Интегральная функция распределения
Интегральная функция распределения позволяет задать как дискретную, так и непрерывную случайную величину.
Интегральная функция распределения (ИФР) – это функция F(x), определяющая для каждого возможного значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее x, т. е.
| . | (19) |
Геометрический смысл ИФР – это вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое на числовой оси лежит левее точки x.
Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х1, х2, …, хn, функция распределения имеет вид:
| , | (20) |
где означает, что суммирование касается всех тех значений хi, величина которых меньше х.
Свойства интегральной функции распределения:
1. Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:
.
2. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале
.
3. Если все возможные значения x случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то
, если ;
, если .
График интегральной функции распределения непрерывной случайной величины представлен на рис. 2.
Рис. 2
График интегральной функции распределения дискретной случайной величины представлен на рис. 3.
Рис. 3
Разбор типовых задач
Задача 1
Вероятность того, что семя не взойдет, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 семян невсхожих окажется от 70 до 100 семян.
Решение.
Для вычисления вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний событие наступит не менее m1 раз и не более m2 раз, используют интегральную теорему Лапласа.
Если вероятность р наступлении события А в каждом испытании постоянна (р≠0, р≠1), то вероятность Pn(m1≤m≤m2) того, что событие А появится в п испытаниях от m1до m2 раз, вычисляется по приближенной формуле
,
где значения функции Лапласа находятся по табл. 2 приложения для любого значения х. При этом следует иметь в виду, что функция Ф(х) нечетная, т.е. Ф(-х) = –Ф(х) и что для х>5 можно принять Ф(х)=0,5.
По условию задачи n=400; m1=70; m2=100; р=0,2; q=0,8.
Находим
,
.
Искомая вероятность
.
Из табл. 2 приложения находим
Ф(2,5) =0,4938, Ф(1,25) =0,3944.
Тогда
.
Ответ: 0.8882.
Задача 2
Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной законом распределения и построить ее график.
| Х | |||
| Р | 0,3 | 0,2 | 0,5 |
Решение.
Пусть х ≤ 1, тогда F(x) = 0, так как событие (Х<х) будет невозможным.
Если 1<х≤2, то на основании равенства
имеем: F(x) = p1 = 0,3.
Если 2 < х ≤ 3, то имеем F(x) = p1 + p2 = 0,5.
Если х > 3, то F(x) = p1 + p2 + p3 = 1.
Окончательно получаем
График функции F(х) изображен на рис. 4.
Рис. 4