ЛЕКЦИЯ № 20. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Вопрос 20.1. Производная n-го порядка.
Определение 20.1. Пусть дана функция . Производной n‑го порядка от функции называется производная от производной ‑го порядка .
Производная второго порядка обозначается
или или
Производная третьего порядка обозначается
или или
Точками порядок производной принято указывать в теоретической механике. Производные более высоких порядков обозначают, указывая порядок или арабскими или римскими числами
, или .
Пример 20.1. Вычислить производную второго порядка от .
Конец примера.
Для производной n-го порядка справедливы формулы
1) ,
2) ,
3) ,
4) формула Лейбница ,
где
‑ биномиальные коэффициенты, .
Пример 20.2.
,
.
Конец прмера.
Вопрос 20.2. Дифференциал n-го порядка.
Определение 20.2. Дифференциалом n-го порядка называется произведение и обозначается
.
Дифференциал n-го порядка обладает следующими свойствами:
1)
2)
3)
4)
5) формула Лейбница ,
где
‑ биномиальные коэффициенты, .
Доказательство. Свойства 1) ‑ 3) и 5) есть следствия соответствующих свойств n-й производной. Докажем теперь 4‑е свойство. Пусть x ‑ независимая переменная. Тогда
.
Далее, так как , то , и, следовательно, , поэтому . Тогда последовательно получаем
,
то есть . Аналогично
Продолжая, получим
откуда следует
Пример 20.3. Вычислить от .
Конец примера.
Вопрос 20.3. Теорема Ферма и Ролля.
Определение 20.2. Точка a называется точкой локального минимума функции , если существует окрестность точки a, такая, что для всех x из этой окрестности справедливо неравенство
Определение 20.3. Точка a называется точкой локального максимума функции , если существует окрестность точки a, такая, что для всех x из этой окрестности справедливо неравенство .
Определение 20.4. Точка а называется точкой локального экстремума функции , если она является или точкой локального минимума, или точкой локального максимума.
Теорема 20.2. (Ферма). Если в точке a имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то (см. рис. 1) .
Доказательство. Пусть a есть точка локального минимума. Тогда для достаточно малых h . Односторонние производные в точке a равны
Отсюда следует равенство .
Конец доказательства.
Теорема 20.3. (Ролля). Пусть и функция непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b). Тогда обязательно найдется точка c, такая, что a<c<b и .
Рис. 1. К доказательству теорем Ферма и Ролля.
Доказательство. Из непрерывности функции на отрезке следует существование точек и этого отрезка, в которых функция принимает максимальное и минимальное значения M и m (пусть для определенности и ). Если M=m, то и для всех x из отрезка . Для этого случая теорема доказана. Если , то или , или . Тогда внутри отрезка существует точка локального экстремума c, в которой по теореме Ферма .
Конец доказательства.
Теорема 20.4 (Коши). Пусть функции и непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемы внутри этого отрезка. Тогда существует точка c такая, что a<c<b и
Доказательство. Введем вспомогательную функцию
,
тогда
То есть . Применяя к функции теорему Ролля (проверьте условия ее применимости), получим
.
Откуда
или
Конец доказательства.