Основные свойства двойного интеграла
1.
2.
3.
4. Если f(x;y)≥0, . Если f(x;y)≥ φ(x;y),
5. т. к.
6. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой D, площадь кот. S, то , где m и M — соотв. наиб. и наим. значения подынтегральной ф-ции в D.
7. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой D, площадь кот. S, то в этой обл-ти Ǝ такая т. (x0;y0), что . Величина f(x0;y0) = … — среднее значение ф-ции f(x;y) в обл-ти D.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Пусть требуется вычислить , где f(x;y)≥0, непрер. в D. Двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху z = f(x;y). Т. к. , S(x) — площадь сечения пл-тью, ﬩ оси Ox, a и b — ур-я пл-тей, огранич. данное тело. D — криволинейная трапеция, правильная относит. Oy, . Согласно методу параллельных сечений . Также объем цил. тела — двойной интеграл от f(x;y)≥0.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
x = rcosφ, y = rsinφ, dxdy = rdrdφ.
Внутренний интеграл берется при постоянном φ.