Общая формула для оценки главной части погрешности

При численном решении математических и прикладных задач неизбежно появление погрешностей следующих трех типов.

1) Погрешность задачи связана с неточностью исходной математической модели. Эта погрешность является неустранимой (безусловной), хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.

2) Погрешность метода связана со способом решения поставленной математической задачи и появляется в результате подмены исходной математической модели другой или конечной последовательностью других, например, линейных моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня. Погрешность метода является устранимой (или условной).

3) Погрешность округлений (погрешность действий). Этот тип погрешностей обусловлен необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.

Все три описанных типа погрешностей в сумме дают полную погрешность результата решения задачи.

Рассмотрим классические подходы к учету погрешностей действий.

Пусть и – два «близких» числа; условимся считать – точным, – приближенным.

Величина называется абсолютной погрешностью приближенного числа , а – его относительной погрешностью. Числа и такие, что и , называются оценками или границами абсолютной и относительной погрешностей соответственно.

Пусть – дифференцируемая функция, – абсолютные погрешности аргументов.

Тогда абсолютная погрешность результата , где – точные значения аргументов, может быть оценена в виде

(4.1)

и, следовательно, для относительной погрешности справедлива оценка

(4.2)

Часто возникает обратная задача теории погрешностей: какой точности должны быть исходные данные, чтобы получить результат заданной точности? Для случая дифференцируемой функции одной переменной грубое решение обратной задачи тривиально: если , то , откуда . Для функции большего числа переменных обратная задача, вообще говоря, некорректна. Нужны дополнительные условия. Например, применяют принцип равных влияний, состоящий в предположении, что частные дифференциалы в (4.1) одинаково влияют на погрешность значения функции; тогда

, откуда (4.3)

В качестве другого довольно естественного допущения можно принять равенство относительных погрешностей всех аргументов, т.е. считать при всех . Тогда и, значит, . Из последнего равенства получаем величину (характеризующую относительный уровень точности задания аргументов), на основе которой за границы абсолютных погрешностей аргументов принимаем . Имеются и другие, более сложные подходы к решению обратной задачи.

При больших количествах однотипных вычислений вступают в силу вероятностные или статистические законы формирования погрешностей результатов действий. Например, методами теории вероятностей показывается, что математическое ожидание абсолютной погрешности суммы слагаемых с одинаковым уровнем абсолютных погрешностей, при достаточно большом , пропорционально . В частности, если и все слагаемые округлены до -го десятичного разряда, то для подсчета абсолютной погрешности суммы применяют правило Чеботарева

(4.4)

Применение правила Чеботарева увеличивает точность оценивания по сравнению с классической теорией погрешностей.

Прямое применение вероятностно-статистических оценок погрешностей также является достаточно сложным делом и вряд ли может быть рекомендовано при рядовых массовых вычислениях. Однако именно такие оценки подкрепляют практические правила работы с приближенными числами, составляющие основу так называемого технического подхода. Согласно принципу А. Н. Крылова, приближенное число должно записываться так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верными и лишь последняя была бы сомнительна, и притом в среднем[1] не более чем на одну единицу.

Чтобы результаты арифметических действий, совершаемых над приближенными числами, записанными в соответствии с принципом А. Н. Крылова, также соответствовали этому принципу, нужно придерживаться следующих простых правил:

1) при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим количеством десятичных знаков;

2) при умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр;

3) результаты промежуточных вычислений должны иметь один-два запасных знака (которые потом должны быть отброшены).

Таким образом, при техническом подходе к учету погрешностей приближенных вычислений предполагается, что в самой записи приближенного числа содержится информация о его точности.