Кейбір тригонометриялық функциялардың түрлерін интегралдау.

интегралын қарастырайық. Мына алмастыруларды қолданамыз:

Қарастырылған алмастыру түріндегі кез келген функцияны интегралдауға мүмкіндік береді. Сондықтан оны «Универсалды тригонометриялық ауыстыру» формуласы деп атайды. Бірақ практикада ол өте қиын рационал функцияға келтіреді. Сондықтан кей жағдайда жылдамырақ мақсатқа жеткізетін алмастырудың басқа түрлерін де білген жөн.

1) түріндегі интегралына алмастыруын қолдансақ түріне келтіреді.

2) интегралына алмастыруын қолдансақ, ол интегралды рационал функцияның интегралына алмастырады.

3) Егер интеграл астындағы өрнек түрінде болсын, бірақ Sinx пен Cosx –тің тек қана жұп дәрежелері болса, онда tgx=t алмастыруы қолданылады.

4) Егер интеграл астындағы өрнек tgx –ке ғана тәуелді болса, онда алмастыруы мұндай интегралды рационал функцияның интегралына алмастырады.

5) Интеграл астында түріндегі көбейтінді болып келген интегралын қарастырайық. Мұнда үш жағдайды қарастырамыз:

а) , мұндағы m және n сандарының ең болмағанда біреуі тақ сан болсын. Айқындық үшін n- тақ сан болсын. n=2p+1 алайық және интегралды түрлендірейік. Бұл t-ның рационал функциясының интегралы.

б) , мұндағы m және n теріс емес жұп сандар. m=2p, n=2p –деп алайық және интегралды түрлендірейік.

болады. Дәрежеге шығарып және жақшаны ашсақ, Cos2x-тің тақ және жұп дәрежелері бар мүшелерді аламыз. Тақ дәрежесі көрсеткішті бар мүшелер а) жағдайда көрсетілгендей интегралданады. Жұп дәреже көрсеткіші бар дәрежелерді тағы да дәреже көрсеткіштерін түрлендіреміз. Осылай жалғасып ең аяғында оңай интегралданатын сияқты мүшеге келеміз.

в) Егер екі көрсеткіште жұп болып, ең болмағанда біреуі теріс болса, онда tgx=t, (Ctgx=t) деп айнымалыны ауыстыру керек.

Кейбір иррационал функцияларды тригонометриялық алмастырулардың көмегімен интегралдау.

1. болсын. деп белгілейміз. Сонда . Яғни

2. болсын. деп белгілейміз. Сонда . Яғни

3. 1. болсын. деп белгілейміз. Сонда . Яғни

1. болсын. Бұл жағдайда х-тің кезкелген мәнінде комплекс сан болады.

Әдебиет

Қабдықайырұлы Қ. Жоғары математика. Алматы, «Қазақ университеті», 2004. (420-427 б.)

14 Дәріс. Анықталған интеграл. Ньютон-Лейбниц формуласы. Есептеу әдістері.

Анықталған интеграл және оның қасиеттері. Анықталған интегралдың қолданылуы.

1-Анықтама. [a,b] кесіндісінде f функциясы берілсін. [a,b] кесіндісін нүтелерімен бөліктерге бөлейік. Әрбір дербес аралығынан кезкелген нүктесін алайық. Және қосындысын құрайық. Бұл қосынды интегралдық қосыды деп аталады. деп белгілейік.

Егер дағы интегралдық қосынды тің шегі (егер ол бар болса) f функциясының [a,b] кесіндісіндегі анықталған интегралы деп аталады. және ол былай белгіленеді.

а сан анықталған интегралдың төменгі шегі, ал в саны жоғары шегі деп аталады.