Носители обобщенных функций

Опр. Пусть G – открытое мн-во на числовой оси. Говорят, что обобщенная ф-ция f обращается в нуль (или равна нулю) на мн-ве G, если для любой финитной ф-ции x из D, носитель которой содержится в мн-ве G, имеем : f(x)=0.

Теорема 1( о существовании наибольшего мн-ва, на котором обобщенная ф-ция обращается в нуль) Для любой обобщенной ф-ции f существует наибольшее открытое мн-во , на котором f обращается в нуль.

Опр. Носителем обобщенной ф-ции f называется множество, обозначаемое sup f, являющееся дополнением к наибольшему открытому мн-ву , на котором f обращается в нуль, т.е. .

Примеры:

1.

2.

3.

4.

5.

Теорема 2 ( о носителе производной) Для любой обобщенной ф-ции f носитель f’ содержится в носителе обобщенной функции f, т.е. имеет место следующее соотношение:

.

Теорема 3 ( о носителе первообразной) Для любой обобщенной ф-ции f, носитель которой содержится в замкнутой полуоси , , существует единственная первообразная F, носитель которой также содержится в , т.е. имеет место следующее соотношение

.

Опр. Обобщенная ф-ция с компактным носителем называется обобщенной финитной ф-цией.

Теорема 4 ( о конечной сингулярности финитных обобщенных ф-ций). Любая финитная обобщенная ф-ция имеет конечный порядок сингулярности.

Теорема 5 ( о распространении финитных обобщенных функций на пространство ) Любую финитную функцию можно распространить до функционала, определенного на пространстве .

Лемма (о плотности D в пространстве ) Пространство D всюду плотно в пространстве , т.е. любая ф-ция из может быть представлена в виде предела последовательности финитных ф-ций.

Теорема 6 ( о единственности распространения финитных обобщенных ф-ций) Распространение финитной обобщенной ф-ции до линейного непрерыного функционала на пространстве есдинственно.

Теорема 7 ( об обобщенной ф-ции с точечным носителем) Если носитель обобщенной ф-ции f – одноточечное множество {s} , то такие неотрицательное число m и константы , что f представима в следующем виде:

.

9. Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными импульсными характеристиками: основные определения и свойства.

Пусть – пр-во финитных слева бесконечно дифференцируемых функции на числовой оси. Зафиксируем натуральное число и рассмотрим – -cтепень пр-ва .

Обозначим через тензорную степень мультииндекса вектор-функций :

Пусть и – натуральные числа, – пр-во всех обобщенных –мерных вектор-функций на пр-ве с носителем на .

Пусть – оператор сокращения переменных степени :

, где – -мерная вектор-функция на пр-ве .

Опр. Эволюционным оператором кратности наз. оператор , действующий по формуле

где суммирование ведется по мультииндексам не равным нулю, , - -мерная свертка.

Опр. Эволюционный оператор кратности (1, 1) наз. оператором Вольтерра-Винера.

Опр. Обобщенную вектор-функцию наз. импульсной характеристикой мультииндекса эволюц. оператора .

Опр. Семейство – семейством импульсных характеристик оператора .

Опр. Оператор , определяемый рав-вом

наз. –й компонентой оператора .

Опр.Если , то наз. однородным эволюционным оператором степени .

Опр. – мн-во эволюционных операторов степени .

Св-ва оператора :

1) Линейность и непрерывность относительно -й тензорной степени: отображение линейно и непрерывно.

2) Сохранение нуля:

3) Однородность степени : для и имеет место рав-во ,

где ,

4) Причинность: если , то

Опр. Для любого фиксированного нат. числа определим оператор , который наз. однородной компонентой –й степени эволюционного оператора .

Опр. Оператор – наз. полиномиальной компонентой степени оператора .

Опр. Полиномиальные операторы степени 1 наз. линейными эволюционными операторами. Они имеют след. вид: ,

Примером линейного эволюц. оператора кратности (2,1) явл. оператор суммирования : положим ( - ф-ция Дирака), тогда

Оператор умножения явл. уже однородным эволюц. оператором степени 2 кратности (2,1): положим и , тогда

10. Тензорное произведение эволюционных операторов.
Рассмотрим вначале тензорное произведение реакций двух эволюц операторов:
Пусть А и В – эволюц операторы кратностей и соотв-нно:
И пусть -реакций операторов А и В соотв-нно на входные воздействия .
Рассмотрим тензорное произ-ние . В силу билинейности и непрерывности тензорного произведения имеем:

где -оператор сокращения переменных, действие которого на произвольную ф-цию f, имеющей независимых переменных, определяется формулой

Лемма1:Пусть a и b- финитные слева обобщённые вектор-функции n и m переменных соответственно, w и z- финитные слева скалярные обобщённые функции n и m переменных соответственно.Тогда сараведливо следующее равенство: (a*w) (2).

Применяя равенство (2) к соотношению (1),получаем =

Полагая же в равенстве (3) y=x, имеем: =
Теорема (о тензорном произведении реакций двух эволюционных операторов): пусть А и В – эволюционные операторы:
Тогда справедлива формула:
(4)

_______________________________

Опр: Композицией мультииндекса будем наз-ть такой конечный набор мультииндексов , где , таких, что для любого выполняется рав-во т.е.
.
Мультииндексы наз-ся частями композиции .
Множество всех композиций мультииндекса с m частями будем обозначать .