Оптимизация надежности и объемов испытаний элементов систем при экспоненциальном законе наработки на отказ

В случае экспоненциального распределения наработки на отказ надежность элемента равна [ 9 ]

где коэффициент временного запаса.

Очевидно, что

В общем случае надежность технической системы будет определяться уровнями надежности отдельных элементов, входящих в ее состав. При последовательно соединении элементов вероятность отказа технической системы приближенно можно оценить по соотношению

где .

Отсюда с учетом (3.5) получим

( 2.40 )

где Q_зад - заданная вероятность отказа системы.

Следовательно, требуемый уровень надежности системы может подтвержден при различных комбинациях параметров и K_i. Среди многообразия значений и K_i целесообразно выбрать те, которые обеспечивают заданный уровень надежности при минимальных затратах.

Очевидно, уровни избыточности элементов системы m_ti будут определять эксплуатационные расходы на выполнение программы

( 2.41 )

В дальнейшем для упрощения расчетов введем новую переменную

.

При этом соотношения (3.6), (3.7) примут вид

( 2.42 )

( 2.43 )

В линейном приближении соотношение (2.43) можно представить в виде

Для оценки коэффициента чувствительности проанализируем выражение для стоимостных затрат. Очевидно стоимость элемента с избыточностью можно представить в виде

,

где стоимость нерезервированного элемента с коэффициентом запаса ;

кратность резерва;

вероятности отказа соответственно элемента с избыточностью и нерезервированного элемента;

.

В рассматриваемом случае

,

где коэффициенты временного запаса соответственно для

элемента с избыточностью и нерезервированного элемента.

Таким образом кратность резерва будет равна

. (2.44 )

В дальнейшем воспользуемся приближенной оценкой [ 9 ]

.

где аппроксимирующие коэффициенты.

Отсюда .

Таким образом

( 2.45 )

С учетом (2.45) выражение (2.44 ) примет вид

.

После преобразований, получим

.

Характер изменения для и s=4 представлен на рис.2.10

Рис.2.10 Характер изменения функции для элемента с временной избыточностью.

В реальном диапазоне изменения кривую можно аппроксимировать прямой .

С учетом полученных результатов, выражение для стоимости элемента с избыточностью примет вид

,

где .

Заметим, что при изменении от 50 до 300 величина корректирующего множителя , для значения , меняется в диапазоне 0,65—0,75.

Отсюда для коэффициента получим .

Соответственно затраты на экспериментальную отработку будут определяться объемами испытаний элементов

где C_i – затраты на проведения одного испытания i-го элемента;

– затраты, независящие от варьируемых параметров.

Таким образом, решение задачи нормирования надежности сводится к минимизации функции Лагранжа

где ; l – неопределенный множитель Лагранжа.

Оптимальные параметры будут удовлетворять системе алгебраических уравнений

Производя дифференцирование, получаем

Разрешая второе уравнение относительно произведения l∙e^-Zi и подставляя полученный результат в первое, получаем

Отсюда найдем ( 2.46 )

Характер изменения функции от К для представлен на рис.2.11

Рис. 2.11 Зависимость функции от числа испытаний.

Полученный результат позволяет проводить оценку оптимального числа испытаний элементов в зависимости от соотношения удельных затрат на эксплуатацию и проведение испытаний.

Соответственно из первого уравнения системы имеем

Подставляя в граничное условие (3.8), приходим к соотношению

Отсюда ( 2.47 )

Таким образом распределение надежности между элементами системы целесообразно проводить пропорционально удельным затратам на обеспечение единицы надежности .