Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница

Силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки:

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru (21)

Таким образом, обе силы равны по модулю одновременно. Это соответствует представлению о мгновенном распространении взаимодействий – принцип дальнодействия ньютоновской механики. Следовательно, взаимодействие распространяется с бесконечно большой скоростью: изменение состояния тела мгновенно обнаружится во всех взаимодействующих с ним телах, как бы далеко они не находились.

Законы Ньютона являются основными законами механики. В соответствии с принципом относительности Галилея, во всех инерциальных системах все законы механики одинаковы. Действительно, масса материальной точки и её ускорение одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Сила – тоже, поскольку она определяется только относительным расположением тел и их относительных скоростей, которые одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Так как все три величины, входящие в (18) не меняются, следовательно, и само основное уравнение динамики остается неизменным, иными словами, инвариантным относительно преобразований Галилея. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся силы. Гравитационное притяжение. Закон Всемирного тяготения. Сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками пропорциональна произведению масс точек Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru и Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти точки:

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , (22)

где g - гравитационная постоянная. Массы в (22) называются гравитационными, в отличие от ранее рассмотренных инертных масс. Экспериментально установлено, что гравитационная и инертная массы любого тела строго пропорциональны друг другу. Обычно их полагают равными, для чего выбирают один и тот же эталон массы. Введенное таким образом понятие массы является и мерой инертности тела и мерой его гравитационного взаимодействия с другими телами.

Закон Кулона: Сила электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами пропорциональна произведению величин зарядовq1 и q2, обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей заряды:

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . (23)

В отличие от гравитационной, кулоновская сила может быть как силой притяжения (между разноименными зарядами), так и силой отталкивания (между одноименными зарядами). Если заряды движутся относительно друг друга, между ними возникает еще и магнитное взаимодействие, а закон (23) перестает выполняться точно. Взаимодействие между движущимися заряженными телами обладает довольно сложной топологией и называется электромагнитным.

Кулоновское и гравитационное взаимодействие лежат в основе всего разнообразия механических явлений, но не всегда разумно каждый случай сводить к этим двум фундаментальным взаимодействиям. Для упрощения часто бывает удобно использовать приближенные силы:

Однородная сила тяжести: Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , где Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru - ускорение свободного падения, которое считается постоянным вблизи поверхности Земли. Обратите внимание! В отличие от силы тяжести Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , вес Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru -это сила, с которой тело действует на опору (или подвес), неподвижную относительно тела. Если тело и его опора неподвижны относительно Земли, то вес равен силе тяжести (однако эти силы приложены к разным предметам: сила тяжести – к телу, а вес – к его опоре).

Упругая сила – это сила, пропорциональная смещению материальной точки из положения равновесия и направленная к положению равновесия:

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , (24)

где Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru - радиус-вектор, характеризующий смещение частицы от положения равновесия, Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru - коэффициент, зависящий от «упругих» свойств конкретной силы. Примером такой силы может быть сила упругой деформации при растяжении (сжатии) пружины или стержня, которая подчиняется до поры до времени закону Гука: Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , где Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru - величина упругой деформации.

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru Сила трения.Различают силу трения скольжения, которая в некоторых пределах пропорциональна по модулю силе давления, прижимающей трущиеся поверхности друг к другу: Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , и силу трения покоя, величина которой зависит от других приложенных к телу сил. Например, если к покоящемуся телу, приложить горизонтальную силу Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , которая увеличивается от нуля, то сначала тело будет продолжать покоиться, а начиная с некоторого её значения тело начнет двигаться. Пока тело покоится, векторная сумма всех приложенных сил обязана быть равной нулю, поэтому сила трения покоя направлена противоположно Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru и равна ей по модулю; следовательно, сила трения покоя будет возрастать до момента, пока тело не начнет двигаться. Далее характер силы трения меняется, т.к. она становится силой трения скольжения Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , т.е. постоянной, если постоянна сила Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru (рис.6). Наклонный участок соответствует силе трения покоя, а горизонтальный – силе трения скольжения.

Сила сопротивления. Обычно так называют силу типа трения, но которая возникает в жидкости или газе. Эта сила зависит от скорости: Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , часто и более сложным образом.

В заключение следует сказать, что второй закон Ньютона является основным расчетным законом динамики, поэтому его часто называют основным уравнением динамики материальной точки, или уравнением движения в векторном виде.

О законах сохранения. Любое тело или совокупность тел можно рассмотреть, как систему материальных точек. Состояние системы характеризуется одновременным заданием координат и скоростей всех этих точек. В принципе, с помощью уравнений движения для всех точек можно решить любую механическую задачу. Однако из-за возрастания количества этих уравнений по мере усложнения системы зачастую довести решение до конца оказывается практически невозможным. Кроме того, часто бывает, что законы действия некоторых сил неизвестны, и тогда такой подход становится принципиально невозможным. Обойти подобные трудности во многих случаях позволяют законы сохранения. Хотя состояние системы со временем может меняться достаточно сложным способом, существуют такие величины, которые обладают замечательным свойством сохраняться во времени. Среди таких сохраняющихся величин наиболее важную роль играют энергия, импульс и момент импульса.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса связаны, как выяснилось к настоящему времени, с фундаментальными свойствами времени и пространства – однородностью и изотропностью. А именно: закон сохранения энергии связан с однородностью времени; закон сохранения импульса – с однородностью пространства; закон сохранения момента импульса связан с изотропностью пространства. Роль законов сохранения особенно возросла, после того, как выяснилось, что они далеко выходят за рамки механики и представляют собой универсальные законы природы.

Закон сохранения импульса. По определению, импульс частицы Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Согласно основному уравнению (19) динамики (второму закону Ньютона) Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Если Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru =0, то Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru = const. Уравнение (19) позволяет найти приращение импульса, если известна зависимость силы от времени. Действительно, из (19) Þ Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Поскольку известен вид функции Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , можно это выражение проинтегрировать:

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . (25)

В частности, если Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru = const, то этот вектор можно вынести из-под знака интеграла, и тогда

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru .

Пусть теперь имеется произвольная система частиц. Силы ( Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru ) взаимодействия между частицами системы называются внутренними, а силы ( Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru ) взаимодействия частиц системы с телами, не входящими в систему, - внешними. Определим импульс системы как векторную сумму импульсов Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru (импульс i-й частицы) всех её частиц: Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Продифференцируем это выражение по времени: Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Запишем для каждой частицы Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru и подставим в предыдущее уравнение: Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , где двойная сумма – это сумма всех внутренних сил, которая равна нулю, потому, что в ней каждая пара сил, Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru = - Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru по третьему закону Ньютона; иначе говоря, силы взаимодействия между частицами внутри системы попарно одинаковы по модулю и противоположено направлены. Поэтому результирующая каждой пары равна нулю, а значит, равна нулю и сумма этих нулей: Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Остается только сумма внешних сил Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , поэтому

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . (26)

Отсюда Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , что после интегрирования дает

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . (27)

Т.е. приращение импульса системы равно импульсу всех результирующих сил за промежуток времени t. Выражения (26,27) описывают изменение импульса системы материальных точек.

Система называется замкнутой (изолированной), если на неё не действуют внешние силы.

Согласно (26) импульс системы может измениться только под действием внешних сил. Отсюда вытекает закон сохранения импульса: Импульс изолированной системы частиц остается постоянным:

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . (28)

Следствия. 1 Импульс может сохраняться и у незамкнутой системы, если сумма всех внешних сил равна нулю, что непосредственно следует из (26 и 27). 2 У незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс, а его проекция Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru на некоторое направление х. Это бывает тогда, когда проекция результирующей внешней силы на это направление равна нулю, т.е. вектор Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru перпендикулярен направлению х. Действительно, спроектировав уравнение (26) на направление х, получим Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , откуда следует, что если правая часть равна нулю, то равна нулю и производная слева, Þрх=const. Например, сохраняется проекция импульса системы на горизонтальное направление, если система находится в однородном поле сил тяготения.

Центр масс. Назовем центром масс системы частиц точку с радиусом-вектором

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , (30)

где m – сумма масс частиц системы, Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru и Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru соответственно масса и радиус-вектор i-й частицы. Центр масс обладает замечательным свойством, которое мы обнаружим, продифференцировав (30), чтобы найти скорость: Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Поскольку в числителе дроби стоит импульс системы, то его легко выразить через скорость центра масс:

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . (31)

Таким образом, импульс системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс. Очевидно, если скорость центра масс равна нулю, то система в целом покоится, какие бы перемещения внутри неё не происходили. Введение скорости центра масс Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , позволяет придать компактную форму уравнению (26):

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , (32)

которое является уравнением движения центра масс – по форме вторым законом Ньютона. Откуда видно, что центр масс системы частиц движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этом центре, и к ней была бы приложена результирующая всех внешних сил. Если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, значит. импульс системы сохраняется в процессе движения.

Закон сохранения энергии.

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru Работа и мощность. Пусть частица под действием силы Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru совершает перемещение по некоторой траектории 1®2 (рис.7). По определению, элементарной работой силы Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru при перемещении Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru называется скалярное произведение этих величин:

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , (33)

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru где Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru - элементарный путь, Fs – проекция силы на касательное направление (на вектор Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru ). Величина δА – скаляр, в частности равный нулю, если Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru ^ Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . таким образом, сила, перпендикулярная перемещению, работы не совершает. Интегрируя выражение (33) по всем элементарным участкам траектории от точки 1 до точки 2 , находим работу на всем пути 1®2:

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru
Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . (34)

Работа упругой силы. Пусть частица В перемещается по некоторой траектории 1®2 (рис.8) и на неё действует сила Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , где Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru - радиус-вектор частицы В относительно некоторой точки О. Элементарная работа при перемещении Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru равна Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Из рисунка очевидно, что Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , где dr – приращение модуля радиус-вектора, Þ Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Чтобы убедиться в правильности последнего преобразования, прочитайте его справа налево. Для вычисления работы на всем пути осталось только проинтегрировать:

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . (35)

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru Работа гравитационной (кулоновской) силы. Мы воспользуемся опять рис.8, но слова будут другие,- будьте внимательны! Пусть в точке О находится неподвижный силовой центр – материальная точка, действующая на частицу В с силой Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , которая может быть представлена в виде Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru = Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , где a - равна (-gm1m2 – для гравитационного; kq1q2 - для кулоновского взаимодействий). Единичный вектор (орт) Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru направлен также, как Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru (он не изображен на рисунке). Элементарная работа этой силы равна Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , где последнее скалярное произведение равно dr. Поэтому Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , в чем легко убедиться, если прочесть последнее равенство справа на лево. Осталось проинтегрировать, и тогда работа на всем пути 1®2 равна

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . (36)

Работа однородной силы тяжести. Запишем эту силу через орт Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru - единичный вектор направленный вертикально вверх: Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Элементарная работа силы тяжести на перемещении Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru равна

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru .

Работа этой силы на всем пути равна Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru (37)

Обратите внимание! Во всех рассмотренных случаях величина работы зависела только от координат начальной и конечной точек траектории. Не все силы обладают таким свойством, например, работа силы трения от формы траектории зависит. Единицей работы в СИ является джоуль (Дж).

Мощность – это работа, совершаемая силой в единицу времени. Если за время dt сила Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru совершает работу Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , то мощность Р= Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Итак,

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . (38)

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru Очевидно, чтобы найти работу, зная мощность, достаточно проинтегрировать

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . (39)

Единицей мощности в СИ является ватт (Вт), равный 1 Дж/с.

Консервативные силы. Если в каждой точке пространства на помещенную туда частицу действует сила, то говорят, что частица помещена в поле сил. Если поле не меняется со временем, то оно называется стационарным. Некоторые стационарные поля обладают важным свойством: Забота сил поля, совершаемая его силами при перемещении частицы между любыми точками поля 1 и 2 зависит только от координат (или радиусов-векторов) этих точек 1 и 2. Силы, обладающие таким свойством называются консервативными, а их поля потенциальными. Эквивалентная формулировка этого свойства гласит: поле является потенциальным, если работа его сил на любом замкнутом пути равна нулю. Чтобы убедиться в этом, разобьём произвольный замкнутый контур на две части: 1а2 и 2b1 (рис.10). Тогда работа на замкнутом пути равна А = А1а2 + А2b1. Поскольку А1а2 = - А2b1, так как каждая из этих работ зависит только от координат точек 1 и 2, а при изменении порядка точек меняется и знак работы, то А = 0.

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru К числу неконсервативных сил относятся силы трения и сопротивления.

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru Поле центральных сил. Силы, зависящие только от расстояния между частицами, и направленные вдоль прямой, соединяющие эти частицы, называются центральными. Примерами центральных полей являются кулоновские, гравитационные и упругие. Центральную силу, действующую на частицу М со стороны частицы О, можно представить в виде

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru ,

где Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru - функция, зависящая только от расстояния r между частицами (рис.11). Докажем, что центральные силы являются консервативными. Элементарная работа центральной силы Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru на перемещении Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru равна Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Так как Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru =dr, то Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Работа этой силы на произвольном пути между точками 1 и 2 траектории равна

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru .

Полученное выражение не зависит от траектории, а зависит только от вида функции Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru и значений радиус-векторов Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru и Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru начальной и конечной точек траектории. Обобщим: пусть на частицу М действует не одна сила Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru со стороны точки О, а несколько сил Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , действующих со стороны системы материальных точек, причем каждая из этих сил является центральной. Тогда работа результирующей силы при перемещении частицы М из 1 в 2 равна алгебраической сумме работ отдельных сил. А так как работа каждой силы не зависит от траектории, то и работа результирующей силы также не зависит от пути.

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru Потенциальная энергия частицы в поле. То обстоятельство, что работа консервативных сил зависит только от начального и конечного положений частицы, дает возможность ввести понятие потенциальной энергии. Пусть в поле консервативных сил мы перемещаем (мысленно) из разных точек Пi поля частицу в одну и ту же фиксированную точку О и каждый раз вычисляем соответствующую работу сил поля. Поскольку работа сил такого поля в принципе может зависеть только от координат начальной и конечной точек Пi и О, причем при фиксированной точке О меняются только координаты точек Пi, то в итоге эта работа AПО будет функцией только координат (радиус-вектора) точки П. Обозначим эту функцию U( Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru ), Þ

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . (40)

Функция U( Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru ) называется потенциальной энергией. Найдем работу А12 сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (пунктир на рис.12). Поскольку поле консервативно, то эта работа не зависит от того, по какой траектории мы перемещаем частицу из 1 в 2 – по пунктирной линии, или через точку О (т.е. по пути 1®О®2), Þ

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . (41)

Выражение справа – это убыль потенциальной энергии. Потому, что прибыль (т.е. приращение – это Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru ). Таким образом,

Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , Þ

работа сил поля на пути 1®2 равна убыли потенциальной энергии частицы в этом поле. Очевидно, что работа сил поля определяет лишь разность потенциальных энергий, но не их абсолютное значение, Þ потенциальная энергия определена (как первообразная!) с точностью до произвольной постоянной. И наоборот, если нам удалось представить работу как убыль некоторой функции координат, то эта функция и есть потенциальная энергия. Но мы недавно вычисляли эту работу для полей упругой и гравитационной (кулоновской) сил и получили во всех случаях разность значений соответствующей функции (см. формулы 35-37), из чего немедленно следует, что потенциальная энергия в данных силовых полях имеет вид: 1 в поле упругой силы U(r) = Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru +const;

2 в гравитационном (кулоновском) поле U(r)= Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru +const;

3 в однородном поле сил тяжести U(z) = Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru + const.

Как следует из (41), Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru = - dU, Þ Fdrcosa = - dU, Þ Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru , Þ Скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех действующих на него сил. 2 страница - student2.ru . Поскольку dr – это модуль малого перемещения вдоль траектории, Fr – это проекция силы на направление этого перемещения, т.е. на любое направление, вдоль которого нам вздумалось перемещаться, то удобнее эту мысль переформулировать так: проекция силы на произвольное направление х в потенциальном поле равна минус производной от потенциальной энергии по координате:

Наши рекомендации