Множина із заданою на ній бінарною асоціативною операцією називається напівгрупою.

Елемент називається одиничним (або нейтральним) відносно розглянутої бінарної операції , якщо для усіх . Якщо - ще один одиничний елемент, то .

Моноїдомназивається напівгрупа з одиничним елементом .

Елемент моноида називається оборотним, якщо знайдеться елемент , для якого . Обернений до позначається через . Обернений елемент єдиний: . Запис операції у виді називається мультиплікативною.

Групи

Моноїд , всі елементи якого оборотні, називається групою.

Аксіоми групи.

1. на множині визначена бінарна операція ;

2. операція асоціативна;

3. в множині відносно існує нейтральний елемент;

4. для кожного існує зворотний.

Кількість елементів скінченої групи називається її порядком.

Підмножина , групи називається підгрупою групи , якщо також є групою. Аналогічно визначаються підструктури інших алгебраїчних структур.

Теорема (Лагранж). Порядок скінченої групи ділиться на порядок будь-якої її підгрупи.

Група називається комутативною (абелевою) якщо . Абелевы групи виду називаються адитивними.Для запис позначає: . Аналогічним образом,: .

Групи і гомоморфні, якщо існує відображення , таке, що . Відображення називається гомоморфізмом груп. Ядром гомоморфізму називається множина , що є прообразом одиниці . Групи й ізоморфні, якщо існує гомоморфізм з у , причому відображення є взаємно однозначним. Відображення є автоморфізмомгрупи , якщо відображення - ізоморфізм. Відображення є эндоморфизмом групи , якщо відображення -гомоморфізм.

Кільця

Асоціативним кільцем називається множина з двома операціями, що називаються додаванням і множенням і для яких виконуються наступні аксіоми.

1.Ассоциативнось додавання: .

2. Коммутативность додавання: .

3. Можливість розв'язання рівняння для усіх .

4. Ассоциативнось для множення: .

5. Дистрибутивность при множенні зліва: .

6. Дистрибутивность при множенні зправа: .

Звичайно під назвою «кільце» розуміється асоціативне кільце.

Кільце називається неасоціативним, якщо операція множення не є асоціативною. Кільце називається комутативним, якщо коммутативна операція множення.

У кільці існує нуль - одиничний елемент відносно додавання. Одиничний елемент відносно множення, з властивістю , не обов'язково існує.

Прикладом комутативного кільця без одиниці є множина парних чисел зі звичайними операціями додавання і множення.

У кільці з одиницею можливе існування елемента , оберненого до елемента , з умовою . Такі елементи називаються оборотними.

Множина оборотних елементів кільця з одиницею складає групу - т.зв. мультиплікативну групу кільця. Мультиплікативна група кільця називається групою одиниць і позначається або .

Прикладом комутативного кільця з одиницею є множин цілих чисел. Група одиниць цього кільця складається з двох елементів: .

Поля.