Контрольный тест по теории вероятностей

1. Бросается 5 монет. Вероятность того, что выпадет 3 герба, равна

а) 5/16, в)17/32, с)11/16, д)15/32.

2. В круг радиуса 10 помещен меньший круг радиуса 5. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый а)0,5, в)0,75, с)0,25, д)0,05.

3. Случайная величина Х – время ожидания автобуса – имеет равномерное распределение на отрезке [0;20]. Математическое ожидание, дисперсия и вероятность равны

а) 10; 100/3; 1/10; в) 15; 200/3; 1/5; с)10; 200/3; 1/5; д)15; 200/3; 1/10.

4. Монету бросают 2 раза. Если выпадет 0 гербов, то игрок платит 10 руб., если выпадет 1 герб, 1 решка, то игрок получает 1 рубль. Если выпадет 2 герба, то игрок получает 5 рублей. Математическое ожидание выигрыша равно а)-1, в)-0,75, с)2, д)0,75.

5. Вероятность невозможного события равна

а) может быть любым числом; в) 0,5; с) 0; д) 1.

6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение N (3;3). Вероятность равна

а) 0,9973; в) 0,9544; с) 1; д) 0,6826.

7. Случайная величина Х имеет нормальное распределение N (2;2). Вероятность равна

а)1; в)0,6826; с)0,9973; д)0,9544.

8. Прибор состоит из 2-х элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента – 0,05; второго – 0,08. Вероятность того, что при включении оба элемента будут работать, равна

а) 0,871; в) 0,826; с) 0,928; д) 0,874.

9. Прибор состоит из 2-х элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении прибора – 0,03; второго – 0,06. Вероятность того, что при включении прибора откажет только второй элемент, равна

а) 0,0671; в) 0.06; с) 0,0582; д) 0,0938.

10. При изготовлении детали заготовка должна пройти 4 операции. Полагая появление брака на отдельных операциях событиями независимым, найти вероятность изготовления нестандартной детали, если вероятность брака на первой стадии операции равна 0,02; на второй – 0,01; на третей – 0,02; на четвертой – 0,03

а) 0,92; в)0,08; с)0,0778; д) 0,9222.

11. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,1, для второго 0,2 и для третьего 0,15. Вероятность того, что в течение часа хотя бы один из станков потребует внимания рабочего, равна

а) 0,635; в)0,612; с) 0,365; д) 0,388.

12. Монету бросают 1600 раз. Вероятность того, что число выпадений герба будет между 740 и 860, равна

а) 1; в) 0,9544; с)0,6826; д) 0,9973.

13. В урне 50 билетов. Из них 10 выигрышных. Вероятность того, что первый вынутый билет будет выигрышным, равна

а)0,3; в)0,1; с)0,4; д)0,2.

14. Х и Y – независимы. D(X) = 5, D(Y) = 2. Используя свойства дисперсии найдите

а) 38; в)16; с)26; д)30.

15. Случайная величина Х задана рядом распределения

хi	-1
pi	0,1	0,2	0,5	0,2

Математическое ожидание и дисперсия равны

а)0,35; в)0,35;1; с)1;1,4; д)1;2,4.

Вопросы к экзаменам

1. Виды неопределенностей. Раскрытие неопределенностей.

2. Первый и второй замечательные пределы.

3. Производные и дифференциалы высших порядков. Экономический смысл производной.

4. Дифференцирование сложной функции, заданной неявно, логарифмическое дифференцирование.

5. Касательная и нормаль к плоской кривой.

6. Основные свойства дифференцируемых функций. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.

7. Правило Лопиталя.

8. Признаки возрастания и убывания функции. Необходимое и достаточное условия существования экстремума.

9. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

10. Асимптоты графика функции.

11. Дифференциал, его свойства и приложения.

12. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции.

13. Частное и полное приращение функции нескольких переменных. Частные производные.

14. Полный дифференциал функции нескольких переменных, его использование в приближенных вычислениях.

15. Частные производные высших порядков.

16. Производная по направлению. Градиент.

17. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия.

18. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов.

19. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.

20. Основные методы интегрирования: метод разложения, замены переменной и интегрирования по частям.

21. Интегрирование рациональных дробей.

22. Интегрирование иррациональных выражений.

23. Интегрирование тригонометрических функций.

24. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

25. Определенный интеграл как функция верхнего предела.

26. Формула Ньютона-Лейбница.

27. Метод подстановки и интегрирование по частям в определенном интеграле.

28. Несобственные интегралы.

29. Вычисление площадей плоских фигур.

30. Вычисление объемов тел вращения.

31. Вычисление длины дуги плоской кривой.

32. Вычисление поверхности тела вращения.

33. Числовые ряды. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости.

34. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признак сравнения, Даламбера, радиакальный и интегральный признак Коши.

35. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

36. Абсолютная и условная сходимость ряда.

37. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость.

38. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости.

39. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функции в степенной ряд.

40. Вычисление значений функций с помощью степенного ряда.

41. Вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов.

42. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

43. Основные понятия теории вероятностей. Классификация событий.

44. Алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей.

45. Классическое и статистическое определение вероятности.

46. Формулы комбинаторики.

47. Теорема сложения совместных и несовместных событий. Следствия.

48. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

49. Теорема умножения вероятностей. Следствия.

50. Формула полной вероятности.

51. Формула проверки гипотез Байеса.

52. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли.

53. Формула Пуассона.

54. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

55. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Следствия.

56. Понятие случайной величины. Классификация случайных величин.

57. Дискретные случайные величины. Закон распределения.

58. Операции над случайными величинами.

59. Характеристики дискретной случайной величины и их свойства.

60. Непрерывная случайная величина. Функция распределения. Плотность вероятности.

61. Характеристики непрерывной случайной величины.

62. Биноминальное распределение и распределение Пуассона.

63. Нормальный закон распределения. Правило 3-х сигм.

64. Совместное распределение двух случайных величин. Одномерное и двумерное распределения.

65. Условное распределение. Ковариация и коэффициент корреляции.

66. Принцип практической уверенности. Уровень значимости.

67. Лемма Чебышева и неравенство Чебышева.

68. Теорема Чебышева, ее следствие.

69. Центральная предельная теорема Ляпунова.

70. Цепи Маркова. Матрица переходных вероятностей и вектор вероятностей состояний.

71. Однородная цепь Маркова.

72. Стационарное распределение в цепи Маркова.

73. Элементы теории случайных процессов.

74. Простейший поток событий. Формула Пуассона.

75. Основные задачи математической статистики. Выборочный метод. Вариационный ряд.

76. Графическое изображение вариационного ряда. Полигон и гистограмма.

77. Эмпирическая функция распределения.

78. Характеристики вариационного ряда и их свойства.

79. Требования, предъявляемые к статистической оценке.

80. Методы нахождения точечных оценок.

81. Понятие доверительной вероятности и доверительного интервала.

82. Доверительный интервал для неизвестной вероятности.

83. Доверительный интервал для генеральной средней при известной и неизвестной дисперсии.

84. Доверительный интервал для генеральной дисперсии.

85. Односторонние доверительные интервалы.

86. Законы распределения и критерии согласия.

87. Критерий согласия теоретического и статистического распределений.

88. Статистическая проверка гипотез о равенстве двух средних, о равенстве долей признака, о числовом значении дисперсии.

89. Основы дисперсионного анализа.

90. Корреляционные таблицы и корреляционные зависимости.

91. Основные задачи корреляционно-регрессионного анализа.

92. Линейная парная регрессия.

93. Коэффициент корреляции и его свойства.

94. Нелинейные корреляционные зависимости. Корреляционное отношение.

95. Уравнения нелинейной регрессии. Метод линеаризации.

96. Понятие о множественной корреляции.

Глоссарий

1. Абсолютно сходящийся ряд – ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда, который сходится.

2. Асимптота к графику функции – прямая, к которой приближается точка М(х, у), лежащая на графике, при неограниченном удалении ее от начала координат.

3. Варианта – различные значения признака, встречающиеся у членов совокупности.

4. Вариационный ряд – ранжированный ряд вариантов с соответствующими им частотами (весами).

5. Гармонический ряд – числовой ряд - расходится.

6. Геометрический ряд (геометрическая прогрессия) – числовой ряд он сходится тогда и только тогда, если .

7. Дискретная случайная величина – случайная величина, множество значений которой конечно или счетно.

8. Дисперсия – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

9. Дифференциальное уравнение – уравнение, содержащее производные неизвестной функции.

10. Дифференциал функции в точке х₀ – произведение производной функции на приращение аргумента , т.е. .

11. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной – задача нахождения решения этого уравнения, удовлетворяющего начальному условию .

12. Замечательные пределы: 1. ; 2. .

13. Интеграл дифференциального уравнения – решение указанного уравнения, записанное в неявном виде.

14. Интегральная кривая дифференциального уравнения – график решения этого дифференциального уравнения.

15. Кумулята – график накопленных частот, сглаженное графическое изображение эмпирической функции распределения.

16. Линии уровня функции – линии, на которых функция принимает одно и тоже фиксированное значение.

17. Математическое ожидание – средневзвешеМетод Гаусса – метод приведения произвольной матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

18. Необходимый признак сходимости ряда – если ряд сходится, то предел его общего члена стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n.

19. Неопределенный интеграл – совокупность всех первообразных функции , т.е. выражение вида

20. Несобственный интеграл – определенный интеграл, у которого хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен.

21. Определенный интеграл - число равное площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью ОХ и прямыми х=а; х=b.

22. Оптимальное решение – решение, которое предпочтительнее других.

23. Первообразная функция от данной f(x) – функция F(x), производная которой равна f(x):

24. Порядок дифференциального уравнения – наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.

25. Предел последовательности - число А, к которому можно приблизиться с любой степенью точности при стремлении номера члена последовательности к бесконечности:

26. Предел функции – число А, к которому может приблизиться значение функции при стремлении аргумента х к фиксированному значению х₀, с любой наперед заданной точностью :

27. Принцип суперпозиции для решения неоднородного линейного дифференциального уравнения – представление решения этого уравнения в виде суммы решений соответствующих слагаемых в правой части этого уравнения.

28. Произведение двух событий А и В – событие АВ, состоящее в появлении и события А и события В.

29. Производная функции в точке х₀ – предел отношения приращения функции к приращению аргумента при .

30. Расходящийся ряд – числовой ряд, для которого последовательность частичных сумм не имеет конечного предела.

31. Ряд Маклорена – ряд

32. Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.

33. Среднеквадратическое отклонение – характеристика распределения, равная корню из дисперсии.

34. Статистика – любая функция , зависящая от выборки и поэтому являющаяся случайной величиной.

35. Степенной ряд – функциональный ряд , где а_n – const.

36. Стохастический эксперимент – эксперимент, результат которого до его проведения нельзя предугадать.

37. Сумма двух событий А и В – событие А+В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В.

38. Сумма числового ряда – предел последовательности частичных сумм сходящегося ряда.

39. Схема Бернулли – производится n независимых и однородных испытаний, в результате каждого из которых может произойти событие А или ему противоположное

40. Сходящийся ряд – числовой ряд, для которого существует конечный предел S последовательности его частичных сумм.

41. Точечная оценка параметра – оценка параметра в виде числа – точки на координатной оси.

42. Функциональный ряд – ряд вида члены которого – функции от переменной х.

43. Функция – правило, закон, по которому каждому элементу Х (аргументу) некоторого множества Х (области определения) соответствует единственный элемент у (зависимая переменная) другого множества Y (область значений функции).

44. Характеристическое уравнение – уравнение относительно неизвестной λ.

45. Частичная сумма ряда – сумма S_n первых n членов ряда:

46. Частное решение – решение, полученное из общего путем подстановки вместо свободных переменных конкретных численных значений.

47. Частота варианты – число, показывающее сколько раз варианта встречается в совокупности.

48. Числовой ряд – выражение где а_n – числа ряда.

Гид по курсу

Учебно-методический комплекс «Математика» состоит из следующих разделов:

1. Рабочая программа дисциплины, включающая в себя:

1.1. Пояснительную записку, где определены цели и задачи изучения данной дисциплины, ее связь с другими учебными курсами.

1.2. Разделы, в которых определены объем и виды выполняемой учебной работы, форма итогового контроля знаний студентов.

1.3. Раздел, раскрывающий содержательную сторону учебного курса с разбиением по часам и видам занятий.

1.4. Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям.

1.5. Вопросы для подготовки к сдаче экзамена по дисциплине и варианты контрольных работ и тестов для самостоятельной работы студентов.

1.6. Перечень основной и дополнительной литературы.

2. Комплект лекций по данному курсу, включающий в себя 10 разделов, примеры разобранных задач и упражнения для самостоятельной работы после каждого раздела.

3. Глоссарий по дисциплине, включающий основных понятий данного курса.

Учебно-методический комплекс «Математика» подготовлен профессором кафедры математики и физики Белгородской государственной сельскохозяйственной академии Головановой Еленой Васильевной и старшим преподавателем Мининой Татьяной Николаевной.