Вопрос 10.1. длина плоской кривой

Пусть L плоская кривая, начало и конец которой расположены в точках A и B. Разобьем кривую AB n+1 точкой . Соединим их отрезками прямых, тогда получим ломаную . Пусть ‑ длина i-го звена ломаной. Положим . Тогда, если существует предел

,

то его называют длиной дуги AB, а саму кривую называют спрямляемой (см. рис. 1).

Рис. 1. Длина плоской кривой.

Определение 10.1. Пусть две непрерывные функции на отрезке . Уравнения вида

называются параметрическими уравнениями плоской непрерывной кривой, переменную t ‑ называют параметром. Если и непрерывные функции, то кривая называется гладкой.

Теорема 10.1. Пусть L ‑ параметрически заданная гладкая кривая, тогда ее длина равна

.

Доказательство. Разобьем отрезок на части точками . Пусть эти значения параметра соответствуют точкам кривой . Длина i-го звена ломаной равна

.

По теореме Лагранжа

,

.

Тогда

,

составив сумму длин всех звеньев ломаной, получим интегральную сумму

,

которая, в силу непрерывности производных при , сходится к интегралу

.

Конец доказательства.

Если кривая задана функций , нетрудно получить формулу длины гладкой кривой, если положить

тогда , и, следовательно,

.

Пример 10.1. Вычислить длину параболы на отрезке .

={интегрируем по частям}=

Решая уравнение, получим

.

Определение 10.2. Кривая называется замкнутой, если значениям параметра и соответствует одна и также точка кривой (см. рис. 2).

Определение 10.3. Если некоторому внутреннему значению параметра соответствуют две разные точки кривой, то кривая называется самопересекающейся (см. рис. 2).

Рис 2. Замкнутая и самопересекающая кривые.

Вопрос 10.2. Кривизна и радиус кривизны плоской кривой.

Пусть плоская кривая задана функцией , имеющей непрерывную вторую производную. Пусть длина дуги равна S, а ‑ угол между касательными в точках M и (см. рис. 2).

Рис. 3. Кривизна плоской кривой.

Определение 10.4. Кривизной плоской кривой в точке M называется предел

.

Величина обратная модулю кривизны называется радиусом кривизны .

Теорема 10.2.Если кривая задана дважды непрерывно дифференцируемой функцией , то ее кривизна равна

.

Доказательство. Пусть точке M соответствует аргумент x, а точке ‑ аргумент . Длина кривой S равна

,

где была использована теорема о среднем значении. Так как , то и поэтому, применяя формулу Лагранжа, получим

или

,

тогда

.

Конец доказательства.

Пример 10.2. Вычислить кривизну и радиус кривизны окружности .

.

Подставляя в формулу кривизны, получим

.

ЛЕКЦИЯ № 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ