Анализ восстанавливаемых систем

Схема гибели и размножения.

Таким образом имея в расположении размеченный граф состояний можно легко напасать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнениярешить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы пред­ставляет собой так называемую «схему гибели и раз­множения» Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис.1.17 .

Рис. 1.17 Граф схемы « гибели и размножения ».

Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытя­нуть в одну цепочку, в которой каждое из средних со­стояний (S₁, S₂, … S_n-1) связано, прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состоянии — правым и левым, а крайние состояния. (S₀, S_n)—только с од­ним соседним состоянием. Термин «схема гибели и раз­множения» ведет, начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Схема гибели и размножения очень часто встреча­ется в разных задачах практики,, поэтому полезно, одни раз и навсегда, найти для нее финальные вероятности состояний.

Предположим, что все потоки событий, переводя­щие систему по стрелкам графа,— простейшие (для краткости будем называть и систему S и протекаю­щий в ней процесс — простейшими).

Пользуясь графом рис.1.17 составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятно­стей состояний (их. существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое) Для стояния S₀ имеем: .

Для второго состояния S₁ : .

Равенство приводится к виду .

Далее, совершенно аналогично .

и вообще , где к принимает все значения от 0 до n..

Итак, финальные вероятности р₀, р₁,…, р_nудовлетворяют уравнениям

Кроме того, надо учесть нормировочное условие

Решим эту систему уравнений из первого уравнения выразим р₁через р₀:

.

Из второго, получим: ,

из третьего

и вообще, для любого k (от 1 до n) .

Обратим внимание на то, что в выражении для в числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данногo состояния S_k), а в знаменателе — произведение всех интенсивностей стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до S_k )

Таким образом, все вероятности состояний р_0,... р_п выражены черед одну из них (р₀). Подставим эти выражения в нормировочное условие, вынося за скобку р₀

Отсюда получим выражение для

. Все остальные вероятности выражены через р₀ . Заметим, что коэффициенты при р₀ в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле для . Значит, вычисляя р₀, мы уже нашли все эти коэффициенты Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории надежности и массового обслуживания.

« Холодный» резерв с восстановлением отказавших элементов.

С учетом восстановления с неограниченными возможностями ремонта, граф состояний при «холодном» резерве примет вид, представленный на рис. 1.18.

Рис. 1.18 Граф состояний системы.

Для представленного графа получим .

Вероятность оценивается из условия нормировки .

Таким образом окончательно получим

(1.61)

« Горячий» резерв с восстановлением отказавших элементов.

Граф состояний для « горячего» резерва приведен на рис. 1.19.

Рис. 1.19 Граф состояний системы.

Для рассматриваемого графа имеем

.

Производя преобразования, найдем

Из условия нормировки получим

Отсюда

Таким образом окончательно найдем

.