Основные свойства средней арифметической величины

Значение средних величин в статистике. Виды средних величин. Способы расчета средних величин. Основные свойства средней арифметической величины.

Средней величиной называется статистический показатель, который дает обобщенную характеристику варьирующего признака однородных единиц совокупности. Величина средней дает обобщающую количественную характеристику всей совокупности и характеризует ее в отношении данного признака. Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются случайные отклонения значений признака и учитываются изменения вызванные основным фактором.

Виды средних величин

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние

Степеные средние:1) Арифметическая 2) Гармоническая 3) Геометрическая 4) Квадратическая

Структурные средние: 1) мода 2) медиана

Выбор формы средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.

Исходной базой расчета и ориентиром правильности выбора формы средней величины являются экономические соотношения, выражающие смысл средних величин и взаимосвязь между показателями.

Арифметическая бывает:

1) Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

2) Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

3) Средняя арифметическая для интервального ряда.При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем — среднюю всего ряда

Гармоническая:

Средняя гармоническая — используется в тех случаях когда известны индивидуальные значения признака и произведение , а частоты неизвестны

гармоническая простая — показатель, обратный средней арифметической простой, исчисляемый из обратных значений признака.

Геометрическая:

геометрическая величина дает возможность сохранять в неизменном виде не сумму, а произведение индивидуальных значений данной величины

геометрическая взвешенная по формуле:

Квадратическая: простая и взвешенная

квадратические величины используются для расчета некоторых показателей, например коэффициент вариации, характеризующего ритмичность выпуска продукции.

Мода и медиана.Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, которые представлены ,в основном, модой и медианой.

Способы расчета средних величин.Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

,

где X_i – варианта (значение) осредняемого признака;
m – показатель степени средней;
n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид

,

где X_i – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;
m – показатель степени средней;
f_i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Основные свойства средней арифметической величины.

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т. е. .

2. Сумма отклонений вариантов как от простой, так и от взвешенной средней арифметической равна нулю: и

3. Сумма квадратов отклонений вариантов как от простой, так и от взвешенной средней меньше суммы квадратов отклонений от любой другой произвольной величины а, т. е.

.

4.Если все частоты разделить (или умножить) на произвольное число (а), то средняя от этого не изменится, так как

5.Если веса всех вариантов равны между собой, то взвешенная средняя равна простой средней, так как при этих условиях

6. Средняя алгебраической суммы равна алгебраической сумме средних. Так, если у, х и z — положительные варьирующие величины и у_i =x_i +z_i , то

7. .

Следовательно, . Это свойство средней показывает, в каких случаях можно непосредственно суммировать средние.