Тема: Множества и их спецификация.

Практическая работа №1.

Задание №1.

Даны множества:

А = {–1; 0; 1},

В = [–2; 0) – полуинтервал на числовой оси,

С = [–0.5; 2] - отрезок на числовой оси.

Найти:

АÈВ, АÈВÈС, АÇВ, ВÇС, АÇВÇС, A \ B, B \ A, A \ C, C \ A, (А \ В) \ С, А \ (В \ С), А Å B, A Å B Å C.

Изобразить на плоскости: А ´ В, А ´ С, В ´ С. Найти Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , считая универсальным множеством множество всех вещественных чисел.

Решение:

Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, являющихся элементами хотя бы одного из множеств A или B, поэтому:

АÈВ = {[–2; 0]; 1}

АÈВÈС = [–2; 2]

Пересечением двух множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A, и B, поэтому:

АÇВ = {–1}

ВÇС = [–0.5; 0)

АÇВÇС = Æ – пустое множество

Относительным дополнением множества B до множества A называется множество тех элементов A, которые не являются элементами B, поэтому

А \ В = {0; 1}

В \ А = {[–2; –1); (–1; 0)}

А \ С = {–1}

С \ А = {[–0.5; 0); (0; 1); (1; 2]}

(A \ B) \ C = Æ

A \ (B \ C) = {0; 1}

Симметрической разностью двух множеств A и B называется объединение двух разностей A \ B и B \ A, а абсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, поэтому:

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru Декартовым (прямым) произведением двух множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар (a,b)таких, что Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , поэтому:

Задание№2

Для заданного семейства множеств Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru где Г – заданное индексное множество, найдите объединение и пересечение всех множеств семейства, т.е. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru (по всем возможным индексам Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ).

{Ak}kÎ, где для всякого вещественного индекса k множество

Аk={ (x, y): |x|+|y| ≤ |γ| и x, yÎℝ }.

Решение: рассмотрим множества Аk для некоторых фиксированных индексов k.

При k=0 множество А0={ (x, y): |x|+|y| ≤ 0}={(0;0)} – центр вещественной плоскости.

При k=0.5 и k= –0.5 А0.5‑0.5={ (x, y): |x|+|y| ≤ 0.5} – ромб в центре вещественной плоскости с диагоналями, равными 1 и направленными вдоль осей координат.

При k=2 и k= –2 А2‑2={ (x, y): |x|+|y| ≤ 2} – ромб с диагоналями, равными 4 и т. д..

При увеличении абсолютной величины индекса k диагонали ромба, расположенного в центре вещественной плоскости, увеличиваются и при |k|→+ Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ромб А Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru занимает всю вещественную плоскость. Таким образом, объединение по всем вещественным индексам k равно Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru = ℝ ´ ℝ = ℝ2 – вся вещественная плоскость, а пересечение по всем вещественным индексам k равно Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru – центр вещественной плоскости.

Задание№3

Докажите тождество, используя только определения операций над множествами: Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Решение: (1) Пусть Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , тогда Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . Отсюда следует, что 1) Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru или 2) Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . В первом случае из того, что Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru следует, что х принадлежит также объединению множества А с любым другим множеством, в том числе и множеством В, т.е. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . Но в то же время Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru и, следовательно, х принадлежит также объединению Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru с любым другим множеством, в том числе и множеством Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , т.е. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . Таким образом, Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , т.е. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . Аналогично во втором случае: из того, что Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru следует, что х принадлежит также и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . И в то же время, поскольку Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , то х принадлежит также объединению Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , с любым другим множеством, в том числе и множеством Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , т.е. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . И также как в первом случае имеем: Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , тем самым Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru .

(2) Пусть теперь Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . Тогда Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , отсюда Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . Следовательно, если Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , то Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , т.е. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . Если же Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , то Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru и значит Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . Таким образом, Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , что равносильно тому, что Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . Из (1) и (2) следует справедливость тождества.

Задание№4

Докажите тождество, используя диаграммы Эйлера-Венна.

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru
Решение: Изобразим диаграмму для левой части тождества по шагам:

Теперь диаграмму правой части по шагам:

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Ввиду того, что заштрихованные области, полученные на последнем шаге для левой и правой части тождества, одинаковы, можно заключить, что исходное выражение верно.

Задания для самостоятельного решения:

Задание №1

Для заданных множеств А, В и С найдите:

АÈВ, АÈС, ВÈС, АÈВÈС, АÇВ, АÇС, ВÇС, АÇВÇС, A \ B, B \ A, A \ C, C \ A, B \ C, C \ B, (А \ В) \ С, А \ (В \ С), А Å B, А Å С, B Å C, A Å B Å C. Изобразите на плоскости А´В, А´С, В´С. Найдите Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru считая универсальным множеством множество ℝ – всех вещественных чисел (всю числовую ось).

Задание №2

Для заданного семейства множеств Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru где Г – заданное индексное множество, найдите объединение и пересечение всех множеств семейства, т.е. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru (по всем возможным индексам Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ).

Задание №3

Докажите тождества, используя только определения операций над множествами.

Задание №4

Докажите тождество, используя диаграммы Эйлера – Венна.

Варианты заданий:

Вариант№1

1. А = (0; 2] – полуинтервал на числовой оси

В = [1; 5] – отрезок числовой оси

С = (–1; 2) – интервал на числовой оси

2. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " kÎℕ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. . (А \ В) Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru (В \ С) Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru (В \ А) Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru (С \ В) = А Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru С

Вариант№2

1. А = {0, 1, 2, 3}– четырехэлементное множество

В = [–3; 3] – отрезок числовой оси

С = (-2; 2) – интервал на числовой оси

2. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " kÎℕ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. (А \ В) Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru (В \ С) Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru (С \ А) = (В \ А) Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru (С \ В) Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru (А \ С)

Вариант №3

1. А = (–1; +∞)– интервал на числовой оси

В = (–∞; 10] – полуинтервал на числовой оси

С = [–5; +15] – отрезок числовой оси

2. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " kÎℕ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. (А Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru В) Тема: Множества и их спецификация. - student2.ruТема: Множества и их спецификация. - student2.ru D) = В Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru С, если А Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru В = D и C Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru D = A

Вариант №4

1. А = (–∞; 2]– полуинтервал на числовой оси

В = [–3; 3] – отрезок числовой оси

С = (0; 4) – интервал на числовой оси

2. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " kÎℕ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №5

1. А = (–2; 3) – интервал на числовой оси

В = [0; 4] – отрезок числовой оси

С = {2; 3} – двухэлементное множество

2. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " kÎℕ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Если Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №6

1. А = [–5; 4]– отрезок числовой оси

В = (-∞; ∞)– интервал на числовой оси

С = (–1; 0] – полуинтервал на числовой оси

2. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " kÎℕ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №7

1. А = (2; 5]– полуинтервал на числовой оси

В = (0; 1)– интервал на числовой оси

С = {–2; -1; 0} – трехэлементное множество

2. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " kÎℕ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru где U – универсальное множество

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №8

1. А = (–1; 1)– интервал на числовой оси

В = [1; 2] – отрезок числовой оси

С = (–∞; 1] - полуинтервал на числовой оси

2. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " kÎℕ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №9

1. А = (5; 15] – полуинтервал на числовой оси

В = [5; 10] – отрезок числовой оси

С = {4; 5; 6} – трехэлементное множество

2. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " kÎℕ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru если Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru Æ

если Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №10

1. А = (0; 3) – интервал на числовой оси

В = [–1; 3] – отрезок числовой оси

С = (–1; 0] - полуинтервал на числовой оси

2. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " kÎℕ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №11

1. А = [–5; 2) – полуинтервал на числовой оси

В = [–5; 5] – отрезок числовой оси

С = (–1; 1) - интервал на числовой оси

2. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " kÎℕ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Если Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №12

1. А = (0; 5) – интервал на числовой оси

В = {-2, 0; 1; 2} – четырехэлементное множество

С = [–1; 1] - отрезок числовой оси

2. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " kÎℕ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №13

1. А = (–∞; ∞) – интервал на числовой оси

В = [0; +∞) – полуинтервал на числовой оси

С = (–∞; 5) - интервал на числовой оси

2. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℕ– множество всех натуральных чисел и " kÎℕ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №14

1. А=[– Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ; 3) – полуинтервал на числовой оси

В=[3; 10] – отрезок числовой оси

С=(3; + Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ) – интервал на числовой оси

2. {Аk}kÎ, где ℝ – множество всех вещественных чисел и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru k Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. (A ÇB) \ C=(A \ C)Ç (B \ C)

(A ´ B) È (C ´ D) Í (A È C) ´ (B È D)

4. (A Å (A \ B)) Ç Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru = Æ

Вариант № 15

1. А=[–11; 1] –отрезок числовой оси

В=[–1; 3) – полуинтервал на числовой оси

С=(-2; 2) – интервал на числовой оси

2. {Аk}k Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℝ – множество всех вещественных чисел и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru k Îℝ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C); (A \ B) ´ C = (A ´ C) \ (B ´ C)

4. ((A È C) Å (B È D)) Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №16

1. А = (–0; 1) –интервал на числовой оси

В = {–1; 0; 1} – трехэлементное множество

С = [5; 10] – отрезок числовой оси

2. {Аk}k Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℝ – множество всех вещественных чисел и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru k Î ℝ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №17

1. А=(-1; 0] – полуинтервал на числовой оси

В=(0; 1) – интервал на числовой оси

С={-5;- 1; 1} – трехэлементное множество

2. {Аk}k Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где ℝ – множество всех вещественных чисел и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru k Îℝ

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №18

1. А= {–1; 0; 1} – трехэлементное множество

В=(–1; 0.5) – интервал на числовой оси

С=[0; 1] – отрезок числовой оси

2. {Аk}kÎ, где ℝ – множество всех вещественных чисел и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru k Îℝ

Ak = {xÎℝ : x2 ≥ k2 + 1 }

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант №19

1. А= [–6; +6) – полуинтервал на числовой оси

В=[–10; 2] –отрезок на числовой оси

С={-1} – одноэлементное множнство

2. {Аk}kÎ, где ℝ – множество всех вещественных чисел и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru k Îℝ

Ak = {x Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ℝ: x2 +1< k2 }

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Вариант № 20

1. А= (–1; 4) – интервал на числовой оси

В=[0; 1] – отрезок числовой оси

С=(-2; 0] – полуинтервал на числовой оси

2. {Аk}kÎ, где ℝ – множество всех вещественных чисел и " k Îℝ

Ak = { (x, y): |x| + |y| ≥ |k|, где x, y Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ℝ }

3. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

4. Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Практическая работа №2

Тема: Функции и отображения.

Задание №1

Даны отображения (числовые функции) ƒ и g. Найдите область определения и область значений отображений. Определите, являются ли они инъективными, сюрьективными или биективными в найденных областях. Найдите композицию ƒ ◦ g, g ◦ ƒ, обратные (слева и справа) отображения: ƒ–1, g-1, (ƒ ◦ g)-1, (g ◦ ƒ)-1. Для заданных множеств A, B Í ℝ найдите f(A), g(A), ƒ –1(B), g-1(B). Найдите также неподвижные точки отображений.

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , A = [0; 3] и B = [ ‑1; 0].

Решение: область определения отображения f – это множество таких значений х, для которых имеется вещественное число у такое, что у=f(x). И, так как для любого вещественного числа х найдется число у с указанным свойством, то пр1f =ℝ – множество всех вещественных чисел.

Аналогично, область определения отображения g: пр1g =ℝ.

Область значений отображения f – это множество всех образов элементов хÎпр1f. Тем самым, пр2f ={yÎ ℝ.: y ³ -1 }. А область значений отображения g – это множество всех вещественных чисел, т.е. пр2g =ℝ.

Отображение g является инъективным, поскольку для каждого уÎпр2g, имеется ровно один хÎ пр1g (или каждый образ имеет ровно один прообраз). Отображение f инъективным не является, т.к. для некоторых уÎпр2f, имеется более одного прообраза, например: для у=0 прообразами будут х=1 и х=3.

Отображение g является сюрьективным, поскольку для каждого уÎпр2g, имеется хотя бы один хÎпр1g (или каждый образ имеет хотя бы один прообраз). Отображение f также является сюрьективным, т.к. для каждого уÎпр2f, имеется хотя бы один хÎпр1f такой, что у = f(x).

Так как g одновременно инъективно и сюрьективно, то оно является биективным отображением.

Найдем композицию отображений:

(f∘g)(x) = f(g(x)) = (g(x)–2)2–1 = (1–x–2)2 –1 = (–x–1)2 – 1=(x+1)2–1,

(g∘f)(x) = g(f(x)) =1– f(x) = 1 – (x–2)2 +1 = 2 – (x–2)2.

Отображение f обратимо справа, как сюрьекция. И Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где y³ –1. Из выражения Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru найдем x. Тогда Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где y³ –1.

При этом, (f∘f ‑1)(у) = f(f ‑1(y))= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru – тождественное отображение при y ³ ‑1.

Отображение g обратимо как слева, так и справа, как биекция. И Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , где y любое. Из выражения Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru следует: Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . И при этом: (g∘g‑1 )(у) = g(g‑1(y)) = 1 – ( 1– y ) = y и (g‑1∘g )(х) = Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru – тождественные отображения.

По свойствам композиции Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

f(A) = { y = f(x), где xÎA }, поэтому f(A)=[–1; 3].

Аналогично, g(A) = { y = g(x), где xÎA } = [–2; 1].

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Найдем неподвижные точки. По определению это такие х, что: f(x)=x и g(x)=x. Таким образом, x = (x–2)2–1. Отсюда x2–5x+3=0 и т. к. дискриминант D=25–12=13>0, то Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru – две неподвижные точки f(x).

Из g(x)=x следует, что x=1–x и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru – неподвижная точка g(x).

Задание №2

Найти композицию соответствий S Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru Г и множества B,C, если известно множество А={1,2,3,4}, законы R=2x+3 и G=y2, Г=(G,A,B), S=(R,B,C).

Решение:

По определению композиция это: S∘Г=(R∘G, А, С), в свою очередь, композиция законов это: R∘G={(x,z): $yÎB и (x,y)ÎG и (y,z)ÎR}. Значит, для нахождения композиции графиков нужно в график R вместо переменной x подставить график G: R Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru G=2y2+3. Для получения значений элементов множества В, нужно применить закон G к элементам множества А: В={12,22,32,42}={1,4,9,16}. Получение значений элементов множества С возможно двумя способами: первый – применить закон R к элементам множества В: С={2 Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru }={5, 11, 21, 35}; второй – применить композицию графиков ко множеству А.: C={ Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru }={5, 11, 21, 35}. Результаты двух способов совпадают. Все компоненты найдены и композиция соответствий будет иметь вид: S Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru Г=(2y2+3, {1,2,3,4}, {5,11,21,35})

Задания для самостоятельного решения:

Задание №1

Даны отображения (числовые функции) ƒ и g. Найдите область определения и область значений отображений. Определите, являются ли они инъективными, сюрьективными или биективными в найденных областях. Найдите композицию (ƒ ◦ g), (g ◦ ƒ), обратные (слева и справа) отображения: ƒ–1, g-1, (ƒ ◦ g)-1, (g ◦ ƒ)-1. Для заданных множеств A, B Í ℝ найдите f(A), g(A), ƒ –1(B), g-1(B). Найдите также неподвижные точки отображений.

Задание №2

Найти композицию соответствий S Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru Г и множества B,C.

Варианты заданий:

Вариант №1

1.

  • f=cos(x), g=cos(x)-0.5, A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=(x-1)/3, g=y3, A=[-1,2], B=(1,3]
  • f=x-3, g=(y+1)2, A=[1,12], B=(-4,0)

2.

  • A={-2,-4,2,4}, R=x2-1, G=y+2
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=x/2, G=y2/2

Вариант №2

1.

  • f=sin(x)/2, g=2cos(x), A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=2(x-1), g=(y+2)/2, A=[1,4], B=[11,0]
  • f=x, g=3y2, A=(0,1], B=[-1,1)

2.

  • A={0,0.1,0.2,0.3,0.4}, R=0.25x-0.75,G=y2
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=x0.5, G=y2

Вариант №3

1.

  • f=2sin(x), g=1+cos(x), A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=x, g=(y2+2)/2, A=[-1,1], B=[5,8]
  • f= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru +x, g=y-2, A=[-1,1], B=(-1,1)

2.

  • A={0,1,2,3,4}, R=x+1, G=(y+1)2
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=x0.5, G=y2

Вариант №4

1.

  • f=sin(x)/3, g=cos(x/3), A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=x3-x, g=1- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , A=(-1,4), B=[-3,6]
  • f=2x, g=y2/3, A=(-5,1), B=[0,-1)

2.

  • A={1,3,5,7}, R=x-3,G=(y+5)/3
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=x+1, G=2y2

Вариант №5

1.

  • f=sin(x/2), g=2cos(2x), A=[0, Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ), B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru )
  • f= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , g=y, A=[-2,4], B=(1,10)
  • f=-x2, g=1/y2, A=(0,1], B=[-1,1)

2.

  • A={-4,-3,-2,-1}, R=(x-1)2,G=y+1
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=2x G=y2/2

Вариант №6

1.

  • f=sin2(x) g=2cos(x), A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(-2 Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=x2+1, g=(y+2)/(2-y), A=[-2,2], B=[-6,0)
  • f=2x/(1-x2), g=y+3, A=[0,1], B=(-2,0)

2.

  • A={1/3,1/9,1/12,1/15}, R=3x, G=y2
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=1/(x+2), G=y/(1-y)

Вариант №7

1.

  • f=sin(x)/2+sin2x, g=cos(x), A=[ Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=1-x2/2, g=y+2, A=(0,4), B=[-3,3]
  • f= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , g=y/3, A=(0,1], B=[-1,1)

2.

  • A={3,5,9,10}, R=2x, G=1/y;
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=x+4, G=y/(y+1)

Вариант №8.

  • f=sin(x)/2, g=2cos(x), A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=2(x-1), g=(y+2)/2, A=[1,4], B=[-11,0]
  • f=x, g=3y2, A=(0,1], B=[-1,1)

2.

  • A={0,0.1,0.2,0.3,0.4}, R=0.25x-0.75,G=y2
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=x0.5, G=y2

Вариант №9

1.

  • f=sin(x)-1, g=(2cos(x))/3, A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=x+х2, g=5y+2, A=[-3,3], B=[-4,0]
  • f=x/3+1, g=(y+1)2, A=(-3,-1), B=(-1,1)

2.

  • A={-21, -14, -7, 0, 7, 14, 21}, R=x/7,G=y+7
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=x+1, G=y/2

Вариант №10

1.

  • f=х/2+sin(x), g=cos(x)+cos(x/3), A=[ Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=2x-х/4, g=y+у2, A=(-2,2), B=[1,10]
  • f=(x+4)/3, g=y2/2, A=(0,1], B=[1,2)

2.

  • A={-1, 1, -2, 2, -3, 3}, R=x, G=y2
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=2x, G=3y

Вариант №11

1.

  • f=sin(x)-2tg(x), g=cos(x)-cos(2)/2, A=[ Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=(3/x)+(x/3), g=y-y2, A=[-3,3], B=[6,9]
  • f=2+x, g=3y-1, A=(-2,1), B=(4,1)

2.

  • A={0,5,10,15,20}, R=x-5, G=y/5
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=2x, G=y+2

Вариант №12

1.

  • f=tg(3x), g=sin(x)+1, A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru )
  • f=2x-1, g=1/(y+1), A=(0,2), B=[-3,2]
  • f=x-4, g=3y/2, A=(1,1], B=(-4,4)

2.

  • A={-1,-3,-5,-7,-9}, R=x+1,G=y/2
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=x/3, G=y2

Вариант №13

1.

  • f=3sin(x), g=sin(x/3), A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=3/(x-2), g=y2+3, A=[-1,0], B=(2,12)
  • f=x3, g=y-7, A=(-8,8], B=[1,7]

2.

  • A={-8, 8, 15, 22, 29}, R=x-1,G=y/7
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=3x-2, G=2y2

Вариант №14

1.

  • f=cos(x), g=tg(x)-1, A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ), B=[ Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=1/x, g=y+4, A=[3,7], B=[-7,2]
  • f=x4, g=2y-2, A=[-10,1], B=[0,5)

2.

  • A={5, 3, 6, 4, 2}, R=2x-1,G=y+4
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=x+2, G=y/3

Вариант №15

1.

  • f=(sin(x))/3, g=3cos(x), A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ], B=( Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=x2-3, g=(y+2)2, A=[2,5], B=(-3,-1)
  • f=6x-1, g=4-y2, A=(-4,4], B=[2,8)

2.

  • A={1/3, 1/6, 1/9, 1/12}, R=(3x)2, G=y-3
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=4x, G=y2-2

Вариант №17

1.

  • f=sin(x)/2, g=2cos(x), A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=2(x-1), g=(y+2)/2, A=[1,4], B=[11,0]
  • f=x, g=3y2, A=(0,1], B=[-1,1)

2.

  • A={0,0.1,0.2,0.3,0.4}, R=0.25x-0.75,G=y2
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=x0.5, G=y2

Вариант №18

1.

  • f=sin(x)+cos(x), g=tg(x)/3, A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=( Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru )
  • f=x2, g= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , A=[1,4], B=[3,9]
  • f=2+x, g=y2/3, A=[-4,4), B=[-2,2]

2.

  • A={1/2, 1/3, 1/4, 1/5}, R=3x, G=y+3
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=2x, G=y/2

Вариант №19

1.

  • f=sin(x), g=2ctg(x), A=[ Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru )
  • f=(x/3)+(x/5), g=4y, A=(-1,4], B=[0,9]
  • f=x+1, g=y2+4, A=(-6,6], B=[-5,1)

2.

  • A={-5, 5, -6, 6, -7, -8, 8}, R=x+4, G=y2
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=x-5, G=y/3

Вариант №20

1.

  • f=tg(x)/2, g=2cos(x), A=[- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ,], B=(- Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ]
  • f=x, g=y, A=[-1,1], B=(-3,3)
  • f=2x/(x+3), g=y/3, A=(3,4], B=[-2,5)

2.

  • A={-1, -2,-3,-5,-7,-11, -13}, R=4x,G=y/2
  • A= Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru , R=(x-1)2, G=y

Практическая работа №3

Тема: Отношения.

Задание №1

Даны множества Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru и два бинарных отношения: Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru и Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . Найдите Р1-1, Р2-1, Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru Определите, является ли отношение Р2 рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным.

P1={(a,1); (a,3); (b,2); (c,1); (c,4)}

P2={(1,1); (1,3); (2,2); (2,1); (2,4); (3,3); (4,1); (4,4)}

Решение: По определению обратное отношение Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . Таким образом, Р1-1={(1,a); (3,a); (2,b); (1,c); (4,c)} и P2-1={(1,1); (3,1); (2,2); (1,2); (4,2); (3,3); (4,4); (1,4)}.

По определению композиции бинарных отношений

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru

Таким образом, Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ={(a,1); (a,3); (b,2); (b,1); (b,4); (c,1); (c,3); (c,4)}.

Тогда Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru -1={(1,a); (3,a); (2,b); (1,b); (4,b); (1,c); (3,c); (4,c)}.

Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru ={(1,a); (1,c); (3,a); (3,c); (2,b); (1,b); (4,b); (4,c)}

Последние два множества совпадают, что и должно быть по свойствам композиции.

Отношение Р2 рефлексивно, т. к. в соответствии с определением рефлексивности Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru .

Отношение Р2 не является транзитивным, поскольку по определению транзитивности требуется, чтобы для любых пар (x, y) и (y, z), таких что (x, y) Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru следовало бы, чтобы пара Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru . Однако это не так. Например, пары (2,1) и (1,3) Î Р2, но пара (2,3) Ï Р2.

Отношение Р2 не является симметричным, т. к. по определению симметричности для любой пары (x, y) Î Р2 должно быть и (y, x) Î Р2 . Однако это не так. Например, пара (1,3)Î Р2 , но пара (3,1) Ï Р2.

Отношение Р2 антисимметрично, поскольку для любой пары (x, y) Î Р2 такой, что (y, x) Î Р2 обязательно следует, что x=y.

Задание №2

Дано бинарное отношение P Í ℕ2 и P = { (x, y): x mod y = 2 }, где «mod» – операция нахождения остатка от деления x на y.

Найдите область определения и область значений отношения Р.Является ли отношение Р рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным? Является ли оно отношением эквивалентности или упорядоченности?

Решение: областью значений отношения Р является множество таких натуральных чисел y, что в остатке от деления на y может быть получено значение 2. В качестве такого делителя y можно взять любое натуральное число >2. Таким образом, пр2 Р = { y Î ℕ: y ³ 3 } – область значений.

Область определения отношения Р – это множество тех натуральных чисел x, для которых может быть получен остаток, равный 2, при делении на y ³ 3. Выразим x через y: x=k.y+2, где k=0,1,2,… и y ³ 3. Отсюда возможными значениями x являются числа: 2, 5, 6, 7, 8,… Таким образом, пр1 Р={2,5,6,7,8,9,…}=ℕ \ {1,3,4} – область определения.

Отношение Р не является рефлексивным, т. к. для всех x Î ℕ (x, x) Ï P. Действительно, "x Î ℕ Þ x mod x = 0.

Отношение Р не является транзитивным, т. к. существуют такие пары (x, y)ÎP и (y, z)ÎP, но (x, z)ÏP. Например, пары (7,5) и (5,3) обе Тема: Множества и их спецификация. - student2.ru Р, но пара (7,3)ÏР, т. к. 7 mod 3 = 1.

Отношение Р не является симметричным, поскольку существуют такие пары, что (x, y)ÎP , но (х, у)ÏР . Например , пара (7,5)ÎР , но (5,7)ÏР, т.к. 5 mod 7=5.

По определению антисимметричности для всех таких пар (х, у), что (у, х)ÎР и (х, у)ÎР обязательно следует, что х=у. Но для заданного отношения Р не существует пар (х, у) таких, что (х, у)ÎP и (у, х)ÎР, поскольку равенство (х mod y = y mod x =2) не выполняется ни при каких х, уÎℕ. Поэтому данное отношение Р является антисимметричным.

По набору свойств отношение Р не является ни отношением эквивалентности, ни отношением упорядоченности.

Наши рекомендации