Вопрос 8: Функция распределения случайной величины и плотность распределения непрерывной случайной величины

Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}.

Рассмотрим свойства функции F(x).

1. F(-∞)=lim(x→-∞)F(x)=0. Действительно, по определению, F(-∞)=P{X < -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0.

2. F(∞)=lim(x→∞)F(x)=1, так как по определению, F(∞)=P{X < ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1.

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Α Β] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α).

4. F(x2)≥ F(x1 ), если x2, > x1, т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией.

5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FΨ(xo-0)=limFΨ(x)=FΨ(xo) при х→ xo

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и кусочно дифференцирована, то есть существует производная этой функции, причем она существует всюду, за исключением конечного числа величин. Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого x вероятность того, что

случайная величина X примет значение, меньшее x

F(x) = P(X < x). (8.1)

Функция F(x) называется также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки x. Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью) ϕ(x) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения

ϕ(x) = F' (x)

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

Плотность вероятности ϕ(x), как и функция распределения F(x), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин. Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или

дифференциальным законом распределения. Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения . В этом случае:

,

и

,

а следовательно формулы имеют вид:

,

где означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.