Основные элементарные функции, их свойства и графики

Рассмотрим основные элементарные функции. Для каждой функции запишем ее свойства и начертим график.

Степенные функции , где . Рассмотрим несколько частных случаев степенной функции.

Функции ( ). Функции определены на всей числовой прямой, . Они принимают только неотрицательные значения, . Функции являются четными, их графики симметричны относительно оси ординат. Эти функции ограничены снизу. В точке они имеют минимум и принимают наименьшее значение, равное 0, сверху функции не ограничены (рис. 5).

Функции ( ). Функции определены на всей числовой прямой, . Множества их изменения – также вся числовая ось , то есть эти функции не ограничены ни сверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат (рис. 6).

Функции ( ). Функции определены для всех значений х, отличных от 0, то есть . Они принимают только положительные значения . Эти функции ограничены снизу, но они не принимают свое наименьшее значение. Функции являются четными, их графики симметричны относительно оси ординат. При функции убывают, при функции возрастают. Графики функций не пересекают оси координат (рис. 7).

Функции ( ). Функции определены для всех значений х, отличных от 0, то есть . Множества их изменения также все значения у, отличные от 0, то есть . Эти функции не ограничены ни сверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат. Функции убывают при и при . Точка – точка разрыва функции. Графики функций не пересекают оси координат (рис. 8).

Функции ( ). Функции определены для всех неотрицательных значений х, то есть . Множества их изменения также все неотрицательные значения у, то есть . Эти функции ограничены снизу и не ограничены сверху. Наименьшее значение у = 0 функции принимают при х = 0. Функции возрастают на всей области своего определения. Графики функций расположены в первой четверти (рис. 9).

Функции и взаимнообратны при , а значит, их графики симметричны относительно биссектрисы первой четверти.

Функции ( ). Функции определены для всех значений х, то есть . Множества их изменения – также все значения у, то есть . Эти функции не ограничены ни сверху, ни снизу. Функции возрастают на всей области своего определения. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат (рис. 10).

Функции и взаимнообратны. Их графики симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четвертей.

Функции ( ). Функции определены для всех положительных значений х, то есть . Множества их изменения – также все положительные значения у, то есть . Эти функции ограничены снизу и не ограничены сверху, но они ни в одной точке не принимают свое наименьшее значение. Функции убывают на всей области своего определения. Графики функций расположены в первой четверти (рис. 11).

Функции и взаимнообратны при , и их графики симметричны относительно биссектрисы первой четверти.

Функции ( ).Функции определены для всех значений х, отличных от 0, то есть . Множества их изменения – также все значения у, отличные от 0, то есть . Эти функции не ограничены ни сверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат. Функции убывают при и при . Точка – точка разрыва функции. Графики функций не пересекают оси координат (рис. 12).

Функции и взаимнообратны. Их графики симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четвертей.