Глава 3. элементы аналитической геометрии 5 страница

Окружность с центром в начале координат в полярных координатах имеет уравнение или .

Если задано уравнение линии в полярных координатах , то чтобы построить данную линию в полярной сис- теме координат, заполняют таблицу значений этой функции в точках, вычисленных для значений аргумента , причём, чем больше , тем точнее будет построение линии.

Пример 1. Построить линию: .

Заполнить таблицу значений данной функции:

Построим данную линию

При построении линии в полярных координатах можно по -ступать и иначе, а именно, используя свойства соответствую- щих функций.

Пример 2. Пусть дано уравнеие . Так как , то максимальное значение данная функция принимает при - ; мини –мальное значение будет в точке - .

Так как чётная функция, то также чётная функция и поэтому соответствующая линия симме- трична отностьельно полярной оси. Таким образом, получаем линию:

Эту линию называют кардиоидой, имея ввиду её форму.

Пример 3. Построить линию .

Достаточно построить данную линию на промежутке , так как период данной функции равен . Учитывая, что в промежутке , следовательно . После этого, учитывая периодичность функции, можно построить ещё две части этой линии, которые получаются при .

В заключение параграфа напишем уравнение эллипса, ги - перболы и параболы в полярных координатах.

Пусть - дуга эллипса, гиперболы или параболы:

Совместим фокус с полюсом, а ось симметрии - с по- лярной осью. Точка выбрана так, что . По свойству директрисы: . Пусть , или . Для точки имеем . Тогда, . Обозначив , получим . Сле- довательно, , отсюда: , или . Окончательно получаем уравнение:

. (3)

При - это уравнение эллипса; при - это уравнение одной ветки гиперболы; при - это урав – нение параболы.

Пример 4. Построить линию и записать её уравнение в декартовой системе координат.

Можно произвести построение данной линии непосред- ственно в полярной системе координат, как в примере 1. Но в данном случае, учитывая формулу (3), это уравне -ние эллипса с . Поэтому более удобно сначала перейти к декартовым координатам и только после этого построить линию (менее трудоёмкий вариант решения). Преобразуем уравнение линии: . Исполь –зуя формулы (1) и (2), получаем:

(4) обе части полученного равенства возведём в квадрат:

Получено каноническое кравнение эллипса:

Его центр симметрии , полуоси

Построим данную линию:

4 5

Уравнение вида такжа определяет линию 2 – го порядка, но в этом случае сдвиг точки происходит вле- во, а уравнение приводит к смещению линии по оси .

§ 8 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

I. Уравнение поверхности.

Урав­нение F(x, y) = 0 определяет на плоскости некото­рую линию, т. е. множество всех точек плоскости Оху, координаты которых х и у удовлетворяют этому уравнению. Подобно этому уравнение

F(x,y,z) = 0, (1) определяет в пространстве Охуz некоторую поверх­ность, т. е. множество всех точек, координаты которых х, у, z удовлетворяют уравнению F(x, у, z) = 0. Уравнение (1) называется уравнением этой поверхности, а х, у, z — ее текущими координатами. Часто, однако, поверхность задается не уравнением, а как мно- ­жество всех точек, обладающих тем или иным свойством. В этом случае требуется найти уравнение поверхности, исходя из ее гео­метрических свойств.

Пример. Найти уравнение сферы радиуса R с центром в точке

Решение. Согласно определению сферы, расстояние любой ее точки М (х,у, z) от центра равно радиусу R, т. е. M=R. Но

Следовательно, или

(2)

Мы получили искомое уравнение сферы, так как ему удовлетворяют коорди­наты любой ее точки и, очевидно, не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

В частности, если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение сферы примет следующий вид:

.

Раскрыв скобки и перенеся все члены в левую часть уравнения (2), получим

Это уравнение второй степени относительно текущих координат х, у и z. В нем отсутствуют члены с произведениями координат, а коэффициенты при х² , у² и z² равны между собой. Любое уравне­ние второй степени относительно х, у и z , в котором коэффициенты при х², y² и z² равны между собой, а член с произведением коор­динат отсутствует, есть, вообще говоря, уравнение сферы. Точнее, такое уравнение с помощью выделения полных квадратов всегда может быть приведено к виду:

. (3)

Если при этом >0, то уравнение (3) является уравнением сферы с центром в точке и радиусом R = . При k = 0 урав­нению удовлетворяют координаты лишь одной точки . Если же <0, то уравнение не определяет никакой поверхности.

Пример.Доказать, что уравнение

является уравнением сферы, и найти центр и радиус этой сферы.

Решение. Преобразуя левую часть данного уравнения, полу- чим

или .

Мы получили уравнение сферы с центром в точке О(1; - 2; - 3) и радиусом R = 4.