Теорема Гаусса (основная теорема алгебры).

Определители

1.1 Свойства определителей

Определителем или детерминантом n-го порядка называется число, записываемое в виде

[1]

и вычисляемое по данным числам (действительным или комплексным) – элементам определителя – по следующему закону:

,

распространенная на всевозможные различные перестановки из чисел . Число равно числу транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки к перестановке n-го порядка . Произведение называется членом определителя.

Определители n-го порядка удовлетворяют свойствам:

а) Величина определителя не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами;

б) Величина определителя меняет знак, если у него переменить местами строки (столбцы);

в) Величина определителя умножается на число k (действительное или комплексное), если элементы какого-либо его столбца или строки умножить на k (т.е. множитель, присутствующий с строке или столбце, можно выносить за знак определителя);

г) Величина определителя равна 0, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю;

д) Величина определителя равна 0, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны;

е) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя (см. п.1.2 Разложение определителя по строке и столбцу);

ж) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие адъюнкты (алгебраические дополнения) элементов другой строки (столбца) равна нулю:

, ;

з) Пусть даны два определителя n-го порядка и , у которых все строки (столбцы) одинаковы, кроме определенной одной (одного). Сумма таких определителей равна определителю n-го порядка, у которого указанная строка (столбец) состоит из суммы соответствующих элементов этой строки (столбца) определителей и ;

и) Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число k;

к) Пусть , . Произведение двух определителей n-го порядка с элементами и есть в свою очередь определитель n-го порядка с элементами , т.е.

1.2 Разложение определителя по строке и столбцу

Возьмем определитель n-го порядка:

.

Вычеркнем из этого определителя i-ую строку и k-ый столбец. Оставшееся выражение порождает определитель (n-1)-го порядка , называемый минором элемента . Величина же называется алгебраическим дополнением или адъюнктом элемента .

- разложение определителя по элементам i-ой строки,

- разложение определителя по элементам k-го столбца;

Определитель

,

порожденный числами называется степенным или определителем Вандермонда[2]. Определитель Вандермонда будет равен нулю, если среди чисел есть одинаковые.

Правило Крамера[3]. Зададим систему или n линейных уравнений с n неизвестными

.

Числа (действительные или комплексные), называемые коэффициентами системы, заданы. Можно говорить, что система определяется матрицей

ее коэффициентов.

Если определитель данной системы не равен 0, т.е. , то система имеет единственное решение для любого вектора y, вычисляемое по формуле Крамера , где - определитель, получаемый из определителя , если в нем заменить числа j-го столба соответственно на числа :

.

Таким образом , где - адъюнкт элемента в определителе .

2. Комплексные числа

2.1 Понятие комплексного числа

Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел. Выражения – алгебраическая форма к.ч., где - действительные числа, а - специальный символ; при этом для комплексных чисел , введены понятия равенства и арифметические операции по следующим правилам:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Из 1) и 3) следует, что .

Таким образом, введенные операции сложения и умножения обладают свойствами:

1) коммутативности ;

2) ассоциативности ;

3) дистрибутивности ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Если на плоскость введена декартовая прямоугольная система координат , то всякому комплексному числу может быть поставлена в соответствие некоторая точка с абсциссой x и ординатой y. При этом говорят, что точка изображает к.ч. . Плоскость, на которой изображаются к.ч., называется комплексной плоскостью. Ось – действительной осью, а ось – мнимой осью.

Число называется модулем к.ч. и обозначается символом . Модуль числа z равен расстоянию от начала координат до точки M, изображающей это число.

Всякое решение системы уравнений

(*)

называется аргументом к.ч. . Все аргументы числа z различаются на целые кратные и обозначаются единым символом .Каждое значение аргумента совпадает с величиной некоторого угла, на который следует повернуть ось до совпадения с радиус-вектором точки M (при этом , если поворот совершается против часовой стрелки, и в противном случае). Значение , удовлетворяющее условию , называется главным значением аргумента и обозначается символом . В некоторых случаях главным значением аргумента называется значение , удовлетворяющее условию .

.

Из соотношений (*) следует, что для всякого к.ч. z справедливо равенство

,

называемое тригонометрической формой числа z.

Для к.ч. и в тригонометрической форме, где и , справедливы равенства:

,

.

2.2 Комплексные числа в показательной форме

Пусть - произвольное действительное число. Символом обозначается комплексное число . С помощью этого обозначения всякое к.ч. может быть записано в показательной форме

.

Формулы Эйлера:

Для к.ч. и в показательной форме, где и , справедливы равенства:

,

,

,

.

Число называется сопряженным к комплексному числу . Очевидно, что .

Операция построения сопряженного к.ч. обладает следующими простыми свойствами:

, , .

Формула Муавра:

.

2.3 Разложение многочленов на множители

Многочленом n-ой степени называется функция вида

,

где – постоянные коэффициенты (действительные или комплексные), а – комплексная переменная, которая может принимать любые комплексные значения или, выражаясь геометрическим языком, может быть любой точкой комплексной плоскости.

Если при , то число называется корнем или нулем многочлена .

Для многочленов определены следующие арифметические операции:

В результате операций 1) и 2) снова получится многочлен. Частное двух многочленов может не быть многочленом.

Деление многочленов с остатком.

,

,

где – частное, а – остаток.

Теорема Безу.

Для того, чтобы многочлен имел (комплексный) корень , необходимо и достаточно, чтобы он делился на , т.е. чтобы его можно было представить в виде произведения , где – некоторый многочлен степени n-1.

Если при разложении , то на основании теоремы Безу применимой к , многочлен не делится на , а хотя и делится на , но не делится на . В этом случае говорят, что – простой корень (нуль) многочлена .

Пусть теперь . Тогда по теореме Безу, применимой к , многочлен делится на , и мы получим , где – некоторый многочлен степени n-2. Если , то делится на , но не делится на , и тогда число называется корнем (нулем) кратности 2.

В общем случае для некоторого натурального имеет место

,

где – многочлен степени n-s, и тогда говорят, что – корень (нуль) многочлена кратности s.

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры).

Всякий многочлен n-ой степени (ненулевой, т.е. ) имеет по крайней мере один комплексный корень (нуль).

Следствие из теоремы Гаусса.

Многочлен n-ой степени со старшим не равным нулю коэффициентом имеет n комплексных корней с учетом кратности, иначе говоря представляется в виде произведения

,

где – различные корни кратностей, соответственно .

Если у многочлена с вещественными коэффициентами есть комплексные корни, то они входят сопряженными парами, т.е. если – корень многочлена , то и корень будет являться корнем многочлена .

Раскладывая в разложении на квадратичные множители многочлена комплексные корни на сопряженные, т.е. получим разложение многочлена на линейные множители.

В результате получим разложение вида

,

где отвечает вещественному корню b кратности l, а – комплексным корням и кратности m.

3. Алгебра матриц

3.1 Умножение матриц

Матрицей размера или ( )-матрицей называется прямоугольная таблица из чисел , , ,

,

состоящая из строк и столбцов. При матрица называется квадратной матрицей n-ого порядка.

Суммой ( )-матриц и называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц и :

, , .

Легко видеть, что

,

.

Замечание: складывать можно только матрицы одного размера.

Произведением матрицы на число (действительное или комплексное) называется матрица , получающаяся из матрицы умножением всех ее элементов на :

, , .

Причем .

Произведением -матрицы на -матрицу называется -матрица , элемент которой , стоящий в i-ой строке и в j-ом столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы и j-ого столбца матрицы :

, , .

Легко видеть, что

.

Матрицы и называются перестановочными (коммутирующими), если .

Свойства умножения квадратных матриц.

1) При перемножении квадратных матриц, допустим -матрицы на -матрицу , получим -матрицу . Причем .

2) , , т.е. матрица коммутирует с . Вообще .

Матрица называется транспонированной к матрице , если выполняется условие

для всех , где и – элементы матриц и соответственно. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется.

Матрица транспонированного произведения есть произведение транспонированных матриц в обратном порядке, т.е.

.

3.2 Обратная матрица

Квадратная матрица называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен 0, и невырожденной (неособенной) в противном случае. Если – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица такая, что

,

где E – единичная матрица (т.е. такая, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны 0). Матрица называется обратной к матрице и ищется следующим образом:

,

где – транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Решение матричных уравнений.

1)

Домножив справа на , получим

.

2)

Домножив слева на , получим

.

3)

Домножив слева на и справа на , получим

.

Решение систем линейных уравнений.

Дана система:

.

Решение:

Данная система является частным случаем матричного уравнения 2), где

, , .

При условии, что система имеет единственное решение, а именно

, где .

Рассмотрим теперь на примере системы:

.

Решение:

(*)

Полученное матричное уравнение имеет вид 2), т.е. . Находим матрицу , обратную к матрице :

;

Преобразовав наше матричное уравнение (*) как описано выше в пункте 2), получим

4. Линейные пространства

4.1 Понятие линейного пространства

Множество L называется линейным (векторным) пространством, если выполнены следующие условия:

1) В L введена операция сложения элементов, т.е. определено отображение (обозначение: ), обладающее следующими свойствами:

- ;

- ;

- (элемент 0 называется нулевым);

- (элемент –x называется противоположным элементу x);

2) В L введена операция умножения элементов на действительные (комплексные) числа, т.е. определено отображение (обозначение: ), обладающее следующими свойствами:

- ;

- ;

3) Операция сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:

- ;

- ;

Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство L называется действительным, если в L операция умножения векторов на число определена только для действительных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.

Примеры линейных пространств:

1) – пространство геометрических векторов . :

- если , то ;

- если , то .

2) – арифметическое пространство.

– множество упорядоченных наборов из n вещественных чисел со следующими правилами:

,

,

3) – пространство многочленов.

,

,

4) – пространство ( )-матриц.

( ), ( )

5) – пространство функций, непрерывных на .

,

,

,

Подпространством линейного пространства L называется такое подмножество , которое обладает свойствами:

1) ;

2) .

Выводы:

1) всякое подпространство содержит ;

2) каждый вектор в подпространство входит с противоположным.

Теорема 1.

Подпространство линейного пространства само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения векторов на число.

является линейной комбинацией векторов системы S, если , где .

Совокупность линейных комбинаций векторов системы S из линейного пространства L называется линейной оболочкой, т.е.

Теорема 2.

Линейная оболочка системы S в линейном пространстве L образует подпространство в L.

Линейная оболочка системы – наименьшее подпространство, содержащее все векторы системы.

4.2 Линейная зависимость и независимость системы векторов

Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа , не равные одновременно нулю и такие, что ; в противном случае эта система называется линейно независимой.

Свойства:

1) – линейно зависима, если ;

2) – линейно зависима, если ;

3) Если система содержит зависимую подсистему, то вся система зависима.

Следствия:

1) Всякая часть линейно независимой системы линейно независима;

2) Система, содержащая – линейно зависима;

3) Система, содержащая два равных или пропорциональных вектора, линейно зависима.

Критерий линейной зависимости.

Для того, чтобы система векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из ее векторов линейно выражался через другие.

Геометрический смысл линейной зависимости.

1) Система из 2-х векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда они коллинеарны, т.е.

– линейно зависима, когда .

Замечание: коллинеарен любому (каждому) вектору.

2) Система из 3-х векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда они компланарны.

3) Любая система из 4-х и более векторов – линейно зависима.

4.3 Ранг системы векторов

Рангом системы векторов называется размерность ее линейной оболочки, т.е.

.

Подсистема системы называется базой в , если

1) – линейно независима;

2) Любой вектор из линейно выражается через векторы .

4.4 Сохранение ранга системы векторов при элементарных преобразованиях.

Пусть , а . Если все векторы линейно выражаются через векторы , то

Доказательство:

Т.к. и , то вышесказанное будет доказано, если докажем, что . Для любого имеет разложение , но каждый вектор линейно выражается через

,

, (*)

где и т.д.

Из (*) , , т.е. есть включение .

Элементарные преобразования системы векторов:

1) перестановка 2-х векторов;

2) умножение вектора на число, не равное 0;

3) добавление к одному вектору другого, умноженного на коэффициент.

Теорема.

При элементарных преобразованиях ранг сохраняется:

.

4.5 Базис и размерность линейного пространства.

Число n называется размерностью линейного пространства L, если:

1) в L существует система из n линейных векторов;

2) любая система из n+1 векторов в L – линейно зависима.

Замечание: В n-мерном пространстве L линейно зависима любая система из вектора.

Базисом n-мерного линейного пространства L называется всякая линейно независимая система в L, состоящая из n-векторов.

Базисы в линейных пространствах.

1) , .

Базис в L – любая тройка некомпланарных векторов. Канонический базис:

.

2) , .

Базис в L образует, например, . Канонический базис:

.

3) , .

4) , .

Канонический базис:

.

Библиографический список:

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1984.

3. Под редакцией Ефимова А.В., Демидовича Б.П. Сборник задач по математике для втузов. Ч.1. Линейная алгебра и математический анализ. – М.: Наука, 1986.

Последняя редакция:
12.2002 г.

[1] Существует также и другое обозначение определителя, которое может встретится далее: .

[2] А.Т. Вандермонд (1735 – 1796 гг.) – французский математик.

[3] Г. Крамер (1704 – 1752 гг.) – швейцарский математик.