Глава 3. элементы аналитической геометрии

Предметом аналитической геометрии является изучение гео- метрических фигур и их свойств при помощи действий с чис -лами и наборами чисел, однозначно определяющих геометри -ческие фигуры.

§ 1. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. Рассмотрим равенство , где - переменные величины, принимающие различные действительные значения, - некоторое выражение (композиция известных функций) со- держащее . Если равенство выполняется для всех значений , то оно называется тождеством. Если же равенство выплоняется не для всех пара чисел , то оно называется уравнением линии на плоскости. Простейшим уравнением линии на плоскости яв- ляется уравнение прямой.

Из школьного курса известно уравнение прямой с угловым коэффициентом: , где , . (1)

Если мы знаем угол наклона прямой к оси , т.е. если задан угловой коэффициент этой прямой и задана фиксированная точка на прямой , то, чтобы напи- сать уравнение прямой, удобно воспользоваться формулой:

(2)

Уравнение (1) получится из уравнения (2), если раскрыть скобки и привести подобные.

Например: Написать уравнение прямой, проходящей через точку под углом к оси .

Угловой коэффициент тогда, по фор- муле (2), прямая имеет уравнение:: , или

Рассмотрим произвольную прямую на плоскости. Пусть - фиксированная, а текущая точки дан -ной прямой.

Если заданы векторы , перпендикулярный прямой (нормаль или нормальный вектор), или , парал -лельный данной прямой (направляющий вектор), то, исполь- зуя условия ортогональности и коллинеарности, можем напи -сать уравнения прямой следующим образом:

; следовательно, , или

(3)

; следовательно координаты этих векторов пропор- циональны и получаем:

. (4)

В частности, если на прямой заданы две точки и , то вектор являет- ся направляющим вектором прямой и её уравнение принимает вид:

(5)

Уравнение прямой по двум заданным точкам.

Пример 1 Написать уравнение прямой, проходящей через точку а) перпендикулярно вектору ; б) парал – лельно вектору , если ; с) написать уравнение прямой, проходящей через точки и .

. Тогда в случае а) и, по формуле (3), уравнение имеет вид: или ; в случае б) получим уравнение: , по формуле (4), или ; в случае с), по формуле (5), получаем уравнение: , или , . Таким образом получаем:

Если в равенстве (3) откроем скобки, то получим общее уравнение прямой на плоскости:

(6)

является нормальным вектором данной прямой.

Если известны длины отрезков, которые прямая отсекает на осях координат,

то уравнение этой прямой можно записать следующим об -разом:

(7)

§ 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА

ПЛОСКОСТИ

Пусть заданы уравнения двух прямых на плоскости:

Тогда

.

Следовательно, угол между прямыми (учитывая смысл угловых коэффициентов прямых) определяется по формуле:

(1)

Если прямые параллельны, т.е. , то и ; если прямые перпендикулярны, , то не существу- ет, то , или (это условие перпендику-

лярности прямых).

Пример 1. Даны две противоположные вершины квадрата:

. Найти уравнения сторон квадрата.

Зная координаты точек и можем найти координаты точки , как координаты середины отрезка, ( т.е. полусумма координат концов отрезка): . Кроме того можем напи- сать уравнение прямой , как уравнение прямой проходя- щей через две заданные точки (формула (5) § 1):

Тогда Угол между прямыми и равен . Следовательно, по формуле (1),

.

Отсюда, Зная координаты точки и угловой коэффициент (по формуле (2) § 1

), можем написать уравнение прямой:

Прямые и параллельны; тогда . Прямая (при использовании координат точки имеет уравнение:

; учитывая условие перпендикулярности прямых,

. Используя то же уравнение, получим:

И наконец и тогда:

Пример 2. Пусть даны координаты одной вершины треу -гольника и уравнения высоты и медианы , проведённых из разных вершин. Найти уравнения сторон треугольника.

, . Тогда и сторона имеет уравнение:

Пусть . Точка - середина отрезка . Тогда . Точка и её координаты удовлетворяют уравнению: , т.е. Точка и её координаты удовлетворяют уравнению данной прямой: Получаем систему:

Решение этой системы: , т.е.

Решая систему, получаем Уравнения прямых и можем написать, использовав уравнение прямой, проходя- щей через две заданные точки:

В случае, если прямые на плоскости заданы общими уравнениями, т.е.

то угол между ними равен углу между их нормальными векто- рами , т.е.

Если Это условие парал- лельности прямых.

Если Это ус -ловие перпендикулярности прямых.

§ 3. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Можно усмотреть аналогию между понятиями прямой на плоскости и плоскостью в пространстве. Основой этой анало- гии является известный факт, что через заданную точку плос- кости можно провести единственную прямую, перпендикулярно заданному вектору, а через заданную точку пространства мож- но провести единственную плоскость, перпендикулярную задан- ному вектору. Следует заметить также, что размерность пря – мой равна 1, размерность плоскости - 2, размерность прост -ранства - 3, т.е. прямая в плоскости и плоскость в пространс- тве имеют одинаковую коразмерность. Линейное пространство размерности на единицу меньшей, чем размерность пространс- тва, частью которого оно является, называется гиперплоскос -тью. В соответствии с этим определением, прямая - это ги -перплоскость на плоскости, а плоскость - это гиперплоскость в пространстве.

Пусть плоскость проходит через точку фиксированную точку пространства перпендикулярно вектору Пусть - произвольная (текущая) точка данной плоскости.

Тогда уравнение плоскости получаем, используя условие ортогональности (перпендикулярности) вектора и вектора , т.е. Таким образом,

(1)

Если в данном равенстве раскроем скобки, то получим общееуравнение плоскости:

(2)

где

Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , где .

В данном случае Фиксированная точка - это точка и уравнение плоскости принимает вид:

или

Таким образом, чтобы написать уравнение плоскости необ – ходимо знать какую– нибудь точку на плоскости и вектор, пер- пендикулярный плоскости.

Часто встречается следующая задача: написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть заданы три фиксированные точки плоскости: , а - текущая точка плоскости. Тогда векторы и компланарны.

Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю:

, или

(3)

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле (аналогичной формуле расстояния от точки до прямой на плоскости):

(4)

Пример 2. Дана треугольная пирамида с вершинами

.

Написать уравнение плоскости и найти высоту, опущен- ную на эту плоскость из точки

По формуле (3) уравнение плоскости имеет вид:

тогда

Получаем: т.е. плоскость имеет уравнение: Высоту пира -миды, опущенную из точки можно найти как расстояние от этой точки до плоскости , по формуле (4).

Используя условие компланарности векторов, можно анало -гичным образом написать уравнение плоскости, проходящей че- рез фиксированную точку пространства парал -лельно двум заданным векторам:

, .

В этом случае: векторы компланарны и их смешанное произведение равно нулю: т.е.

(5)

Пример 3. Написать уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно плоскостям:

.

, тогда, по формуле (5), уравнение плос -кости имеет вид: Получаем: , или, окончательно, получаем уравнение плоскости

Пусть даны две плоскости

Угол между плоскостями равен углу между их нормаль –

ными векторами :

(6)

Условие параллельности плоскостей:

(7)

Условие перпендикулярности плоскостей:

. (8)

Если , то уравнения задают одну и ту же плоскомть.

Пример 4. Найти угол между плоскостями и

. Тогда, по формуле (6),

§ 4. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Любую прямую в пространстве можно задать пересечением двух не параллельных плоскостей, т.е. система двух уравне -ний плоскостей представляет собой общиеуравнения прямой, которая получается при их пересечении:

(1)

Здесь и - не

коллинеарные нормальнве векторы данных плоскостей, т.е. их координаты не пропорциональны.

Иначе уравнение прямой можно задать следующим образом:

- фиксированная точка данной прямой, - текущая точка прямой, - направляя- ющий вектор прямой. Тогда уравнение прямой получается из условия коллинеарности (т.е. пропорциональности) векторов и , т.е. по формуле:

(2)

Уравнения (2) называются каноническими уравнениями прямой.

В частности, если на прямой заданы две точки и , то в качестве направляющего вектора можем взять вектор и уравнение прямой в этом случае принимает вид:

(3)

Например: Написать уравнение прямой, проходящей через точки .

По формуле (3), получаем:

.

Если в равенстве (2) введём параметр

,

то получим параметрическое уравнение данной прямой:

(4)

Переход от общих уравнений к каноническим выполняется следующим образом: из рисунка

видим, что направляющий вектор прямой (как вектор, лежащий в соответствующих плоскостях) можно найти через векторное произведение векторов, т.е., если прямая задана общими уравнениями:

(5) и , , то

.

Но для того, чтобы написать каноническое уравнение пря -мой, необходимо знать какую – нибудь точку на данной пря -мой. Чтобы найти какую – нибудь точку, в системе (5) зафиксируем одну координату, например, положим , а остальные две найдём как решение системы.

Рассмотрим пример:

Написать канонические уравнения прямой:

В данном случае, . Тогда

Теперь найдём какую – нибудь точку на этой прямой. В данном примере удобно положить . Получаем систему:

Сложим эти уравнения: тогда и точка лежит на прямой, следовательно, её кано- нические уравнения можно записать в виде:

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами, т.е. для прямых с направ– ляющими векторами :

Если прямые параллельны, то и получаем условие параллельности прямых: .

Если прямые перпендикулярны, то и из условия ортогональности векторов получаем условие перпендикуляр -ности прямых:

Пример. Доказать перпендикулярность прямых:

и

Направляющий вектор первой прямой: ; на –правляющий вектор второй прямой: , где

. Тогда

т.е. . Проверим условие перпендикулярности плос- костей: . Направляющие векторы ортогональны, следовательно, прямые перпендикулярны.

§ 5. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И

ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Прямая и плоскость в пространстве могут быть либо парал- лельными, либо пересекаться.

Пусть заданы уравнения плоскости и прямой . Нормальный вектор плоскости , направляющий вектор прямой: . Если прямая параллельна плоскости, то её на- правляющий вектор ортогонален нормальному вектору плос - кости:

т.е. и, из условия ортогональности векторов:

. (1)

Если прямая перпендикулярна плоскости, то нормальный вектор плоскости коллинеарен направляющему вектору прямой:

Тогда условие перпендикулярности прямой и плоскости: , или . (2)

Угол между прямой и плоскостью можно определить следу- ющим образом:

Из чертежа видно, что .

Но . Тогда

(3) - угол между прямой и плоскостью в пространстве.

Рассмотрим примеры:

1. Найти угол между плоскостью, проходящей через точки:

и прямой

.

Нормальный вектор плоскости ищется, как векторное произведение векторов:

Направляющий вектор прямой . Тогда, по формуле (3),

Тогда .

2. При каком значении прямая

параллельна плоскости ?

Направляющий вектор прямой , нормальный вектор плоскости . Тогда, по условию (1), пря- мая параллельна плоскости, если

Тогда

Следующая задача, связанная с взаимным расположением прямой и плоскости в пространстве - это задача: найти точку пересечения прямой и плоскости

Чтобы решить эту задачу, следует записать уравнение пря- тмой в параметрической форме, т.е.

и, подставив значения переменных в уравнение плоскости , найти значение параметра в точке пересечения. После этого можно найти значения координат точки пересечения.

Пример 3. Найти точку пересечения плоскости

и прямой .

Запишем параметрические уравнения прямой:

(4)

и подставим данные значения в уравнения плоскости. Получим

Тогда точка пересечения имеет координаты:

т.е.

Расстояние от точки до прямой. Чтобы найти расстояние от точки до прямой , следует написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данной прямой; найти точку пересечения полученной плоскости и данной прямой; и после этого найти расстояние от этой точки пересечения до точки .

Пример 4. Найти расстояние от точки до прямой .

Нормальный вектор плоскости, перпендикулярной прямой , совпадает с направляющим вектором прямой, т.е.

,

Тогда уравнение плоскости имеет вид:

или .

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости напишем пераметрическое уравнение прямой

.

Подставив значения неизвестных в уравнение плоскости , найдём значение параметра в точке пересечения:

Тогда точка имеет координаты:

т.е. .

Расстояние от точки до прямой найдём как длину отрезка .

Для определения расстояния от точки до прямой можно выбрать и другой способ. Рассмотрим рисунок:

Площадь этого параллелограмма равна , или . Приравняв эти выражения, получим формулу для расстояния от точки до прямой:

. (5)

Решим пример (4) этим способом:

Тогда, по формуле (5),

Вторым способом получили тот же результат.

Следующие две задачи: написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, рассмотрим на примерах.

Пример 5. Проверить параллельность прямых и написать уравнение плоскости, проходящей через эти прямые:

Направляющий вектор первой прямой: ; на- правляющий вектор второй прямой - . Эти векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональ- ны, следовательно . Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.

<