Дифференциал

Пусть имеем функцию y=f(x), определенную на промежутке D и непрерывную в точке . Тогда приращению аргумента отвечает приращение функции

,

бесконечно малое вместе с .

Большую важность имеет вопрос: существует ли для такая линейная однородная относительно бесконечно малая , что их разность оказывается, по сравнению с , бесконечно малой высшего порядка малости

, (1)

где есть величина, стремящаяся к нулю при быстрее, чем .

При равенство (1) показывает, что бесконечно малая (главная часть приращения ) эквивалентна бесконечно малой . В этом случае выражение называется дифференциалом функции и обозначается символом или .

Доказывается, что для того, что бы функция y=f(x) в точке имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в точке (т.е. имела в этой точке конечную производную ). При этом и формула (1) имеет вид .

Итак, дифференциал всегда равен .

Дифференциал аргумента . То есть приращение аргумента тождественно равно дифференциалу аргумента. Тогда производную функции можно выразить через дифференциалы функции и аргумента:

.

Геометрический смысл дифференциала: в то время как есть приращение ординаты кривой y=f(x), dy является приращением ординаты касательной.

В приложениях часто бывает более удобно работать с дифференциалом, чем с производной в точке. Кроме того, дифференциал – главная часть приращения функции и может быть вычислен сравнительно просто. Дифференциал является источником приближенных формул, так как при . Подробнее:

,

откуда

.

Например, надо найти приближенно . Легко вычисляются значения и при . Тогда

.