Выпуклое множество допустимых значений вектора варьируемых параметров

Достаточными условиями глобального минимума задачи (1) является выпуклость критерия (1) и выпуклость допустимой области ограничений (2), (3).

Допустимое множество называется выпуклым, если для любых точек и для любого выполняется соотношение .

Выпуклое множество Не выпуклое множество

Примеры выпуклых множеств в пространстве :

o все евклидово пространство;

o любой отрезок ;

o гиперплоскость ;

o полупространство ;

o симплекс,

o гиперпараллелепипед,

o выпуклый многогранник,

o гипершар;

o пересечение любого конечного числа выпуклых множеств.

Выпуклый критерий оптимальности

Непрерывный критерий оптимальности , где и множество является выпуклым множеством, называется выпуклым [строго выпуклым] критерием оптимальности, если для любых и любого выполняется неравенство(4) [(5)].

(4)

(5)

где произвольное число

Аналогично, с заменой знака неравенства на противоположный, можно определить вогнутый и строго вогнутый критерийоптимальности.

Геометрический смысл выпуклости: все точки кривой на интервале лежат под соответствующей хордой.

Строго выпуклый критерий является унимодальным критерием.

Условия существования минимума в безусловных задачах оптимизации

Одномерная задача оптимизации

Рассмотрим задачу

Необходимоеусловие минимума

(6)

Решениями уравнения (6) являются стационарные точки – минимума, максимума и перегиба функции .

На рисунке , – точки локальных минимумов; – точка локального максимума; – точка перегиба функции .

Необходимые и достаточные условия минимума дважды непрерывно дифференцируемой функции , определенной на интервале :

Многомерная задача безусловной оптимизации

Представление минимизируемой функции в виде линий равного уровня (контуры F(x1,x2)).

Условия существования минимума в задаче оптимизации без ограничений

(7)

Необходимое условие минимума :

(8)

где – градиент в точке .

Решениями уравнения (8) являются стационарные точки.

Необходимое и достаточное условие минимумадважды непрерывно дифференцируемой функции в окрестности точки :

(9)

где – -матрица Гессе (вторых производных) функции

Иллюстрация к условиям существования минимума в задаче оптимизации без ограничений

Условия существования минимума в условных задачах оптимизации

Задача условной оптимизации с ограничениями типа равенств Функция Лагранжа

Рассмотрим задачу: (10)

где (11)

Функция Лагранжа для задачи (10) с ограничениями (11) определяется формулой

(12)

где ,– вектор множителей Лагранжа, размерности .