ (х) (x)] º ( х) (х) ( х) (x)

2. ( х)[ (х) (x)] º ( х) (х) ( х) (x)

3. ( х)[ (х) (x)] º ( х) (х) ( х) (x)

4. ( х)[ (х) (x)] º ( х) (х) ( х) (x)

5. ( х)[ (х)→ (x)] º ( х) (х)→( х) (x)

6. ( х)[ (х) (x)] º ( х) (х) ( х) (x)